一元二次方程導(dǎo)學(xué)案

1、第二十一章一元二次方程21 . 1 一元二次方程學(xué)Wg桃.1 , 了解一元二次方程的概念,應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單問題.2 .掌握一元二次方程的一般形式ax2+ bx+ c=0(a W0)及有關(guān)概念.3 .會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念.f隹,成率河重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索.難點(diǎn)：由實(shí)際問題列出一元二次方程；準(zhǔn)確熟悉一元二次方程的二次項(xiàng)和系數(shù)以及一次項(xiàng)和系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).k預(yù),習(xí)/ m一、自學(xué)指導(dǎo).(10分鐘)問題1 ：如圖,有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng) 1oo cm寬50 cm在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形,然后將四周突出局部折起,就能制作一個(gè)

2、無(wú)蓋方盒.如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積為3600 cm,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？分析：設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為 x cm那么盒底的長(zhǎng)為 (100 2x) cm ,寬為 (50 2x) cm1 .歹!方程 (1002x) (50 2x) =3600 ,化簡(jiǎn)整理,得x2- 75x + 350= 0 ,問題2:要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng).根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程方案安排 7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？分析：全部比賽的場(chǎng)數(shù)為 4X7=28 .設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,每個(gè)隊(duì)要與其他一 ,一.x (x 1)(x 1) 個(gè)隊(duì)各賽1場(chǎng),所以全部比賽共2場(chǎng).

3、列方程 x(X；1)=28 ,化簡(jiǎn)整理,得x2x 56=0 .探究：(1)方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)各是多少？1個(gè).(2)它們最高次數(shù)分別是幾次？2次.歸納：方程的共同特點(diǎn)是：這些方程的兩邊都是 整式,只含有 一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的方程.1. 一元二次方程的定義等號(hào)兩邊都是 整式 ,只含有 個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2( 次)的方程,叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式一般地,任何一個(gè)關(guān)于 x的一元二次方程,經(jīng)過(guò)整理,都能化成如下形式： ax2 + bx+ c = 0(a w0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系

4、數(shù),bx是一次項(xiàng),_b_是一次項(xiàng)系數(shù),_c_是常數(shù)項(xiàng).點(diǎn)撥精講:一二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系藪、常數(shù)項(xiàng)都要包含它前面的符號(hào).二次項(xiàng)系數(shù)awo是一個(gè)重要條件,不能漏掉.二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視.(6分鐘)1 .判斷以下方程,哪些是一元二次方程？(1)x 3-2x2+5 = 0;(2)x 2 = 1;(3)5x35(4)2(x + 1)2= 3(x + 1);(5)x 2 2x = x2 + 1; (6)ax 2+ bx + c= 0.解：(2)(3)(4).點(diǎn)撥精講：有些含字母系數(shù)的方程,盡管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知數(shù),這樣 的方程仍然是整式方程.2 .將方

5、程3x(x -1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一 次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).解：去括號(hào),得 3x23x=5x+10.移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得3x28x10 = 0.其中二次項(xiàng)系數(shù)是3, 一次項(xiàng)系數(shù)是8,常數(shù)項(xiàng)是10.點(diǎn)撥精講：將一元二次方程化成一般形式時(shí),通常要將首項(xiàng)化負(fù)為正,化分為整.I合作舞先r一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.(8分鐘)1.求證：關(guān)于 x的方程(m2 8m 17)x 2+ 2m奸1 = 0,無(wú)論m取何值,該方程都是一元二次方 程.證實(shí)：ni 8m+ 17 = (m 4)2+1, .(m-4)20, .(m-4)

6、2+ 10,即(m 4)2+1w0. 無(wú)論m取何值,該方程都是一元二次方程.點(diǎn)撥精講：要證實(shí)無(wú)論 m取何值,該方程都是一元二次方程,只要證實(shí)ni-8m+ 170即可.2.下面哪些數(shù)是方程 2x2+10x+12 = 0的根？-4, - 3, - 2, - 1, 0, 1 , 2, 3, 4.解：將上面的這些數(shù)代入后,只有一 2和一3滿足等式,所以x= 2或x= 3是一元二次方 程 2x2+10x+12 = 0 的兩根.點(diǎn)撥精講：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根,只要把這個(gè)數(shù)代入等式,看等式兩邊是否相等即可.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.(9分鐘)1 .判斷以下方程

7、是否為一元二次方程.(1)1 -x2=0; (2)2(x21) =3y;(3)2x 2-3x-1 = 0; (4) 4-2=0; x x(5)(x +3)2=(x-3)2； (6)9x 2=54x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.2 .假設(shè)x=2是方程ax2 + 4x5 = 0的一個(gè)根,求 a的值.解：.x= 2是方程ax2+4x5 = 0的一個(gè)根, .4a+ 8-5=0,解得a= - 743 .根據(jù)以下問題,列出關(guān)于 x的方程,并將其化成一元二次方程的一般形式：(1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長(zhǎng) x;(2) 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多

8、2,面積是100,求長(zhǎng)方形的長(zhǎng) x.解：(1)4x 2=25, 4x2-25= 0; (2)x(x 2)=100, x2-2x-100=0.1. 堂小京：學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)2. 一元二次方程的概念以及怎樣利用概念判斷一元二次方程.3. 一元二次方程的一般形式ax2+bx+c = 0(a W0),特別強(qiáng)調(diào) aw0.4. 要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根.當(dāng)堂四薛一學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.(10分鐘)21 . 2解一元二次方程21 . 2.1 配方法(1)/艾R白林,1 .使學(xué)生會(huì)用直接開平方法解一元二次方程.2 .滲透轉(zhuǎn)化思想,掌握一些轉(zhuǎn)化的技能.k再成琴盤重

9、點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如(x +m)2=n(n 0)的方程；領(lǐng)會(huì)降次一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.難點(diǎn)：通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如 如(x + m)2= n(n 0)的方程.一、自學(xué)指導(dǎo).(10分鐘)問題1: 一桶某種油漆可刷的面積為x2= n(n 0)的方程,知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形:預(yù)習(xí)生學(xué).1500 dn2,小李用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外外表,你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 x dm那么一個(gè)正方體的外表積為 6x2 dnn,根據(jù)一桶油漆可刷的面積列出 方程：10X6x2= 1500 ,由此可得 x2= 25 ,根據(jù)平方根的意義,得 x= 5 ,即 x=5,

10、x2= 5.可以驗(yàn)匯二5_和二而函程的根,但棱長(zhǎng)不能為負(fù)值,所以正方體的棱長(zhǎng)為_5_dm探究：對(duì)照麗 H而程的過(guò)程,你認(rèn)為應(yīng)該怎樣解方程(2x 1)2= 5及方程x2+-6x+9=4?方程(2x1)2=5左邊是一個(gè)整式的平方,右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù),根據(jù)平方根的意義,可將方程變形為 2x 1 = y5 ,即將方程變?yōu)開2x 1 =吊5和_2x - 1 = - 5一兩個(gè)一元一次方程,從而得到方程(2x -1)2=5的兩個(gè)解為 x1 = 1+步,x2= 1 25 在解上述方程的過(guò)程中,實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,這樣問題就容易解決了.方程x2+6x + 9=4的左邊是完全平

11、方式,這個(gè)方程可以化成(x+ 3 )2=4,進(jìn)行降次,得到_x+3=2 _ ,方程的根為 x1 = _ 1_,又2 = _ 5_.歸納：在解一元二次方程時(shí)通常通過(guò)國(guó)次把它轉(zhuǎn)而兩個(gè)一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p 0)或(mx+ n) 2=p(p 0)的形式,那么可得 x=W或 mx+ n=fp.二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視.(6分鐘)解以下方程：(1)2y2=8;(2)2(x -8)2=50;(3)(2x -1)2 + 4=0; (4)4x 2-4x+ 1 = 0.解：(1)2y 2=8,(2)2(x - 8)2=50,y2=4,(x -8)2=25,y =

12、2,x 8= 5,(2x -1)2 + 4=0, (2x -1)2=-40)或(mx+n)2=p(p 0)的形式,假設(shè)能,那么可點(diǎn)撥精講：觀察以上各個(gè)方程能否化成 運(yùn)用直接開平方法解.、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.(8分鐘)3 .用直接開平方法解以下方程：(3x +1)2=7; (2)y 2+2y+1 = 24;(3)9n 2-24n + 16= 11.解：(1) T； (2) 12m；(3) 4 33點(diǎn)撥精講：運(yùn)用開平方法解形如(mx+n)2= p(p0)的方程時(shí),最容易出錯(cuò)的是漏掉負(fù)根.4 .關(guān)于x的方程x2+(a2+1)x 3=0的一個(gè)根是1,求a的

13、值.解：1.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.(9分鐘)用直接開平方法解以下方程：(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x24x+4=5;(3)9x 2+6x+1 = 4; (4)36x2-1 = 0;(5)4x 2=81; (6)(x+5)2= 25;2_.(7)x +2x+1=4.解：(1)x 1=1+/, x2=1艱；(2)x 1 = 2+ 5J5, x2=2J5;,一 1 (3)x 1 = - 1, x2= 3 1 1(4)x 1 = 6,x2= 6；99(5)x 1 = 1 x2= 2(6)x 1 = 0, x2= 10； (7)x 1=1, x

14、2= 3.k熊堂小菇t學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)1 .用直接開平方法解一元二次方程.2 .理解“降次思想.3 .理解 x2= p(p 0)或(mx+n) 2= p(p 0)中,為什么 p 0?四堂就薛一學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.(10分鐘)21 . 2.1 配方法(2)/艾可耳林,1 .會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.2 .掌握配方法和推導(dǎo)過(guò)程,能使用配方法解一元二次方程.f點(diǎn)叫亂重點(diǎn)：掌握配方法解一元二次方程.難點(diǎn)：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為形如(x -a)2=b的過(guò)程.力壯舉各(2分鐘)1 .填空：(1)x 2- 8x+16 = (x 4 )2;(2)9x 2+ 12x

15、 + 4 = (3x + 2)2;(3)x 2+ px + (!=)j= (x + _|_) 2.2 .假設(shè)4x2m肝9是一個(gè)完全平方式,那么m的值是12.一、自學(xué)指導(dǎo).(10分鐘)問題1：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6 m并且面積為16 m,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分別是多少米？設(shè)場(chǎng)地的寬為x3 那么長(zhǎng)為(x + 6)m根據(jù)矩形面積為 16 m,得到方程 x(x + 6) = 16,整理得到x2+6x- 16=0 .探究：怎樣解方程 x2+6x16=0?比照這個(gè)方程與前面討論過(guò)的方程x2+6x+9=4,可以發(fā)現(xiàn)方程x2+6x + 9=4的左邊是含有x的完全平方形式,右邊是非負(fù)數(shù),可以直接降次解方程；而方程

16、x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困難,能設(shè)法把這個(gè)方程化為具有上述形式的方程嗎？ 2解：移項(xiàng),得 x + 6x = 16,兩邊都加上 9 即(|f,使左邊配成乂5乂+吟)2的形式,得2x + 6x + 9= 16+_9 ,左邊寫成平方形式,得_(x + 3) 2= 25_ ,開平方,得_x+3=5_,(降次)即 x + 3= 5 或 x+ 3= 5_,解一次方程,得 xi = _2_, X2=_二8_.歸納：通過(guò)配成完全平方氐的形式解一九三次方程的方法,叫做配方法；配方的目的是為了降次,把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.問題2:解以下方程：(1)3x21 = 5;(2)4(x

17、 1)29=0;(3)4x 2+ 16x + 16=9.5,.15斛：(1)x = (2)x 1= 5, x2=2；,一 71(3)x 1= 2,X2= - 5歸納：利用配方法解方程時(shí)應(yīng)該遵循的步驟：(1)把方程化為一般形式 ax2+bx+c=0;(2)把方程的常數(shù)項(xiàng)通過(guò)移項(xiàng)移到方程的右邊；(3)方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a;(4)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(5)此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式,然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元 一次方程來(lái)解.二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視.(8分鐘)1 .填空：(1)x 2+ 6x + 9= (x + 3 )2

18、;(2)x 2-x + _=_=(x -_=_)2;(3)4x 2+ 4x + _1_= (2x + _1_) 2.2 .解以下方程：2_ 2_(1)x +6x+5= 0; (2)2x+6x + 2=0;(3)(1 +x) 2+2(1 +x) -4=0.解：(1)移項(xiàng),得*2+6*=5,配方得 x2+ 6x+32=- 5 + 32, (x +3)2=4,由此可得 x+3=2,即 x1= 1, x2= 5.(2)移項(xiàng),得 2x2+6x= 2,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2+ 3x = 1,配方得 x2+ 3x+ (|) 2= (x +|)2 = |,由此可得 x+ |即 x1 = -2,/5 322.

19、2(3)去括號(hào),整理得 x +4x-1=0,移項(xiàng)得x2+ 4x= 1,配方得(x + 2)2=5,x+ 2=m,即 x1 = -/5 2, x2=一近一2.點(diǎn)撥精講：解這些方程可以用配方法來(lái)完成,即配一個(gè)含有x的完全平方式.j合作祿先一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.(5分鐘)如圖,在 RtABC中,/ C= 90 , AC= 8 m CB= 6四點(diǎn)巳Q同時(shí)由A, B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿 AC, BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng),它們的速度都是1 Ms,幾秒后 PCQ的面積為RtABC面積的一半？解：設(shè)x秒后4PCQ的面積為Rt ABC面積的一半.根據(jù)題意可列方程：2(8

20、-x)(6 -x) =Jx；x 8X6, 2即 x -14x + 24=0, , 一 2(x -7) =25,x 7= 5,xi = 12, x2= 2,xi = 12, x2= 2都是原方程的根,但 xi= 12不合題意,舍去.答：2秒后4PCQ的面積為Rt ABC面積的一半.點(diǎn)撥精講：設(shè)x秒后4PCQ的面積為Rt ABC面積的一半, PCQ也是直角三角形.根據(jù) 條件列出等式.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.(8分鐘)1 .用配方法解以下關(guān)于 x的方程：2 2(1)2x -4x-8=0;(2)x 4x+2=0;212(3)x -2x-1=0 ; (4)2x

21、+2=5.解：(1)x 1 = 1+aJ5, x2=1 J5；(2)x 1=2 + 2, x2=2-2;1117117(3)x1=4+ 學(xué),x2=4- 4 ；(4)x 1=-26, x2=- -26.2.如果 x2 4x + y2+ 6y + z + 2 +13=0,求(xy) z的值.解：由方程得x2-4x+4+ y2 + 6y+9 + /z+2=0,即(x 2)、+(y + 3)4 .z + 2= 0,=2, y=3, z=2. (xy) z=2X(- 3) 2=白36理堂小管學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)1 .用配方法解一元二次方程的步驟.2 .用配方法解一元二次方程的考前須知.

22、當(dāng) 也 就典學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.(10分鐘)21 . 2.2 公式法學(xué)與目標(biāo)1 .理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程,了解公式法的概念.2 .會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.j重點(diǎn)冷焦重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.難點(diǎn)：一元二次方程求根公式的推導(dǎo).陵前難備(2分鐘)用配方法解方程：2_2_一(1)x +3x+2= 0;(2)2x -3x + 5=0.解：(1)x 1 = 2, x2 = 1 ；(2)無(wú)解.現(xiàn)3一、自學(xué)指導(dǎo).(8分鐘)問題：如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx + c= 0(a w 0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？問題： ax2+bx+c

23、 = 0(a W0), 試推導(dǎo)它白兩個(gè)根 xi = b + Yb 4ac, X2=bV 4aC分析：由于前面具體數(shù)字已做得很多,現(xiàn)在不妨把a(bǔ), b, c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字,根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.探究：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a W0)的根由方程的系數(shù) a, b, c而定,因此：(1)解_*次方程時(shí), 可以先將方程化為一*般形式ax2+ bx+ c= 0,當(dāng)b2 4ac0時(shí))將a,b, c代入式子x=-bb2-4ac就得到方程的根,當(dāng) b24acv0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.一b Jb24aj一 、,、2(2)x =2a叫做一兀一次方程 ax + bx + c = 0(a w

24、0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有_2個(gè)實(shí)數(shù)根,也可能有 1一個(gè)實(shí)根或者_(dá)沒有實(shí)根.(5) 一般地,式子b24ac叫做方程ax2+bx + c= 0( aw0)的根的判別式,通常用希臘字母 A表 示,即 A = b2 4ac.二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視.(5分鐘)用公式法解以下方程,根據(jù)方程根的情況你有什么結(jié)論？(1)2x 23x = 0;(2)3x 22*x + 1= 0;(3)4x 2+ x+ 1= 0.,3 解：(1)x1 = 0, x2= 2；有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)x 1 = x2

25、=好；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；3(3)無(wú)實(shí)數(shù)根.點(diǎn)撥精講：A 0時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A = 0時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；A V0時(shí),沒有實(shí)數(shù)根.合作舞X一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.(8分鐘)1 .方程x24x+4=0的根的情況是(B )A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根2 .當(dāng) m為何值時(shí),方程(m+1)x2(2m 3)x + m+ 1=0,(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？(3)沒有實(shí)數(shù)根？一 1 一 1 一 1解：(1)m.3 .x2+2x=m- 1沒有實(shí)數(shù)根,求證：x2+ mx= 1 2m必

26、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.證實(shí)：:X 2+2x m+ 1 = 0沒有實(shí)數(shù)根,-4-4(1 -m)0, l. m 0.對(duì)于方程 x2+mx= 1 2m 即 x2+mx+ 2m-1 = 0,2A = m8m+ 4, . m0,x2+ mx= 1 2m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.(10分鐘)1 .利用判別式判定以下方程的根的情況：232(1)2x 3x , = 0； (2)16x 24x+9=0;(3)x 24也x+9=0 ; (4)3x2+10x = 2x2 + 8x.解：(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)無(wú)實(shí)數(shù)

27、根；(4)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.2 .用公式法解以下方程：(1)x 2+x12=0 ;(2)x 2-A/2x-1=0;2(3)x + 4x + 8= 2x + 11;(4)x(x 4) = 2 8x ;(5)x 2+ 2x=0 ;(6)x 2+ 2啊+ 10=0.解：(1)x 1 = 3, x2= 4;(2)xx2 =(3)x 1=1, x2= 一 3;(4)x1 = 2+ 鄧,x2=2 班；(5)x 1 = 0, x2=- 2; (6) 無(wú)實(shí)數(shù)根.點(diǎn)撥精講：(1) 一元二次方程ax2+bx+c = 0(a W0)的根是由一元二次方程的系數(shù)a, b, c確定的；(2)在解一元二次方程時(shí),可先把

28、方程化為一般形式,然后在b2-4ac0的前提下,把a(bǔ), b,c的值代入 x = 人 弋-4ac(b2 4ac 0)中,可求得方程的兩個(gè)根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.果堂小弟學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)1 .求根公式的推導(dǎo)過(guò)程.2 .用公式法解一元二次方程的一般步驟：先確定 ,a, b, c的值,再算.出b2- 4ac的值、最后 代入求根公式求解.3 .用判別式判定一元二次方程根的情況.f當(dāng)堂四盤學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.(10分鐘)21. 2.3 因式分解法f學(xué)習(xí)局標(biāo)1 .會(huì)用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.2

29、 .能根據(jù)具體的一元二次方程的特征,靈活選擇方程的解法,體會(huì)解決問題方法的多樣性.j重成冷樂重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程.難點(diǎn)：理解因式分解法解一元二次方程的根本思想.也上心二(2分鐘)將以下各題因式分解：(1)am + bm+ cm= (_a + b+ c )m;(2)a 2 b2= (a + b)(a b) ;(3)a 2 2ab+b2=(a b)2 .i球習(xí)一、自學(xué)指導(dǎo).(8分鐘)問題：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律,如果把一個(gè)物體從地面以10 ms的速度豎直上拋,那么經(jīng)過(guò) x s物體離地白高度(單位：m為10x4.9x 2.你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過(guò)多少秒落回地面嗎？(精確到 0.01 s)設(shè)物

30、體經(jīng)過(guò)x s落回地面,這時(shí)它離地面的高度為0,即10x 4.9x 2=0,思考：除配方法或公式法以外,能否找到更簡(jiǎn)單的方法解方程？分析：方程的右邊為 0,左邊可以因式分解得：x(10 -4.9x) =0,于是得x=0或10 4.9x =0,.X1 = _0_, x2- 2.04 .上述解中,x2= 2.04表示物體約在2.04 s時(shí)落回地面,而 xi = 0表示物體被上拋離開地面的 時(shí)刻,即0 s時(shí)物體被拋出,此刻物體的高度是0 m點(diǎn)撥精講：(1)對(duì)于一元二次方程,先將方程右邊化為0,然后對(duì)方程左邊進(jìn)行因式分解,使方程化為兩個(gè)一次式的乘積的形式,再使這兩個(gè)一次因式分別等于零,從而實(shí)現(xiàn)降次,這種

31、解法叫做因式分解法.(2)如果a b= 0,那么a=0或b = 0,這是因式分解法的根據(jù).如：如果 (x + 1)(x 1)=0, 刃B么 _x + 1 = 0或 _x _ 1 = 0_ , 即 _x = _ 1_或 _x= 1.工、自學(xué)檢測(cè):下生自主國(guó),小疝內(nèi)展示,一WMT!新巡視.(5分鐘)1.說(shuō)出以下方程的根：(1)x(x 8)=0;(2)(3x +1)(2x5)=0.解：(1)x 1 = 0, x2= 8;(2)x 1 = , x2= .322.用因式分解法解以下方程：(1)x 2-4x=0; (2)4x 2 49=0;(3)5x 220x + 20=0.77斛：(1)x 1 = 0,

32、 x2= 4; (2)x1 = 2,x2 =-;(3)x 1 = x2= 2.合作那總 1 A一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.(8分鐘)1 .用因式分解法解以下方程： 2(1)5x 4x = 0;(2)3x(2x +1) = 4x+2;(3)(x +5)2=3x+ 15.4斛：(1)x 1 = 0, x2=5-21(2)x 1=x2=-32(3)x 1 = 5, x2= 2.點(diǎn)撥精講：用因式分解法解一元二次方程的要點(diǎn)是方程的一邊是0,另一邊可以分解因式.2.用因式分解法解以下方程：(1)4x 2 144 = 0;-22(2)(2x -1) =(3x);(3

33、)5x 2-2x-7=x2-2x + 3;44(4)3x 2 12x = 12.解：(1)x 1 = 6, x2= 6;-4-(2)x 1= , x2= 2; 3,一 11(3)x 1=2, x2= 2；(4)x 1= x2= 2.點(diǎn)撥精講：注意本例中的方程可以試用多種方法.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.(10分鐘)1 .用因式分解法解以下方程：(1)x2+x=0; (2)x 2-2*x=0;(3)3x 2-6x=- 3; (4)4x2-121 = 0;(5)(x -4)2=(5 -2x)2.解：(1)x 1=0, x2= 1；(2)x 1=0, X2=

34、2 ,3;(3)x i = X2= 1;(4)x5x i=3, X2= 1.點(diǎn)撥精講：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：1將方程右邊化為_0_;2將方程左邊分解成兩個(gè)一次式的乘積_;3令每個(gè)因式分別為_0_,得到兩個(gè)二次方程；4解這兩個(gè)一元一次方程,它們的解就是原方程的解.2 .把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5 m得到大圓形場(chǎng)地,場(chǎng)地面積增加了一倍,求小圓形場(chǎng)地的半解：設(shè)小圓形場(chǎng)地的半徑為 x m那么可列方程2兀x?=兀x + 5 2.解得 x1=5 + 5/2, x2=55小舍去.答：小圓形場(chǎng)地的半徑為 5+5g m匕課堂小培/學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.2分鐘1 .用因式分解法解方程的根據(jù)由ab

35、 = 0得a=0或b=0,即“二次降為一次.2 .正確的因式分解是解題的關(guān)鍵.修堂就琳,學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.10分鐘21 . 2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系沙：習(xí)白林,1 .理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=-b, x1x2=c.a a2 .會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題.重點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用.難點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用.J預(yù)習(xí)一號(hào)一、自學(xué)指導(dǎo).10分鐘自學(xué)1:完成下表：方程x1x2xd x2x1x2x? 5x + 6= 02356x2+3x 10=02-5-310問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用語(yǔ)言表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；答：兩根之和為一次項(xiàng)

36、系數(shù)的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項(xiàng).x2+px+q = 0的兩根x1, x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 答：x1 + x2=p, x1x2=q.兩根之積為常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比.自學(xué)2:完成下表：方程x1x2x1 + x2x1x2一 2 一一一2x -3x-2=021-2321一 2,一3x 4x + 1 = 01314313問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？不成立請(qǐng)完善規(guī)律：用語(yǔ)言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；答：兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù),ax2+ bx+ c= 0的兩根xi, X2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.bc答：X1 + X2= XiX2 =. aa自學(xué)3:利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系.(

37、韋達(dá)定理)aX2+bX +c=0 的兩根 Xi =b + x/b2 4ac b Jb2 4ac2a - X2=2aXiX2 = -二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視. (5分鐘) 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求以下方程的兩根之和與兩根之積.(I)X 2- 3x- i= 0 ;(2)2x 2+3x 5=0;1 2-X -2x = 0.3解：(i)x i + x2 = 3, xiX2= i; 35(2)x i+ X2= 一 2 XiX2= - 2；(3)x i+ X2= 6, XiX2= 0.f合作等先一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.

38、I.不解方程,求以下方程的兩根之和與兩根之積.(i)x 2-6x-15=0; (2)3x 2+7x9=0;(3)5x i = 4x2.解：(i)x i + X2 = 6, xiX2= I5;一7一(2)x i+ X2= -XiX2= 3;3(3)X i+ X2= 7, XiX2= 7. 44點(diǎn)撥精講：先將方程化為一般形式,找對(duì) a, b, c.2.方程2x2+kx 9=0的一個(gè)根是一3,求另一根及 k的值.3斛：另一根為2 k= 3.點(diǎn)撥精講：此題有兩種解法,一種是根據(jù)根的定義,將x=- 3代入方程先求根；一種是利用根與系數(shù)的關(guān)系解答.3.a , 3是方程x2-3x-5=0的兩根,不解方程,求

39、以下代數(shù)式的值.(1) + ;(2) /+ 3 2;(3) a - 3 .a 33.解：(i) g; (2)i9 ; (3)*或一*.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.1 .不解方程,求以下方程的兩根和與兩根積：(i)x 2- 3x= I5; (2)5x 21 = 4x2;(3)x 2 3x+2= I0; (4)4x 2 i44= 0.解：(i)x i + X2 = 3, XiX2=I5;(2)xi+x2=0, XiX2=i;(3)x i + X2= 3, XiX2= 一 8;(4)x i + X2= 0, xiX2= 一 36.2 .兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方

40、程是(C )A 7x2-12x + 5=0 B. 6x2-13x-5=0C 4x2+2Ix + 5=0 D, x2+I5x-8=0(I0分鐘)k,再求另一個(gè)(8分鐘)兩根之積為正點(diǎn)撥精講：兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足兩根之和為負(fù)數(shù),提堂小禽T學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)不解方程,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和條件結(jié)合,可求得一些代數(shù)式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系數(shù)的值.1 .先化成一般形式,再確定 a, b, c.2 .當(dāng)且僅當(dāng)b2-4ac0時(shí),才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.b ,、,一 一一c ,3 .要汪息比的符3：Xi + X2=(比刖面有負(fù)3),XiX2

41、=-(比刖面沒有負(fù)方).aa且也村琳一學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.(10分鐘)21. 3 實(shí)際問題與一元二次方程 (1)f學(xué)W目低1 .會(huì)根據(jù)具體問題(按一定傳播速度傳播的問題、數(shù)字問題等)中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.2 .能根據(jù)問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理.3 .進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵.1苴,點(diǎn)犀焉r重點(diǎn)：列一元二次方程解決實(shí)際問題.難點(diǎn)：找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系.預(yù)習(xí)一-r一、自學(xué)指導(dǎo).(12分鐘)問題1:有一人患了流感,經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？分析：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人,那么患流感的這一個(gè)人在

42、第一輪中傳染了_x_人,第一輪后共有(x + 1)人患了流感；一第二輪傳染中,這些人中的每個(gè)人又傳染了x 人,第二輪后共有 (x + 1)(x + 1)人患了流感.那么列方程：_(x + 1)2= 121一解得 x= 10或x= 12(舍),即平均一個(gè)人傳染了10 個(gè)人.再思考：如果根據(jù)這樣的傳染速度,三輪后有多少人患流感？問題2: 一個(gè)兩位數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和為6,把這兩個(gè)數(shù)字交換位置后所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是1008,求原來(lái)的兩位數(shù).分析：設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x ,那么十位數(shù)字為(6 x),那么原兩位數(shù)為10(6x) +x,新兩位數(shù)為10x + (6x),依題意可列方程：10(6

43、 x)+x10x +(6x) = 1008解得x 1 =2 , x2=4 , 原來(lái)的兩位數(shù)為 24或42.二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視.(5分鐘)某初中畢業(yè)班的每一個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念,全班共送了2550張相片,如果全班有 x名學(xué)生,根據(jù)題意,列出方程為()A x(x+ 1)=25508 . x(x -1) =2550C 2x(x + 1) = 2550D x(x - 1) =2550X2分析：由題意,每一個(gè)同學(xué)都將向全班其他同學(xué)各送一張相片,那么每人送出(x1)張相片,全班共送出x(x1)張相片,可列方程為 x(x 1)=2550.應(yīng)選

44、B.If合作法宓.一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.(8分鐘)9 .某種植物的主干長(zhǎng)出假設(shè)干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是91,求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出 x個(gè)小分支,那么有1 + x+x2=91,即 x2+x90=0,解得 xi=9, X2=10舍去,故每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支.點(diǎn)撥精講：本例與傳染問題的區(qū)別.10 一個(gè)兩位數(shù),個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4,設(shè)個(gè)位數(shù)字為 X,那么列方程為：_x2+x+4 2= 10 x+ 4 +x 4_.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)

45、生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.一7分鐘1 .兩個(gè)正數(shù)的差是 2,它們的平方和是 52,那么這兩個(gè)數(shù)是C A 2 和 4B. 6 和 8C. 4 和 6 D. 8 和 102 .教材P21第2題、第3題謠堂小嘲：學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.3分鐘1 .列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1） “審：即審題,讀懂題意弄清題中的量和未知量；（2） “設(shè)：即設(shè) 未知數(shù),設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；（3） “列：即根據(jù)題中等量_關(guān)系列方程；（4） “解：即求出所列方程前恨；（5） “檢驗(yàn)：即驗(yàn)證根是否符合題意；（6） “答：即答復(fù)題目中要解決的問題.2 .對(duì)于數(shù)字問題

46、應(yīng)注意數(shù)字的位置.當(dāng)堂四公 學(xué)習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.10分鐘21. 3 實(shí)際問題與一元二次方程 2一區(qū)同彝:1 .會(huì)根據(jù)具體問題增長(zhǎng)率、降低率問題和利潤(rùn)率問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.2 .能根據(jù)問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理.3 .進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵.k優(yōu)點(diǎn)萃iK重點(diǎn)：如何解決增長(zhǎng)率與降低率問題.難點(diǎn)：理解增長(zhǎng)率與降低率問題的公式a1 x n=b,其中a是原有量,x為增長(zhǎng)或降低率,n為增長(zhǎng)或降低的次數(shù),b為增長(zhǎng)或降低后的量.卜預(yù)習(xí)號(hào)-r一、自學(xué)指導(dǎo).10分鐘自學(xué)：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的本錢是 5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的本錢是 6000元,隨著

47、 生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的本錢是 3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的本錢是 3600元, 哪種藥品本錢的年平均下降率較大？ 精確到0.01絕對(duì)量：甲種藥品本錢的年平均下降額為5000 3000 + 2= 1000元,乙種藥品本錢的年平均下降額為6000 3600 + 2= 1200元,顯然,乙種藥品本錢的年平均下降額較大.相對(duì)量：從上面的絕對(duì)量的大小能否說(shuō)明相對(duì)量的大小呢？也就是能否說(shuō)明乙種藥品本錢的年平均下降率大呢？下面我們通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明這個(gè)問題.分析：設(shè)甲種藥品本錢的年平均下降率為x,那么一年后甲種藥品本錢為50001 x_元,兩年后甲種藥品本錢為50001 x 2 元.依題意

48、,得 50依1 x 2= 3000 .解得 x10.23 , x21.77.根據(jù)實(shí)際意義,甲種藥品本錢的年平均下降率約為0.23 .設(shè)乙種藥品本錢的年平均下降率為y.那么,列方程：_60001 y 2= 360Q_.解得 V1-0.23 , y2P 1.77舍.答：兩種藥品本錢的年平均下降率相同.點(diǎn)撥精講：經(jīng)過(guò)計(jì)算,本錢下降額較大的藥品,它的本錢下降率不一定較大,應(yīng)比擬降前及降 后的價(jià)格.二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成,小組內(nèi)展示,點(diǎn)評(píng),教師巡視.8分鐘某商店10月份的營(yíng)業(yè)額為5000元,12月份上升到7200元,平均每月增長(zhǎng)百分率是多少？【分析】如果設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x,那么11月份的營(yíng)業(yè)

49、額為_50001 +x元,212 月份的營(yíng)業(yè)額為 _50001 +x1 +x_ 兀,即 _50001 + x兀.由此就可列方程：_50001 +x2=7200_.點(diǎn)撥精講：此例是增長(zhǎng)率問題,如題目無(wú)特別說(shuō)明,一般都指平均增長(zhǎng)率,增長(zhǎng)率是增長(zhǎng)數(shù)與 基準(zhǔn)數(shù)的比.增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)：基準(zhǔn)數(shù)設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a,增長(zhǎng)率為x,那么一月或一年后產(chǎn)量為a1 + x；二月或二年后產(chǎn)量為a1+x2；門月或n年后產(chǎn)量為a1 +xn;如果n月n年后產(chǎn)量為M那么有下面等式：M= a1+xn.解這類問題一般多采用上面的等量關(guān)系列方程.合作那總11 A一、小組合作：小組討論交流解題思路,小組活動(dòng)后,小組代表展示活動(dòng)成果.8分鐘某人將

50、2000元人民幣按一年定期存入銀行,到期后支取1000元用于購(gòu)物,剩下的 1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行,假設(shè)存款的利率不變,到期后本金和利息共1320元,求這種存款方式的年利率.利息稅20%分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+ 2000x - 80% 第二次存,本金就變?yōu)?000 + 2000x - 80% 其他依此類推.解：設(shè)這種存款方式的年利率為x,貝U 1000 + 2000x - 80 知1000 + 2000x - 80 %x 80%= 1320,整理,得 1280x2+800x+ 1600x = 320,即

51、8x2+ 15x-2=0,解得 x1= 2不符,舍去,x2=0.125 = 12.5%.答：所求的年利率是 12.5%.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路,小組內(nèi)交流,上臺(tái)展示并講解思路.6分鐘青山村種的水稻 2021年平均每公頃產(chǎn) 7200 kg, 2021年平均每公頃產(chǎn) 8460 kg,求水稻每公 頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為 x,那么有 72001 +x 2= 8460,解得 x1=0.08, x2= 2.08舍.即年平均增長(zhǎng)率為 8%.答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為8%.點(diǎn)撥精講：傳播或傳染以及增長(zhǎng)率問題的方程適合用直接開平方法來(lái)解.也堂小田t學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑.3分鐘1 .列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹h解、答.最后要檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際 意義.2 .假設(shè)平均增長(zhǎng)降低率為x,增長(zhǎng)或降低前的基數(shù)是a,增長(zhǎng)或降低n次后的量是b,那么 有：a1 x n= b常見 n = 2.t當(dāng)堂利球?qū)W習(xí)至此,請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)局部.10分鐘21. 3 實(shí)際問題與一元二次方程 3I學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元二次方程,體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效 的數(shù)學(xué)模型.并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,