第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、12v地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就是為了使地圖上各種地理要素與地面事物之間保持一定的對應(yīng)關(guān)系。具體指地圖所采用的地圖投影（經(jīng)緯網(wǎng)）、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點、比例尺等數(shù)學(xué)要素。3第一節(jié) 地圖投影基本概念4 地球橢球體表面是個曲面，而地圖通常是二維平面，因此在地圖制圖時首先要考慮把曲面轉(zhuǎn)化成平面。然而，從幾何意義上來說，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，勢必會產(chǎn)生破裂與褶皺。這種不連續(xù)的、破裂的平面是不適合制作地圖的，所以必須采用特殊的方法來實現(xiàn)球面到平面的轉(zhuǎn)化。56 地圖投影的實質(zhì)： 是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。x = f1(j , l ) y = f2(j , l )一、地

2、圖投影的定義和實質(zhì) 地圖投影： 在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。7 地圖投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的經(jīng)緯線網(wǎng)形式不同。下圖是幾種不同投影的經(jīng)緯線網(wǎng)形狀 ：1. 地圖投影變形的概念二、 地圖投影變形8地球儀上的經(jīng)緯線的長度的特點：第一，緯線長度不等第二，在同一條緯線上，經(jīng)差相同的 緯線弧長相等第三，所有經(jīng)線長度相等9地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積的特點：第一，在同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的 球面網(wǎng)格面積相等第二，在同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度愈高， 網(wǎng)格面積愈小10地球儀上的經(jīng)緯線角度的特點：在地球儀上經(jīng)線和緯線處處都呈直角相交。11分析下圖中經(jīng)緯線長度、經(jīng)緯線網(wǎng)格

3、面積、經(jīng)緯線交角的特點：地圖投影存在變形。12 地圖投影變形地圖投影變形是球面轉(zhuǎn)化成平面的必然是球面轉(zhuǎn)化成平面的必然結(jié)果，沒有變形的投影是不存在的。對某一結(jié)果，沒有變形的投影是不存在的。對某一地圖投影來講，不存在這種變形，就必然存地圖投影來講，不存在這種變形，就必然存在另一種或兩種變形。但制圖時可做到：在在另一種或兩種變形。但制圖時可做到：在有些投影圖上沒有角度或面積變形有些投影圖上沒有角度或面積變形; ;在有些投在有些投影圖上沿某一方向無長度變形。影圖上沿某一方向無長度變形。132.和 投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲取?m表

4、示長度比長度比，Vm表示長度變形長度變形 d dssm1Vmm= 0 不變 0 變大 0 變大 0 變小18： 投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以表示角度最大變形。 設(shè)A點的坐標(biāo)為（x、y），A 點的坐標(biāo)為(x 、y )，則tanyxtanyx xax yby19tantanbybaxatantantantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab將上式兩邊各減和加 tan 即：將兩式相除，得：20sin()sin()ababsin()abab(1802 )(180

5、2 )2()mmsin2abab22222sinsin22sinmnmnmnmnqq 顯然當(dāng)（ + ）= 90時，右端取最大值，則最大方向變形：以表示角度最大變形：若已知 m, n, q ，則：217. 標(biāo)準(zhǔn)點、標(biāo)準(zhǔn)線和等變形線標(biāo)準(zhǔn)點、標(biāo)準(zhǔn)線和等變形線v標(biāo)準(zhǔn)點：地圖投影面上沒有任何變形的點。v標(biāo)準(zhǔn)線：地圖投影面上沒有任何變形的線。v等變形線：投影面上變形值相等的各點的連線。22三、 地圖投影方法1. 幾何投影法 地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如圓柱面和圓錐面。232. 數(shù)學(xué)解析法 以正軸圓錐投影為例經(jīng)線經(jīng)線 投影為放射直線，經(jīng)差l 與

6、投影面上d成X = r s - r cos r = f(j) Y = r sin d d = cl正比： d cl （c為圓錐系數(shù)，0 c 1）。 緯線緯線 投影為同心圓弧，其半徑 r 是緯度 j 的函數(shù)， r = f（j）。圓錐投影的一般公式為：24四、地圖投影分類1. 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 （1）: 將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 圓柱投影: 以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影: 以圓錐面作投影

7、面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。2526 （2） 根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點與點的函數(shù)關(guān)系。偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線

8、投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。27282. 按地圖投影的變形性質(zhì)分類 : 投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零 =0（或 a=b，m=n）。: 投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 : 投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。2930第二節(jié) 地圖投影的應(yīng)用 投影的變形小且分布均勻； 選擇標(biāo)準(zhǔn)：選擇標(biāo)準(zhǔn)： 經(jīng)緯線網(wǎng)的形狀和變形性質(zhì)要能滿足地圖內(nèi)容和用途的要求經(jīng)緯線

9、網(wǎng)的形狀不復(fù)雜。等變形線的形狀與制圖區(qū)域的輪廓形狀接近；等變形線的形狀與制圖區(qū)域的輪廓形狀接近；311. 地圖的內(nèi)容主題和內(nèi)容不同，對投影的要求也不同。要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影要求面積對比正確，應(yīng)選擇等積投影教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應(yīng)選擇任意投影322.制圖比例尺和制圖范圍 不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形圖，對精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。但在不大的區(qū)域，無論用那種性質(zhì)的投影，變形都較小而且差別不大。 中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。333

10、.制圖區(qū)域的形狀和地理位置 一般將地圖投影的標(biāo)準(zhǔn)點或標(biāo)準(zhǔn)線置于制圖區(qū)域的中心部位，因此從制圖區(qū)域的形狀考慮，選用投影的原則是用等變形線與制圖區(qū)域的輪廓基本一致的投影，以使廣大制圖區(qū)域處于微小的變形區(qū)。344.出版方式單幅圖系列圖地圖集35 1. （） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。 由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F. Gauss，17771855）及大地測量家克呂格（J. Krger，18571923）共同創(chuàng)建。36 此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法

11、： 經(jīng)差 6或 3分帶，長度變形 1任意投影適于南北方向延伸地區(qū)地圖50普通多圓錐分帶投影圖 將整個地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。51等差分緯線多圓錐投影 中國地圖出版社1963年設(shè)計，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。52正切差分緯線多圓錐投影 中國地圖出版社1976年設(shè)計，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差的正切函數(shù)遞減。屬任意投影。53世界圖54 設(shè)想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切或相割，將地球表面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。55 正軸等角圓柱投影 由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（Me

12、rcator Gerardus，15121594）于1569年所創(chuàng)設(shè)，故又名墨卡托投影。特點特點: 不僅保持了方向和相對位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有重要的實用價值。4.4 世界地圖投影56墨卡托投影等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點為漸近點的螺旋曲線。 等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。大圓航線：地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線。4.4 世界地圖投影57墨卡托投影等角航線 在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。地球面上兩點間最短距離是

13、通過兩點間的大圓弧，也 稱為大圓航線4.4 世界地圖投影5859 3. 偽圓柱投影 是在圓柱投影的基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍然為平行直線，而經(jīng)線則根據(jù)某些特定條件改變經(jīng)線形狀而設(shè)計成對稱于中央經(jīng)線的各類曲線的非幾何投影，在具體應(yīng)用中以等積性質(zhì)居多，而無等角投影。 桑遜（Sanson）投影 摩爾威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影常用的投影方案：4.4 世界地圖投影60 桑遜（Sanson - Flam steed）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由法國桑遜于1650年設(shè)計。投影特點：P = 1 無面積變形n = 1 緯線長度比為

14、1m0 = 1 中央經(jīng)線長度比=1m 1 經(jīng)線長度比 14.4 世界地圖投影61 摩爾威特（Mollweide）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由德國摩爾威特于1805年設(shè)計。投影特點：P = 1 無面積變形S90 = Searth / 2赤道長度= 中央經(jīng)線 2常用于編制世界地圖及東、西半球地圖S90 = Searth / 24044 11.8 4.4 世界地圖投影62 古德（Goode）投影 美地理學(xué)家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整個制圖區(qū)域主要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進(jìn)行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤

15、道連接在一起。投影特點： 分瓣、組合投影， 變形減小且均勻 大陸完整，大洋割裂 大洋完整，大陸割裂 常用于編制世界地圖4.4 世界地圖投影63摩爾威特 古德投影4.4 世界地圖投影64第三節(jié)第三節(jié) 地圖方位地圖方位 地圖方位地圖方位是指地圖固有的方向性和地圖上標(biāo)示方是指地圖固有的方向性和地圖上標(biāo)示方向的各要素。向的各要素。 測繪或使用地形圖時，首先要確定一個測繪或使用地形圖時，首先要確定一個南北標(biāo)準(zhǔn)南北標(biāo)準(zhǔn)方向線方向線，作為標(biāo)定地圖方向和測定目標(biāo)方位的依，作為標(biāo)定地圖方向和測定目標(biāo)方位的依據(jù)。據(jù)。 65一、標(biāo)準(zhǔn)方向的種類一、標(biāo)準(zhǔn)方向的種類 1.1.真子午線方向真子午線方向 通過地球表面某點真子

16、午線的切線方向，稱通過地球表面某點真子午線的切線方向，稱為該點的真子午線方向，真子午線方向是用天文為該點的真子午線方向，真子午線方向是用天文測量方法或用陀螺經(jīng)緯儀測定的。測量方法或用陀螺經(jīng)緯儀測定的。 2 2磁于午線方向磁于午線方向 磁子午線方向是磁針在地球磁場的作用下，磁子午線方向是磁針在地球磁場的作用下，磁針自由靜止時其軸線所指的方向。磁子午線方磁針自由靜止時其軸線所指的方向。磁子午線方向可用羅盤儀測定。向可用羅盤儀測定。663 3坐標(biāo)縱軸方向坐標(biāo)縱軸方向( (中央子午線中央子午線方向方向) ) 我國采用高斯平面直角坐標(biāo)系，每一個我國采用高斯平面直角坐標(biāo)系，每一個6 6帶或帶或3 3帶內(nèi)都

17、以該帶的中央子午線為坐標(biāo)縱軸帶內(nèi)都以該帶的中央子午線為坐標(biāo)縱軸方向。因此，該帶內(nèi)直線定向，就用該帶的坐標(biāo)方向。因此，該帶內(nèi)直線定向，就用該帶的坐標(biāo)縱軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向?？v軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向。 如假定坐標(biāo)系，則用假定的坐標(biāo)縱軸如假定坐標(biāo)系，則用假定的坐標(biāo)縱軸(X(X軸軸) )作為標(biāo)準(zhǔn)方向。作為標(biāo)準(zhǔn)方向。 67二、表示直線方向的方法二、表示直線方向的方法 測量和地圖中，常采用方位角來表示直線的測量和地圖中，常采用方位角來表示直線的方向。方向。 由標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時針方向量到某直由標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時針方向量到某直線的夾角，稱為該直線的方位角，其角值從線的夾角，稱為該直線的方位角，其角值從0

18、36360。 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方向向O OP P由不同的標(biāo)準(zhǔn)方向所由不同的標(biāo)準(zhǔn)方向所得到的方位角，分別為：得到的方位角，分別為： 真方位角：真方位角：A 磁方位角：磁方位角：Am 坐標(biāo)方位角：坐標(biāo)方位角：68三、幾種方位角之間的關(guān)系三、幾種方位角之間的關(guān)系 1 1 真方位角與磁方位角之間的關(guān)系真方位角與磁方位角之間的關(guān)系 由于地磁南北極與地球的南北極并不重合，因此，由于地磁南北極與地球的南北極并不重合，因此，過地面上某點的真子午線方向與磁子午線方向常不過地面上某點的真子午線方向與磁子午線方向常不重合，兩者之間的夾角稱為磁偏角重合，兩者之間的夾角稱為磁偏角，磁針北端偏，磁針北端偏于其子午線以東稱東偏，

19、偏于其子午線以西稱西偏。于其子午線以東稱東偏，偏于其子午線以西稱西偏。東偏取正值，西偏取負(fù)東偏取正值，西偏取負(fù)值。我國磁偏角的變化大值。我國磁偏角的變化大約在約在+6到到-10之間。之間。直線的真方位角與磁方位直線的真方位角與磁方位dmAA692 2真方位角與坐標(biāo)方位角之間的關(guān)系真方位角與坐標(biāo)方位角之間的關(guān)系v中央經(jīng)線在高斯平面上是一條直線，作為該帶的坐標(biāo)縱軸，而其它子午線投影后為收斂于兩極的曲線，地面點M、N等點的真子午線方向與中央子午線之間的夾角，稱為子午線收斂角。在中央子午線以東地區(qū)，各點的坐標(biāo)縱軸偏在真子午線的東邊，為正值；在中央子午線以西地區(qū)，為負(fù)值。 v直線的真方位角與磁方位角 之

20、間可用下式進(jìn)行換算A703 3坐標(biāo)方位角與磁方位角的關(guān)系坐標(biāo)方位角與磁方位角的關(guān)系 若已知某點的磁偏角與子午線收斂角，則坐標(biāo)方位角與磁方位角之間的換算式為 mmmmAAAAdddmd為磁坐偏角mA71 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)方向為坐標(biāo)縱軸當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)方向為坐標(biāo)縱軸( (中央子午線中央子午線) )方向時，直線的方方向時，直線的方位角稱為位角稱為坐標(biāo)方位角坐標(biāo)方位角( ( ，簡稱方向角，簡稱方向角) )。X XY YA AB B ABAB例例1 1：已知已知 CDCD= = 787820202424， JKJK= =32632612123030， 求求 DCDC， KJKJ：各點的坐標(biāo)縱軸方向都是平行的，所以，一條直線

21、有兩個各點的坐標(biāo)縱軸方向都是平行的，所以，一條直線有兩個 相差相差180180的方位角，互稱為正、反方位角。的方位角，互稱為正、反方位角。正、反方位角關(guān)系正、反方位角關(guān)系 BABA ABAB BABA= = ABAB 180180解：解： DCDC= =25825820202424 KJKJ= =14614612123030四四. . 正、反坐標(biāo)方位角及其推算正、反坐標(biāo)方位角及其推算72 1. 地圖比例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線水平投影長度之比。 可表達(dá)為（d為圖上距離，D為實地距離） 根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺 ： 在投影面上沒有變形的點或線上的

22、比例尺。局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。1dDM732. 地圖比例尺的表示 數(shù)字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百萬分之一 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺74 斜分比例尺 也稱微分比例尺，是依據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺。使量測精度達(dá)到三位數(shù)（10-3）。75等角正切圓柱投影緯線比例尺等角正切圓柱投影緯線比例尺主比例尺為主比例尺為1：100萬，（萬，（0緯線方向。）緯線方向。）30緯線方向：緯線方向：n=1.155; 45緯線方向：緯線方向：n=1.360緯線方向：緯線方向：n=27677第五節(jié)第五節(jié) 地圖的分幅與編號地圖的分幅與編號地圖分幅有

23、按坐標(biāo)格網(wǎng)矩形分幅和經(jīng)緯線梯形分幅兩種形地圖分幅有按坐標(biāo)格網(wǎng)矩形分幅和經(jīng)緯線梯形分幅兩種形式。式。矩形分幅矩形分幅，即按一定大小的矩形劃分圖幅，使每幅地圖都，即按一定大小的矩形劃分圖幅，使每幅地圖都有一個矩形的圖廓，其相鄰圖幅均以直線劃分的分幅方法。有一個矩形的圖廓，其相鄰圖幅均以直線劃分的分幅方法。梯形分幅梯形分幅，是以具有一定經(jīng)緯差的梯形劃分圖幅，有經(jīng)緯，是以具有一定經(jīng)緯差的梯形劃分圖幅，有經(jīng)緯線構(gòu)成每幅地圖圖廓的分幅方法。線構(gòu)成每幅地圖圖廓的分幅方法。一、一、 地圖的分幅地圖的分幅78比例尺1：100萬1：50萬1：25萬1：20萬1：10萬1：5萬1：2.5萬1：1萬1：5千圖幅范圍經(jīng)

24、差6313013015730345152.5緯差4214020105230115圖幅間數(shù)量關(guān)系141636144 576 23049216368642*2 4*46*6 12*1224*2448*4896*96192*192國家基本比例尺地形圖梯形分幅數(shù)量關(guān)系國家基本比例尺地形圖梯形分幅數(shù)量關(guān)系79二、1991年實施的地形圖的編號系統(tǒng) 方法：先按行列編號法編出方法：先按行列編號法編出1：100萬地形圖萬地形圖的編號；然后，在的編號；然后，在1：100萬地形圖編號的基礎(chǔ)萬地形圖編號的基礎(chǔ)上，按照上述分幅方法，得出各種比例尺地形上，按照上述分幅方法，得出各種比例尺地形圖的行號和列號，行號自上而下，

25、列號自左到圖的行號和列號，行號自上而下，列號自左到右，用三位數(shù)表示。右，用三位數(shù)表示。 在在1：100萬和其它比例尺行號前加上各種比萬和其它比例尺行號前加上各種比例尺的代碼。例尺的代碼。 除除1：100萬外的地形圖編號由萬外的地形圖編號由10個字符碼構(gòu)個字符碼構(gòu)成。成。80比例尺代碼比例尺1：50萬1：25萬1：10萬1：5萬1：2.5萬1：1萬1：5千代碼BCDEFGH81h表示表示1：100萬地形圖的行號萬地形圖的行號l 表示表示1：100萬地形圖的列號萬地形圖的列號1jjh316ll（東半球）（東半球）1. 1：100萬地形圖的編號例題：某點的經(jīng)度是例題：某點的經(jīng)度是11433 44 ,緯度為