第27章《相似》導(dǎo)學(xué)案

1、【新人教】九年級數(shù)學(xué)相似導(dǎo)學(xué)案班級：姓名：27.1 圖形的相似1、自主探究:1、請觀察下列幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么?各組圖形，它們的形狀。2、總結(jié)相似圖形的概念。 叫做相似圖形3、思考：如圖，是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎)二、探究1:.如圖，下面右邊的四個圖形中，與左邊的圖形相似的是（總結(jié):形狀 的圖形叫相似形；兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形或 而得到的?！眷柟桃幌隆? .如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？答:2 .如圖，圖形af中，哪些是與圖形（1）或（2）相似的？3、下列說法正確的是（）A、小明上幼兒園時的照片和初中畢業(yè)時的照片相似B、

2、商店新買來的一副三角板是相似的C、所有的課本都是相似的. D4、觀察下列圖形，指出哪些是相似圖形:探究2:1 、線段AB C加圖所示，分別測量出兩條線段的長度：AB= ,CD= 。這兩條線段的比是： 。A B cd【歸納】：1、兩條線段的比，就是兩條線段長度的比。2 、在兩條線段a與b的比芻中，“a”叫做比的前項，“b”叫做比的后項。b3 、成比例線段：對于四條線段 a、b、c、d,如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相等，如a 9 （即：a:b=c:d ）,我們就說這四條線段是成比例線段， 簡稱比例線段.b d2、（1） 一張桌面的長a 1.25m,寬b 0.75m,那么長與寬的比是 。（

3、2）如果a 125cm, b 75cm,那么長與寬的比是 。（3）如果a 1250mm, b 750mm ,那么長與寬的比是 ?！究偨Y(jié)】：（1）線段的比是一個沒有單位的正數(shù)；兩條線段的比與所采用的長度單位無關(guān)， 但在計算時要注意統(tǒng)一單位；（2）四條線段a、b、c、d成比例，記作a &或a : b c : db d三、討論交流：1、比例式：形如a _c或a : b c : d的式子叫做比例式。其中a、d叫做比例式的 b db、c叫做比例式的。匯2 、比例式的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：a 1d= 。即：兩內(nèi)項之積等于 之積。b d（2） a c b （該性質(zhì)稱為反比性質(zhì)）。 b da（3） a c=

4、S ； 圣 。（該性質(zhì)稱為合比性質(zhì)）。b dbb（4） a - - m k acem o （該性質(zhì)稱為等比性質(zhì)）。b d f nb d f n四、課堂檢測1 、已知：一張地圖的比例尺是 1:32000000,量得北京到上海的圖上距離大約為 3.5cm, 求北京到上海的實際距離大約是多少 km分析：根據(jù)比例尺=圖上距離，可求出北京到上海的實際距離.2 、如圖，請測量出圖中兩個形似的長方形的長和寬（1）（?。╅L是 cm,寬是 cm （大）長是 cm 寬是 cm（3）你由上述的計算，能得到什么結(jié)論?（小）3、若aCC1 ,則 a ce=.bdf2 b df4、AB兩地的實際距離為2500m在一張平面

5、圖上的距離是 5 cm,那么這張平面地圖的比 例尺是多少？27.1 圖形的相似2、自主探究：1 、圖中的B是由正 ABC放大后得到的，觀察測量這兩個圖形，它們對應(yīng)的角有什么關(guān)系？對應(yīng)的邊又有什么關(guān)系呢?2、對于圖中兩個正六邊形，它們對應(yīng)的角有什么關(guān)系？對應(yīng)的邊又有什么關(guān)系呢？【總結(jié)歸納】兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的各組角分別對應(yīng),那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。即：;A A； BBi； CC1AB BC ACA1B1 B1C1 A1C1ABC和ABC 1相似二、探究：如圖，左邊格點圖中有一個四邊形，請在 右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形（建議畫大小不一樣的四邊形）測量兩個四邊形的

6、各個角的大小以及各邊的大小可發(fā)即：/ A=Z各組對應(yīng)邊緲寸應(yīng)角。即. AB_ BC_ CD_ AD_0.()()()()【歸納總結(jié)】相似多邊形的性質(zhì):1 、相似多邊形的對應(yīng)角,對應(yīng)邊的比即：: ABC和 ABC 1相似Ai；Bi； CABBCAC2 、相似比：相似多邊形的比稱為相似比.J t 1V問題：相似比為1時，相似的兩個圖形有什么關(guān)系？結(jié)論：qL）工?？凇咀⒁狻浚?）相似比是具有一定的順序性和對應(yīng)性的。如一B CJAABC的相似比是指A BAB; AABC與八A B的相似比是指 AB: A B（2）兩個全等圖形的相似比為 ;反之,相似比為 的兩個相似圖形是全等形。三、討論交流：例1、下列

7、說法正確的是（）A .所有的平行四邊形都相似B .所有的矩形都相似C .所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似例2、如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角 和 的大小和EH勺長度x .四、課堂檢測：二1、 ABC與DEF相似，且相似比是2,則DEF與ABC與的相瞅比是（）A . 2B .3C .2 D ,43259 :疊凈 J2、下列所給的條件中，能確定相似的有（）（1）兩個半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等邊 三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六邊形.A. 3個 B . 4個 C . 5個 D . 6個3、如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊

8、 a、b、c、d的長度.4、已知四邊形ABC前四邊形A1B1C1D相似，四邊形ABCD勺最長邊和最短邊的長分別是10cm和4cm,如果四邊形 ABCD的最短邊的長是6cm,哪幺四邊除A；B1GD中最 長的邊長是多少？ 工 5、如圖，AB / EF / CD , CD 4, AB 9,若梯形 CDEF 與梯形 Feab 相似；求EF的長.6、如圖，一個矩形 ABCD的長AD acm,寬AB bcm, E,F分別是AD,BC的中點,連接E,F ,當所得新矩形ABFE與原矩形ABCD相似時，求a: b的化7、已知四邊形ABCD與四邊形ABC Qi相似，且AB ： BQ : CQ :7:8:11:14

9、,若四邊形ABCD的周長為40,求四邊形ABCD的各邊的長.| 一 一27.2.1相似三角形的判定一、自主探究：1、兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的各組角分別對應(yīng) ，各組邊對應(yīng)那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。2 、相似多邊形的對應(yīng)角 ,對應(yīng)邊的比.在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.即：在4ABC與B C,如果/A=/ A , ZB=Z B , ZC=Z C ,且 2AB_ 空 _C k我們就說ABC與乙A B柢似，記作AABC s NA B ,Ck就是它們的相似比. 反之如果ABCs/XA b ,C貝（J 有/A=, /B=, /C=,且-AB- -BI -CA-3 、如果相似比k 1,

10、則AABC NA B C【注意】：（1）用符號“s”表示相似三角形時，對應(yīng)頂點必須寫在 。（2）相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的：當4ABC與八A B相似比為k時，匕A B修zABC的相似比為、探究1： 1、如圖，任意畫兩條直線li、J再畫三條與li、I2相交的平行線13、14、15分別量度I3、15在li上截得的兩條線段AB, BC和在12上截得的兩條線段DE, EF的長度.（用“、V、，填空）但 里，里 匹，生DFBC EF ABBC ABACde-eF , dEdF ,AC DF BCEF1112/AD132、任意平移15后，上述各式任然（“成立”或“不成立”【歸納總結(jié)】：平行線分線段成比例

11、定理 兩條直線被一組平行線所截，所得的E 14F 15F【及時鞏固】：如圖，（1）若 AE/ BK/ CF,貝U:線段AB(2)AC若 AB=3cm BC=5cm EK=4cnp 求 FK的長。探究2: （1）如圖，如果11、12兩條直線相交,交點A剛落到%上,則:ADABAEAC,所得的（2）如圖，如果11、12兩條直線相交,線段交點A剛落到14上，則：/任AB AC【歸納總結(jié)】：平行線分線段成比例定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或截其他兩邊的延長線） 三、課堂檢測：1、如圖，在 ABC中，DE/ BG AC=4 , AB=3 EC=1.求 AD和 BD.2、如圖， AB&AAE

12、D,其中DE/ BC,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式.3、如圖, AB&AADEE其中/ ADEW B,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式.sL二27.2.1相似三角形的判定2一、自主探究：1、判斷兩個三角形全等的方法有： 。2、怎樣的兩個三角形相似？ 即：在ABC和ABC 1中v ZA=Z A, /B=/ B, /C=/ C1,且 2AB_ . ABCs ABC 1A1B1二、探究： 如圖，在？ABC中，DX E分別是AB AC上的兩點，且DE/ BC.?ADEf ?ABCffi似嗎？為什么?【歸納總結(jié)】：三角形相似的判定定理（預(yù)備定理）：平行于三角形的一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與

13、上相似。三、課堂檢測：,1、下列各組三角形一定相似的是（）/A、兩個直角三角形 B、兩個鈍角三角形 C、兩個等腰三角形 D、兩個等邊三角形2、如圖，DE/ BG EF/ AB,則圖中相似三角形一共有（）A、1對B、2對C、3對D、4對3、如圖，AB/ EF/ CD圖中共有 對相似三角形，分別是： 4、如圖，在 UABCDfr, EF/ AB, DE:EA=2:3 , EF=4 求 CD的長.5、如圖，DE/ BG (1)如果 AD=2 DB=3 求 DE:BC的值;(2)如果 AD=8 DB=12 AC=15 DE=7 求 AE和 BC的長.6、如圖，在？ABC 中，DE/ BG AD=CE

14、AE=1 cm,BD=3 cm,BC=5 cm求 DE 的長.7、如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng) 5米的位置上，求球拍擊球的 高度h.（設(shè)網(wǎng)球是直線運動）27.2.1 相似三角形的判定3一、回顧復(fù)習(xí)：三角形相似的判定定理（預(yù)備定理）：平行于三角形的一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與 相似。即：在？ABC 中，v DE/BG :? ADE s ?abc二、探究探究1:如圖，在 ABC和 ABC中，巫 BC- -CA- , ABC與 ABC相似嗎?A B B C C A為什么？【歸納總結(jié)】三角形相似的判定定理1: 三組邊對應(yīng)成比例的兩個三角形.即：在 ABC和 ABC

15、中,ABA BBC CAB C C A ABC sABC探究2:如圖，在ABABC 和 ABC 中，-ABCAC A,/ A=/ A： ABC 與 A B C 相似嗎?為什么?【歸納總結(jié)】三角形相似的判定定理2:兩組邊對應(yīng)成比例，而且夾角相等的兩個三角形 AB AB ABAB ACAC即：在ABC和ABC中，或：或：三、討論交流：例 根據(jù)下歹I條件，判斷？ABC與？DEF(1) AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm.CA, /A=/ A . ABCs ABC CA型BCBCBC/ B=/ B/ C=/ CABCs ABC是否相似，并說明理由:(2) /A=120 ,AB=7 cm,A

16、C=14 cm.DE=12 cm,EF=18 cm,DF=24 cm./D=120 ,DE=3 cm,DF=6 cm.四、課堂檢測：1、如果在 ABC 中 B 30 , AB 5cm, AC 4cm ,在 ABC中， b30, Ab 10cm , AC 8cm ,這兩個三角形一定相似嗎？為什么？2、如圖， ABC中，點D,E,F分別是AB,BC,AC的中點, 求證： ABCs DEF.3、如圖，P為正方形ABCDi BC上的點，且BP=3PC Q為DC的中點,求證： ADQ s QCP4、已知：如圖，在四邊形ABCDfr, B1CD, 2求AD的長.ACD , AB=66 BC=4 AC=52

17、7.2.2 相似三角形的判定4一、回顧復(fù)習(xí)：1、三角形相似的判定定理（預(yù)備定理）：平行于三角形的一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與 相似。三角形相似的判定定理1：三組邊對應(yīng)成比例的兩個三角形 。三角形相似的判定定理2:兩組邊對應(yīng)成比例，而且夾角相等的兩個三角 形。2、如圖， ABCK 點 DftAE,如果 ad 也，那么 ACDfzXAC ABABG目似嗎？說明理由.二、探究1 :如圖，在ABCf AA BC中，/A=/ A , / B=/ B那么 ABCf AA BC相似嗎？為什么?【歸納總結(jié)】三角形相似的判定定理 3 :兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形三、討論交流（展示點評）例1、如圖，

18、ABC與ABD都是。的內(nèi)接三角形，AC和BD相交于 點E,找出圖中的一對相似三角形，并說明理由。例2、 弦ABF口CD1交于。Oft一點 P,求證:PA?PB=PCPD探究2 :已知：如圖，在Rt ABC和Rt ABC中,CC90 , JABA BACAC求證：Rt ABCsRt abC【歸納總結(jié)】直角三角形相似的判定：斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形 。四、課堂檢測：1、(1)如圖 1,點 DftABt,當/ =/時，ACWAAB(C (2)如圖2,已知點EftACh,若點D在AB,則滿足條件,就可以使 AD由原ZXABG目似。2、下列說法是否正確.(1)有一組銳角相等的兩直角三角

19、形是相似三角形；(2)有一組角相等的兩等腰三角形是相似三角形；(3)底角相等的兩個等腰三角形相似。3、如圖，在Rt ABC中，CD1斜邊上的高， ACD和 CBD都與 ABC相似嗎？證明你的 結(jié)論。【歸納】：直角三角形斜邊上的高將其分成的兩個小直角三角形 并且每個小直角三角形都與 相似。4、如圖，/XABCK DE/BG EF/ AB,求證： ADE AEFC.5、已知：如圖， ABC的高AD B豉于點F.求證： 工BF27.2.3 相似三角形的性質(zhì)、自主探究（課前導(dǎo)學(xué)）相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角 做相似多邊形的相似三角形的對應(yīng)角如圖，/XABC AAEED 其中 / ADEW B,

20、 寫出其余的對應(yīng)角以及對應(yīng)邊的比例式.,對應(yīng)邊的比,這個比值叫、探究1 :如圖，？ABCs?a，B，C相似比為k,它們對應(yīng)高（對應(yīng)邊上的高）之比、對應(yīng)中線（對應(yīng)邊上的中線）之比、對應(yīng)角平分線（對應(yīng)角的角平分線）之比、周長之比、面積之比 分別為多少？【歸納總結(jié)】相似三角形的性質(zhì)：;周長之比等于相似三角形的對應(yīng)角 ;所有對應(yīng)線段之比都等于 面積之比等于探究2:如圖，四邊形ABCD與四邊形A BC D相似，相似比為k, 求對角線BD與B D勺比值?！練w納總結(jié)】相似多邊形的對應(yīng)對角線之比等于三、討論交流：如圖，在 ABC和 DEF中，AB=2DE, AC=2DF, A D, ABC的周長為24,面積是

21、12能，求DEF的面積與周長？四、課堂檢測：1、兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊的長分別是15和23,它們周長的差是40,則這兩個三角形的周長分別為（）A.75,115B.60,100C.85,125D.45,852、將一個三角形r擴大成與它相似的三角形，如果面積擴大為原來的9倍，那么周長擴大為原來 的（）A.9 倍 B.3 倍 C.81 倍 D.18 倍3、如果兩個相似三角形對應(yīng)高的比為1 ： 2 ,那么它們的相似比為 ,周長的比為,面積的比為.4、如圖，在AABCftzDEF中,AB=2DE,AC=2DF/A=Z D, ABC勺周長是 24,面積是 18,求 DEF的周長和面積.5、某塊地的平面

22、如圖，/A=90 ,其比例尺為1 ： 2 000,根據(jù)圖中標注的尺寸（單位:cm）,求這塊地的實際周長和面積.6、如圖，Rt zABC中，/ ACB=90 ,P為AB上一點,Q為BC上一點，且PQLABA BPQ勺面積等于四邊形APQCH積的-,AB=5 cm,PB=2 cm,求ABC勺面積.7、在直角坐標系中，已知點A (-2, 0), B (0, 4), C (0, 3),過點C作直線交x軸于點D ,使得以D, O, C為頂點的三角形與 AO討目似，求點D的坐標.課題27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例1一、自主探究：1、相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的 。2、測量旗桿的高度：在旗桿影子的頂部立一

23、根標桿，借助太陽光線構(gòu)造三角形，旗桿 AB的影長BD a米，標桿高FD m米，其影長DE b米，求旗桿AB的高。 分析：太陽光線是平行的= 90,Bs二、探究：1、據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理，在金字塔 影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度.如圖，若木桿解：EF長2 m,它的影長FD為3 m,測得OA為201 m,求金字塔的高度BO2 、如圖, 方案一：先從我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點 B點出發(fā)與AB成90角方向走A B之間的距離（即河寬），你有什么方法? 50m到O處立一標桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處

24、轉(zhuǎn)90 ,沿CD方向再走17m到達D處，使得A O D在同一條直線上.那么A B之間的距離是多少?一OCC三、課堂檢測：1、在某一時刻，測得一根高為1.8米的竹竿的影長為3米，同時測得一棟高樓的影長為 90米，這棟高樓的高度為多少米？2、如圖，為了測量水塘邊 A、B兩點之間的距離，在可以看到的 B的點E處，取AE BE延長線上的G D兩點，使得CD/ AB,若測得 =5 m, AD= 15 m, ED=3 m,則A、B兩點間的距離為多少？3 、如圖，小明站在C處看甲乙兩樓樓頂上的點 A和點E,C、E、 點B、D分別在點E、A的正下方且 D B、C三點在同一條直線上，A三點在同一條直線上，B、C

25、相距30米，D B相距40米，乙樓高BE為15米，甲樓高AD為多少米（小明身高忽略不計）27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例2一、自主探究：小明把手臂水平向前伸直，手持長為 a的小尺豎直，瞄準小尺的兩端 E、F,不斷調(diào)整站 立的位置，使站在點D處正好看到旗桿的底部和頂部，如果小明的手臂長為 l=40 cm,小尺 的長a=20 cm,點D到旗桿底部的距離AD-40m,求旗桿的高度。A. 15mB. 60mC. 20mD.10.3m2、一斜坡長 高度為（）A 11A m770m它的高為5m,10B. m7將某物從斜坡起點推到坡上20m處停止下，停下地點的9C. - m7D.3 -m2二、探究：已知左、右

26、并排的兩棵大樹的高分別是 AB= 8 m和CD- 12 m,兩樹的根部的距離BD- 5 m 一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路 ED從左向右前進，當他與左邊較 低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？三、課堂檢測：1 、已知一棵樹的影長是 度是（）已知此人眼睛距地3 、如圖，某測量工作人員與標桿頂端 F、電視塔頂端在同一直線上, 面1.6米，標桿為3.2米，且BC=1米，CD=5,求電視塔的高ED4 、甲蹲在地上，乙站在甲和樓之間，兩人適當調(diào)整自己的位置，當樓頂E,乙的頭頂C及甲的眼睛A恰好在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置B、D,然后測出兩人之間的距離

27、BD=1.25 m,乙與樓之間的距離 DF=30（B、D F在一條直線上），乙的身高CD=1.6 m, 甲蹲地觀測時，眼睛到地面的距離 AB=0.8 m,畫出示意圖，算出大樓的高度。B5 、如圖，花叢中有一路燈桿 AB在燈光下，小明在D點處的影長DE=3米，沿BD方向行 走到達G點，DG=5t,這時小明的影長GH5米.如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的 高度（精確到0.1米）.27.3 位似1自主探究：圖中多邊形相似嗎？觀察下面的四個圖，你發(fā)現(xiàn)每個圖中的兩個多邊形各對應(yīng)點的連 線有什么特征？,而且對應(yīng)頂點的連線【歸納總結(jié)】（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形

28、，這個點叫做.（兩個位似圖形的對應(yīng)邊_,這時的相似比又稱 。）（2）掌握位似圖形概念，需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是圖形,而相似圖形不一定是圖形;兩個位似圖形的位似中心只有一個；兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè);利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似.（3）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于 .二、合作探究：1、如圖，點。是 ABC外的一點，分別在射線 OA OB OC上取一點D E、F,使得迫 OE O匚3，連接DE EF、FD,所彳導(dǎo) DEF與 ABC是否相似？說明理由。OA OB OCE【歸納】實際上 圖形

29、。）?DEF是把？ABC&大了 3倍后的圖形。（？ABC就是把？DEF縮小了 3倍后的2、把圖中的四邊形ABCDS小到原來的12三、課堂檢測：1、如圖， ABCt是位似圖形，位似比為 2: 3,已知AB=48A 、6 B、5 C、9 D、32、四邊形ABC前四邊形A1BCQ是位似圖形，點。是位似中心。如果 OA OA=1:3,那么AB: AiBi=3、如圖，以O(shè)為位似中心，將 ABC放大為原來的兩倍。則DE的長等于（）O4、畫出所給圖中的兩個位似圖形的位似中心.似2、自主探究:1、如圖， ABC三個頂點坐標分別為 A(2,3) , B(2,1) , C(6,2)(1)將AABC向左平移三個單位得到 ABG,寫出Ai、B、G三點的坐標;(2)寫出 ABC關(guān)于x軸對稱的 ABG三個頂點A2、B、G的坐標；(3)將 ABC繞點。旋轉(zhuǎn)180得到A