數(shù)學(xué)建模論車輛的停止距離問題

1、數(shù)學(xué)建模期中論文題目：論車輛的停止距離問題姓 名：專業(yè)班級：學(xué) 號:指導(dǎo)教師：日 期：論車輛的停止距離問題 情景 正常的駕駛條件對車與車之間的跟隨距離的要求是每10英里的速率可以允許一輛車的長度的跟隨距離，但是在不利的天氣或道路條件下要有更長的跟隨距離。做到這點(diǎn)的一種方法就是利用2秒法則，這種方法不管車速為多少，都能測量出正確的跟隨距離?？粗忝媲暗钠噭倓傫傔^的一個高速公路上涂油柏油的地區(qū)或立交橋的影子那樣的固定點(diǎn)。然后默數(shù)“一千零一，一千零二”，這就是2秒。如果你在默數(shù)完這句話前到達(dá)這個記號，那么你的車和前面的車靠的太近了。【1】背景和問題的分析 上述的方法做起來很容易，但是，它只是一個粗

2、略的、模糊的判斷，而且在一些意外情況它是沒用的。我們需要是用更多的細(xì)節(jié)并清楚地解決和說明問題，這時我們需要對它做一個科學(xué)的數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)建模來應(yīng)對各種可能的問題。識別問題 預(yù)測作為車輛速度的函數(shù)的總的停止距離。假設(shè)和變量 首先對此問題提出總模型：總的停止距離=反應(yīng)距離+剎車距離反應(yīng)距離：從司機(jī)意識到要停車的時刻到正真剎車的時刻所走過的距離。剎車距離：剎車后使車完全停下來所滑行的距離然后對反應(yīng)距離和剎車距離各研究一個子模型。反應(yīng)距離是許多變量的函數(shù)，其中反應(yīng)時間和速度上最主要的兩個因素，所以可設(shè)：反應(yīng)距離=f（反應(yīng)時間，速度）。剎車距離也是許多變量的函數(shù)，其中影響最大的是車輛的重量和速度，所以可

3、設(shè)：剎車距離=h（重量，速度）。然后我們開始確定研究中的變量之間的相互關(guān)系。首先，規(guī)定自變量的符號:d總停止距離,dr 反應(yīng)距離，tr反應(yīng)時間， db剎車距離，v速度，F(xiàn)剎車力，m質(zhì)量。假設(shè)從司機(jī)決定需要停車到剎車起作用的時間里車輛繼續(xù)以常速行駛，在這個假設(shè)下，反應(yīng)距離dr只是反應(yīng)時間tr和速度v的乘積:反應(yīng)距離dr=trv。而在一般情況下，每個人對此的反應(yīng)時間應(yīng)該是相差不多的。所以，可以近似的看作是一個常數(shù)，則反應(yīng)距離drv?？稍O(shè)dr=k1v。假定司機(jī)是慌慌張張地停車，而且在整個停車過程中作用的是最大的剎車力F。剎車力作用在車輛上減小車的動能等于剎車力做的功，于是：所做的功=F db=1/2

4、*mv*v。然而，不管什么車，在設(shè)計時都有一個標(biāo)準(zhǔn)，為了安全，不管車的重量是多少，當(dāng)作用上最大的剎車力時，最大的速度是不變的，因此由牛頓第二定律F=ma知道F和質(zhì)量呈正比例關(guān)系，所以結(jié)合上式可得：db=k2v2。檢驗?zāi)Ｐ?對于上述模型，我們可以用美國公路局提供的有關(guān)數(shù)據(jù)（表1）來檢驗子模型。表1 觀察到的反應(yīng)距離和剎車距離速度（英里/小時）反應(yīng)距離（英尺）剎車距離（英尺）總的停車距離（英尺）20221822（20）4044（42）25282531（28）5359（56）30333645（40.5）6978（73.5）35394758（52.5）8697（91.5）40446480（72）108

5、142（116）455082103（92）132153（142.5）5055105131（118）160186（173）5561132165（148）193226（209）6066162202（182）228268（248）6572196245（220.5）268317（292.5）7077327295（266）314372（343）7583283353（318）366436（401）8088334418（376）422506（464）利用表1，我們可以畫出司機(jī)反映距離對速度的圖形，如圖1所示，這個圖形是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線。取直線上的兩點(diǎn)，即可計算出它的斜率，k1=（83-33）/(75-30

6、)=50/451.1,即：dr=1.1v。然后檢驗剎車距離的子模型。首先畫出表1記錄的觀察到的剎車距離對v的平方的圖形，如圖2所示。圖1反應(yīng)距離和速度的比例性 圖2剎車距離和速度平方的關(guān)系圖然后，我們需要求k2，求k2需要用圖形為數(shù)據(jù)擬合模型。圖2中的每個點(diǎn)可以看成一個區(qū)間，以正負(fù)偏差、誤差值4%設(shè)置數(shù)據(jù)的格式，如圖3所示。對數(shù)據(jù)圖形地擬合一條直線，估計其斜率：k2=266/490=0.054，即db=0.054v2。圖3剎車距離和速度平方的比例性 由上述司機(jī)反映距離和剎車距離的模型可得總停止距離d的模型：d=1.1v+0.054v2。把總停車距離的模型和表1中記錄的實際觀察到的停止距離都畫出來，如圖4所示。圖4 總停止距離圖中圓形表示的是模型預(yù)測的數(shù)據(jù)，方形表示的是觀察數(shù)據(jù)?？紤]到假設(shè)的粗糙性以及數(shù)據(jù)的不精確性，該