第五章52矩陣的相似對角化

1、返回一、相似矩陣的基本概念一、相似矩陣的基本概念二、二、矩陣的相似對角化矩陣的相似對角化5.2 矩陣的相似對角化矩陣的相似對角化 返回返回.10153053064AA求求設(shè)矩陣設(shè)矩陣一、相似矩陣的基本概念一、相似矩陣的基本概念例例返回1210110211000100021010110211PPA110111110 PPPPPPPPPPA 12101102110001000210101102110?. 1 與與什么樣的矩陣有這樣的什么樣的矩陣有這樣的問題：問題：P?. 2 p解解返回一、一、 矩陣相似的定義與性質(zhì)矩陣相似的定義與性質(zhì)使使矩陣矩陣階矩陣，如果存在可逆階矩陣，如果存在可逆都是都是與與

2、設(shè)設(shè),PnBABAPP 1. BABA，記為，記為相似相似與與則稱則稱簡單性質(zhì)：簡單性質(zhì)： ;1AA反身性反身性 ；對稱性對稱性ABBA2 .3CACBBA且且傳遞性傳遞性 113 QCQBPBPA：證證 .111PQDDCDPPQCQA 定義定義返回定理定理1 相似矩陣有相同的特征值相似矩陣有相同的特征值. .,APPBBA1則則設(shè)設(shè) PAIPAPPIBI 11PAIP 1AI 思考：相似矩陣有相同的行列式？思考：相似矩陣有相同的行列式？證證AIBI分析分析返回二、二、 矩陣的相似對角化矩陣的相似對角化nA21設(shè)矩陣設(shè)矩陣.21的全部特征值的全部特征值是是，則則An 定理定理2返回nI21

3、n 21.21n ，的全部特征值是：的全部特征值是：，的特征值相同的特征值相同與與 A.21nA ，的全部特征值是：的全部特征值是：證證返回 定理定理3 n階矩陣階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條與對角矩陣相似的充分必要條件是件是A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 .：個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量有有設(shè)設(shè)充分性充分性nAnPPP,21 nipAPiii, 2 , 1 nPPPP21 令令 n 21 APPPAP1則則 nA 21證證返回 nAPP 211設(shè)設(shè)必要性必要性 PAP 則則 nPPPP21 設(shè)設(shè) nnnPPPAPAPAP 221121 則則 niPAPiii

4、, 2 , 1 .,21個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量的的是是nAPPPn P可逆可逆返回例例1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣,163053064 A.10A求求212163053064AI .1,221二重二重 0001101013630330661AI Txxxx1, 1, 1,13231 解解返回 0000000210630630632AI 32102xxx .1, 0, 0,0, 1, 232TT 101011021321 P令令 1121APP則則返回1 PPA 11010 PPA 121011021111024101011021 120461023020471023020461022返回

5、定理定理4 矩陣矩陣 A 不同特征值的特征向量線性無關(guān)不同特征值的特征向量線性無關(guān) .,mmmAAA222111設(shè)設(shè).21互不相同互不相同，且且m 1.022211 kkm時，設(shè)時，設(shè)當當 22112211 AkAkkkA 則則 20222111 kk 301212111 kk：又由式又由式 0:322122 k,0221 且且,0,012 kk同理，同理，.,21線性無關(guān)線性無關(guān) .21線性無關(guān)線性無關(guān)，由歸納法可證：由歸納法可證：m 證證返回 推論推論1 如果矩陣如果矩陣 A 的特征值都是單特征根，的特征值都是單特征根，則則 A 與對角矩陣相似與對角矩陣相似 . .與對角矩陣相似與對角矩陣

6、相似A的不同特征值，的不同特征值，是矩陣是矩陣設(shè)設(shè)推論推論Ak ,221，的線性無關(guān)特征向量的線性無關(guān)特征向量是是iiriii ,21.,11111線性無關(guān)線性無關(guān)，則則kkrkr 證證A A有有n n個無關(guān)的特征向量。個無關(guān)的特征向量。A A有有n n個不同的特征值，個不同的特征值，不同特征值的特征向量線性無關(guān)，不同特征值的特征向量線性無關(guān)，返回推論推論3 n 階矩陣階矩陣 A 與對角矩陣相似與對角矩陣相似 的的重特征值，則重特征值，則的的是是若若0 XAIkAiii .個解向量組成個解向量組成基礎(chǔ)解系由基礎(chǔ)解系由ik .iiknAIR ，的全部互異特征值的全部互異特征值是是，設(shè)設(shè)分析：分析

7、：Ar 21.21nkkkr 則則返回例例3 下列矩陣能否與對角矩陣相似下列矩陣能否與對角矩陣相似 . 284014013112202213122212221CBA311122212221AI有三個不同的特征值有三個不同的特征值 A diag ( 1 , -1 , 3 )解解返回11222213 BI 21 .1,021二重二重 00000012112122122122BI ,21321xxx .1, 0, 1,0, 2, 132TT B diag ( 0 , 1 , 1 )返回 ,12 BIR 又又.與對角矩陣相似與對角矩陣相似B284014013 CI 212 ，二重二重2,121 ,21

8、CIR.不能與對角矩陣相似不能與對角矩陣相似C返回例例4 設(shè)設(shè) .0011100為對角陣為對角陣 yxA求求x與與y應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件 . .)()( 11011102yxAI.1(121 ，二重）二重）向量向量有兩個線性無關(guān)的特征有兩個線性無關(guān)的特征對角陣對角陣1 A1)(1 AER 解解返回 10101011yxAE 00000101yx01)(1 yxAER .0 yx即即返回例例5 設(shè)設(shè) .,DBCADCBA0000證明：證明：使使可逆矩陣可逆矩陣,QP DQQCBPPA11,QPDBQPDQQBPPCA00000000001111.0000DBCA證證QPDBQP0000001

9、返回知識點：知識點：使使矩陣矩陣階矩陣，如果存在可逆階矩陣，如果存在可逆都是都是與與設(shè)設(shè),PnBABAPP 1. BABA，記為，記為相似相似與與則稱則稱定義定義定理定理1 相似矩陣有相同的特征值相似矩陣有相同的特征值. . 定理定理3 n階矩陣階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條與對角矩陣相似的充分必要條件是件是A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 .定理定理4 矩陣矩陣 A 不同特征值的特征向量線性無關(guān)不同特征值的特征向量線性無關(guān) .返回nA21設(shè)矩陣設(shè)矩陣.21的全部特征值的全部特征值是是，則則An 定理定理2返回 推論推論1 如果矩陣如果矩陣 A 的特征值都是單特征根，的特征值都是單特征根，則則 A 與對角矩陣相似與對角矩陣相似 .的不同特征值，的不同特征值，是矩陣是矩陣設(shè)設(shè)推論推論Ak ,221，的線性無關(guān)特征向量