第2章點、直線和平面的投影

1、畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖第第2 2章章 點、直線和平面的投影點、直線和平面的投影2.1 2.1 投影法概述投影法概述 2.2 2.2 點的投影點的投影2.3 2.3 直線的投影直線的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.1 2.1 投影法概述投影法概述上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法 2

2、.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 2.1.3 2.1.3 正投影法的主要投影特性正投影法的主要投影特性 2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影圖工程上常用的投影圖畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射線投射線bS 投射中心投射中心A 空間點空間點B 將光線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得將光線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。到物體影子的方法稱為投影法。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫

3、畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖投影法的分類投影法的分類 1. 1. 中心投影法中心投影法 投射線匯交于一點。投射線匯交于一點。 投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。投影的大小有影響。度量性較差度量性較差 2. 2. 平行投影法平行投影法 投射線互相平行。投射線互相平行。 投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量度量性較好性較好 （1 1）斜投影斜投影 投射線與投影面傾斜的平行投影投射線與投影面傾斜的平行投影

4、。 （2 2）正投影正投影 投射線與投影面垂直的平行投影。投射線與投影面垂直的平行投影。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法 : : 投射線匯交一點的投影法投射線匯交一點的投影法投射中心投射中心投射線投射線平面圖形平面圖形投影面投影面投影投影上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖

5、2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法平行投影法 : : 投射線相互平行的投影法投射線相互平行的投影法 （投射中心（投射中心位于無限遠處）位于無限遠處）平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法 工程圖樣工程圖樣（零件圖和裝配圖）（零件圖和裝配圖）多面投影圖多面投影圖 單面投影圖單面投影圖 單面投影圖單面投影圖 輔助圖樣輔助圖樣（正等軸測圖）（正等軸測圖） 輔助圖樣輔助圖樣 （斜二軸測圖）（斜二軸測圖）上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖正投

6、影法與斜投影法正投影法與斜投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法。投射線與投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法。投射線與投影面相傾斜的平行投影法。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.1.3 2.1.3 正投影法的主要投影特性正投影法的主要投影特性 1.1. 實形性實形性 當線段或平面平行于投影面時，當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭?。其投影反映實長或?qū)嵭巍?

7、2.2. 積聚性積聚性 當線段或平面垂直于投影面時，當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。其投影積聚為點或線段。 3.3. 類似性類似性 當線段或平面傾斜于投影面時，當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。其投影變短或變小。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖1. 1. 實形性實形性CDEBAPabedc當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭?。當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍Ｉ弦豁撋弦豁撓乱豁撓乱豁摲祷啬夸浄祷啬夸洰嫯嫯嫯?/p>

8、畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 積聚性積聚性edca（b）CDEBAP當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖3. 3. 類似性類似性CDEedcBAabP當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄

9、返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影圖工程上常用的投影圖1.1.正投影圖（多面）正投影圖（多面） 2.2.軸測圖（單面）軸測圖（單面） 3.3.透視圖（單面）透視圖（單面） 4.4.標高投影圖（單面）標高投影圖（單面） 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖圖樣名稱圖樣名稱 特特 點點應(yīng)應(yīng) 用用正投影圖正投影圖（多（多 面）面） 優(yōu)點：

10、優(yōu)點： 能準確表達物體形狀和大小，能準確表達物體形狀和大小，且作圖方便。且作圖方便。 缺點：缺點：缺乏立體感，直觀性較差，缺乏立體感，直觀性較差，要運用正投影法對照幾個投影才能想象要運用正投影法對照幾個投影才能想象出物體的形狀。出物體的形狀。 在工程上，正投影圖是最常用的在工程上，正投影圖是最常用的圖樣。如：圖樣。如： （1）零件圖）零件圖 （2）裝配圖）裝配圖軸軸 測測 圖圖 （單（單 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點： 一個圖形能同時反映物體的一個圖形能同時反映物體的正面、水平面和側(cè)面的形狀，而富有立正面、水平面和側(cè)面的形狀，而富有立體感。體感。 缺點：缺點：不能反映物體各表面的實形，不能反映物體各表

11、面的實形，且作圖較復雜。且作圖較復雜。 在工程上，常把軸測圖用作輔助在工程上，常把軸測圖用作輔助圖樣，說明產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)和使用方法；圖樣，說明產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)和使用方法；在設(shè)計和測繪中，幫助進行空間構(gòu)在設(shè)計和測繪中，幫助進行空間構(gòu)思和想象物體形狀；空間機構(gòu)和管思和想象物體形狀；空間機構(gòu)和管路布局。如：路布局。如： （1）正等測）正等測 （2）斜二測）斜二測透透 視視 圖圖（單（單 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點： 透視投影符合人的視覺映象，透視投影符合人的視覺映象，看起來自然、逼真?？雌饋碜匀弧⒈普?。 缺點：缺點：作圖復雜，度量性差。作圖復雜，度量性差。 主要用于建筑工業(yè)設(shè)計等工程中，主要用于建筑工業(yè)設(shè)計等工程中

12、，如繪制效果圖或建筑物的外形。如繪制效果圖或建筑物的外形。 標高投影圖標高投影圖（單（單 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點：能解決物體高度方向的度量能解決物體高度方向的度量問題。問題。 主要用于地圖以及土建工程圖中主要用于地圖以及土建工程圖中表示土木結(jié)構(gòu)或地形。表示土木結(jié)構(gòu)或地形。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.2 2.2 點的投影點的投影 2.2.1 2.2.1 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影 2.2.22.2.2 兩點之間的相對位置關(guān)系兩點之間的相對

13、位置關(guān)系 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.2.1 2.2.1 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 1. 1. 三投影面體系的建立三投影面體系的建立 2. 2. 點的投影點的投影 3. 3. 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律 4. 4. 點的投影與直角坐標的關(guān)系點的投影與直角坐標的關(guān)系 5. 5. 特殊位置點的投影特殊位置點的投影 6. 6. 點在其他分角中的投影點在其他分角中的投影 畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾

14、幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa aA上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖1. 1. 三投影面體系的建立三投影面體系的建立HVXOZYW 三投影面體系由三投影面體系由V V、H H、W W三個投影面構(gòu)成。三個投影面構(gòu)成。 H H、V V、W W面面將空間分成八個分角，處在前、上、左側(cè)的那個分角稱為將空間分成八個分角，處在前、上、

15、左側(cè)的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 點的投影點的投影HVXZYWOA 點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V V面面不動，不動，H H面向下旋轉(zhuǎn)面向下旋轉(zhuǎn)9090 ，W W面向右旋轉(zhuǎn)面向右旋轉(zhuǎn)

16、9090 。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖3. 3. 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay 點的點的V V面投影與面投影與H H面投影之間的連線垂直面投影之間的連線垂直0X0X軸，軸，aa0X aa0X ；點；點的的V V面投影與面投影與W W面投影之間的連線垂直面投影之間的連線垂直0Z0Z軸，軸，a a“0Za a“0Z；點；點的

17、的H H面投影到面投影到0X0X軸的距離及點的軸的距離及點的W W面投影到面投影到0Z 0Z 軸的距離兩者相軸的距離兩者相等，反映點到等，反映點到V V面的距離。面的距離。 長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等A上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例1 1 已知點已知點A A的正面與側(cè)面投影，求點的正面與側(cè)面投影，求點A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程

18、程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖Haa VWXOZYWYHaxayazay4. 4. 點的投影與直角坐標的關(guān)系點的投影與直角坐標的關(guān)系 點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應(yīng)關(guān)系。在著對應(yīng)關(guān)系。yAxAzAHVXZYWOAayaxazxyzaaaa yA上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例2 2 已知點已知點B B的坐標為（的坐標為（25,20,30)25,20,30)，求作點，求作點B B的三面投

19、影。的三面投影。XYWYHZO（1）在）在OX軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度25，過截點作垂直線。過截點作垂直線。（2）在）在OZ軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度30，過截點作水平線。過截點作水平線。（3）在）在OY軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度20，作出投影作出投影a、a。aaa302520畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖a aa XOZYWaxayayb c c b b c 5.5.特殊位置點的投影特殊位置點的投影投影面上的點投影面上的點 一個投影與投影面重合，另兩個投影投影軸上。一個投影與投影

20、面重合，另兩個投影投影軸上。投影軸上的點投影軸上的點 兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點與原點重合的點 點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖6. 6. 點在其他分角中的投影點在其他分角中的投影投影特點：投影特點： (1) 第二分角中的第二分角中的B點點, 其其V面投影面投影b

21、 和和H面投影面投影b都在都在X軸上方。軸上方。 (2) 第三分角中的第三分角中的C點點, 其其V面投影面投影c 在在X軸下方軸下方, H面投影面投影c在在X軸的上方。軸的上方。 (3) 第四分角中的第四分角中的D點點, 其其V面投影面投影d 和和H面投影面投影d都在都在X軸下方。軸下方。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.2.22.2.2 兩點之間的相對位置關(guān)系兩點之間的相對位置關(guān)系1.1. 兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定 2. 2. 重影點重影點 上一

22、頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖XOZY1. 1. 兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定a a ab b bBA 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大?。﹣泶_定的。（或坐標大?。﹣泶_定的。X X坐標值大的點在左；坐標值大的點在左；Y Y坐標值坐標值大的點在前；大的點在前；Z Z坐標值大的點在上。坐標值大的點在上。 XZYWYHOaa ab bb 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法

23、法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 重影點重影點Dc(d)a(b)abAB 若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。cdCOX上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖重影點可見性判別重影點可見性判別XYHZYWOc(d)ba(b)ac

24、da b c d 判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。見點的投影加括號表示。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例3 3 已知已知A A點在點在B B點的右點的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A點的投影。點的投影。a a aXZYWYHOb bb 12

25、106上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.3 2.3 直線的投影直線的投影2.3.2 2.3.2 直線對投影面的相對位置及投影特性直線對投影面的相對位置及投影特性2.3.3 2.3.3 直線上的點直線上的點 2.3.1 2.3.1 直線的三面投影直線的三面投影2.3.4 2.3.4 一般位置線段的實長及對投影面的傾角一般位置線段的實長及對投影面的傾角 2.3.5 2.3.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 2.3.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理 上一頁

26、上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖OXZY2.3.1 2.3.1 直線的三面投影直線的三面投影ABbbabaaZXa a aOYHYWb bb 空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程

27、 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.3.2 2.3.2 直線對投影面的相對位置及投影特性直線對投影面的相對位置及投影特性1.1.一般位置直線一般位置直線 2.2.投影面平行線投影面平行線 平行于一個投影面，與其它兩個投影面傾斜的直線。平行于一個投影面，與其它兩個投影面傾斜的直線。 正平線正平線: : V，對，對H、W面傾斜面傾斜 水平線水平線: : H，對，對V、W傾斜傾斜 側(cè)平線側(cè)平線: : W對對H、V傾斜傾斜3.3.投影面垂直線投影面垂直線 垂直于一個投影面，與其它兩個投影面平行的直線。垂直于一個投影面，與其它兩個投影面平行的直線。 鉛垂線鉛垂線：H面，面，V，W 正垂線：正垂線：V面，面，

28、H，W 側(cè)垂線：側(cè)垂線：W面，面，H，V 與三投影面既不平行也不垂與三投影面既不平行也不垂直，而是傾斜的直線。直，而是傾斜的直線。統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖OXZY1. 1. 一般位置直線投影特性一般位置直線投影特性ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1 1、a ba b、 a a b b 、a a b b 均小于實長均小于實長 2 2 、a ba b、a a b b 、a a b b 均傾斜于投影軸

29、均傾斜于投影軸 3 3 、不反映、不反映 、 、 實角實角上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性1.1.直線在所平行的投影面上的投影直線在所平行的投影面上的投影, ,反映其實長和與其它兩個投影面的傾角（具有實形性）。反映其實長和與其它兩個投影面的傾角（具有實形性）。2.2.直線在其它兩個投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸直線在其它兩個投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸, ,且小于實長（具有類似性）。且小于實長（

30、具有類似性）。 正平線正平線 水平線水平線 側(cè)側(cè) 平線平線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 水平線水平線 平行于水平投影面的直線平行于水平投影面的直線XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：投影特性：1 1、a a b b OX ; aOX ; a b b OYW 2OYW 2、abab=AB=AB 3 3、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何

31、何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖XZYO正平線正平線 平行于正面投影面的直線平行于正面投影面的直線Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b =AB 3. 反映反映 、 角的真實大小角的真實大小aababb上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖XZYO側(cè)平線側(cè)平線 平行于側(cè)面投影面的直線平行于側(cè)面投影面的直線XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、

32、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小aa b a bb上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖3. 3. 投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 正垂線正垂線鉛垂線鉛垂線側(cè)垂線側(cè)垂線1.1.直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點（具有積聚性）。直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點（具有積聚性）。2.2.直線在其它兩個投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸直線在其它兩個投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸,

33、 ,且反映其實長（具有實形性）。且反映其實長（具有實形性）。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖OXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 投影特性投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB鉛垂線鉛垂線 垂直于水平投影面的直線垂直于水平投影面的直線ABb a(b)a ab上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工

34、 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖正垂線正垂線 垂直于正面投影面的直線垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性投影特性： 1、 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖側(cè)垂線側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OYH ; a b

35、 OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖直線上的點具有兩個特性：直線上的點具有兩個特性： 1.1.從屬性從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2.2.定比性定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即屬

36、于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 2.3.3 2.3.3 直線上的點直線上的點Ccc c上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖b Xa abcc 例例4 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C的投影。的投影。O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工

37、工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例5 已知點已知點C在線段在線段AB上，求點上，求點C的正面投影。的正面投影。accbXOABbbaacCcHVOb Xa abcc 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖3. 3. 直線的跡點直線的跡點m mnn XO 直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。XAb aa m N n bBM

38、 mnOVHa b ba上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.3.4 2.3.4 一般位置線段的實長及對投影面的傾角一般位置線段的實長及對投影面的傾角 ABbbaaCXO|zA-zB| 過過A A作作ACabACab得直角三角形得直角三角形ABCABC，其中，其中AC=abAC=ab，BC=Bb-BC=Bb-Aa=zAa=zB B-z-zA A，斜邊，斜邊ABAB即為實長，即為實長，ABAB與與ACAC的夾角即為的夾角即為ABAB對對H H面的傾面的傾角角，這種方法

39、稱為直角三角形法。，這種方法稱為直角三角形法。|zB-zA |ABXaabbAB|zB-zA|abO上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖作圖要領(lǐng)作圖要領(lǐng) 用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影

40、面的夾角。長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。 |zA-zB |ABXaabb AB|zA-zB|abO上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖直角三角形直角三角形的四個要素的四個要素 四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。ABab|zA-zB|斜邊斜邊直角邊（投影）直角邊（投影）直角邊（坐標差）直角邊（坐標差）夾角

41、（投影與斜邊）夾角（投影與斜邊）實長實長 水平投影水平投影 Z 正面投影正面投影Y 側(cè)面投影側(cè)面投影X上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 例例5 5 已知已知 線段的實長線段的實長ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面投影abab。aXa bAOBb0bb0bb0b b 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 若空間兩直

42、線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若空間兩直線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若兩直線的各組同面投影都互相平行，則空間兩直線必平行。若兩直線的各組同面投影都互相平行，則空間兩直線必平行。 1.1.平行兩直線平行兩直線XbaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.5 2.3.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.2.相交兩直線相交兩直線 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點符兩相交直線在同一投影面上的投影仍

43、相交，且交點符合點的投影規(guī)律。合點的投影規(guī)律。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點符合點相交，且交點符合點 的投影規(guī)律，則該兩直線相交。的投影規(guī)律，則該兩直線相交。OXBDACKbbaaccddkkObXaabkcddck上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖3.3.交叉兩直線交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )

44、21b Xa abc d dc11 (2 )2O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖dacboYWYHZXaacddcbb例例6 6 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7 7 判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性O(shè) 判斷重影點的判斷重影點的可見

45、性時，需要看可見性時，需要看重影點在另一投影重影點在另一投影面上的投影，坐標面上的投影，坐標值大的點投影可見，值大的點投影可見，反之不可見，不可反之不可見，不可見點的投影加括號見點的投影加括號上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.3.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。平行線時，則兩直線在投影面

46、上的投影必定互相垂直。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖. .垂直相交的兩直線的投影垂直相交的兩直線的投影BHACbcacXabcab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求證：，求證：abc=90證明：證明： ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC 又又A

47、Bab ab平面平面BbcC abbc， 即即:abc=ABC=90 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 交叉垂直的兩直線的投影交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB AC, 且且ABH面面, 則有則有ab ac上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖bbaaOfeefX例例8 8 過點過點A A 作作EF

48、 EF 線段的垂線線段的垂線ABAB。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例9 9 求點求點E E 到水平線到水平線AB AB 的距離。的距離。XOababeeddyD-yE所求距離所求距離上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖例例10 作三角形作三角形ABC， ABC為直角，使為直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcAB

49、ab|yA-yB|bc=BCnmaaXmnOc上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法2.4.2 2.4.2 平面對投影面的相對位置平面對投影面的相對位置及投影特性及投影特性2.4.3 2.4.3 平面上的點和直線平面上的點和直線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖

50、圖2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1 1）不在一直線上的三個點；）不在一直線上的三個點；（2 2）一直線和直線外一點；）一直線和直線外一點；（3 3）相交兩直線；）相交兩直線；（4 4）平行兩直線；）平行兩直線；（5 5）任意平面圖形。）任意平面圖形。1.1. 用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 用跡線表示平面用跡線表示平面PXPVPHOX

51、ZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW 跡線是平面與投影面的交線，平面跡線是平面與投影面的交線，平面P與與H、V、W面的交面的交線分別稱為水平跡線、正面跡線和側(cè)面跡線，跡線與投影軸線分別稱為水平跡線、正面跡線和側(cè)面跡線，跡線與投影軸的交點稱為跡線的集合點。的交點稱為跡線的集合點。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2.4.2 2.4.2 平面對投影面的相對位置及投影特性平面對投影面的相對位置及投影特性1. 1. 一般位置平面一般位置平面2. 2

52、. 投影面平行面投影面平行面 （ 1 ）正平面正平面 （2）水平面）水平面 （3）側(cè)平面）側(cè)平面3. 3. 投影面垂直面投影面垂直面 （1）正垂面）正垂面 （2）鉛垂面）鉛垂面 （3）側(cè)垂面）側(cè)垂面上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖1.1.一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性： （1 ）abc 、 a b c 、 a b c 均為均為 ABC的類似形。的類似形。 （2 ）不直接反映）不直接反映 、 、 。 abbaccbacabcbacabCAB上一頁上一頁下

53、一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖2. 2. 投影面平行面投影面平行面1.1.在所平行在所平行的投影面上，的投影面上，平面的投影反平面的投影反映實形（具有映實形（具有實形性）。實形性）。2.2.在其它兩在其它兩個投影面上，個投影面上，平面的投影積平面的投影積聚成直線（具聚成直線（具有積聚性）并有積聚性）并平行于相應(yīng)的平行于相應(yīng)的投影軸，且分投影軸，且分別與其兩個跡別與其兩個跡線重合。線重合。 正平面正平面水平面水平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫嫔弦豁撋弦豁撓乱豁撓乱豁摲祷啬夸浄祷啬夸洰嫯嫯嫯嫯嫯?/p>

54、 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 正平面正平面投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 積聚為直線（具有積聚性）。積聚為直線（具有積聚性）。 （2） 正平面投影正平面投影a b c 反映反映 ABC實形（具有實形性實形（具有實形性）。）。 cabbacbcaVWHbacabcbcaCBA上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖VWH水平面水平面投影特性：投影特性：（）（）a b c

55、 、 a b c 積聚為積聚為直線（具有積聚性）積聚為積聚為直線（具有積聚性） （2 ）水平投影）水平投影abc反映反映 ABC實實形形 （具有實形性）（具有實形性） CABabcbacabccabbbaacc上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖abbbaccca投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 積聚為直線（具有積聚性）。積聚為直線（具有積聚性）。 （2） 側(cè)平面投影側(cè)平面投影a b c 反映反映 ABC實形實形 。 側(cè)平面VWHbcbacabcC

56、ABa上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖3. 3. 投影面垂直面投影面垂直面1. 1. 平面在所垂平面在所垂 直直的投影面上的投影的投影面上的投影積聚成傾斜于投影積聚成傾斜于投影軸的直線（具有積軸的直線（具有積聚性）并反映該平聚性）并反映該平面對其它兩個投影面對其它兩個投影面的傾角，且與跡面的傾角，且與跡線重合。線重合。2. 2. 平面的其它兩平面的其它兩個投影都是小于原個投影都是小于原圖形的類似形（具圖形的類似形（具有類似性）。有類似性）。 正垂面正垂面鉛垂面鉛垂

57、面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑嫔弦豁撋弦豁撓乱豁撓乱豁摲祷啬夸浄祷啬夸洰嫯嫯嫯嫯嫯?法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖 鉛垂面鉛垂面VWHPPHABCacbababbaccc投影特性投影特性： 1. abc積聚為直線。積聚為直線。 2 . a b c 、 a b c 為為 ABC的類似形。的類似形。 3. abc與與OX、 OY的夾角的夾角反映反映 、 。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖VWHQQV正垂

58、面正垂面 ababbacccAcCabB投影特性投影特性： （）（） a b c 積聚為直線（具有積聚性）。積聚為直線（具有積聚性）。 （）（） abc、a b c 為為 ABC的類似形（具有類似性）。的類似形（具有類似性）。 （）（） a b c 與與OX、 OZ的夾角的夾角反映反映、 。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖VWHSWS側(cè)垂面?zhèn)却姑鍯abABcabbbaaccc投影特性：投影特性：（1） a b c 積聚為直線。積聚為直線。 （2 ）abc、 a b

59、 c 為為 ABC的類似形的類似形 。 （3 ） a b c 與與OZ、 OY的夾角的夾角反映反映、。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制制制 圖圖圖圖圖圖1. 1. 點和直線在平面上的幾何條件點和直線在平面上的幾何條件（1 1）點在平面上的幾何條件）點在平面上的幾何條件： 點在平面內(nèi)的某一直線上。點在平面內(nèi)的某一直線上。（2 2）直線在平面上的幾何條件：）直線在平面上的幾何條件： 通過平面上的兩點；通過平面上的兩點； 通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。通過平面上的一點且平行

60、于平面上的一條直線。 應(yīng)用：應(yīng)用：在平面上取點、直線，實質(zhì)上是在平面內(nèi)作輔助在平面上取點、直線，實質(zhì)上是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類解決三類問題：問題：判別已知點、線是否屬于已知平面。判別已知點、線是否屬于已知平面。完成已知平面上的點和直線的投影。完成已知平面上的點和直線的投影。完成多邊形的投影。完成多邊形的投影。2.4.3 2.4.3 平面上的點和直線平面上的點和直線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄畫畫畫畫畫畫 法法法法法法 幾幾幾幾幾幾 何何何何何何 及及及及及及 工工工工工工 程程程程程程 制制制制