清華大學(xué)電路原理課件-14-周期性激勵下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

1、14.1 周期性非正弦電流周期性非正弦電流 本章重點本章重點 14.2 周期函數(shù)的諧波分析周期函數(shù)的諧波分析 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 14.3 周期電流的有效值、電路的平均功率周期電流的有效值、電路的平均功率 14.4 周期性非正弦電流電路的計算周期性非正弦電流電路的計算 14.5 周期性激勵下的三相電路周期性激勵下的三相電路 本章重點本章重點 定性判斷周期性非正弦電流（電壓）的諧波分量。定性判斷周期性非正弦電流（電壓）的諧波分量。 周期性非正弦電流（電壓）的有效值、電路的平均功率。周期性非正弦電流（電壓）的有效值、電路的平均功率。 周期性非正弦電流電路的諧波分析法。周期性非正弦電流電路的諧波分

2、析法。 返回目錄返回目錄 14.1 14.1 周期性非正弦電流周期性非正弦電流 一、周期性非正弦激勵（一、周期性非正弦激勵（nonsinusoidal periodic excitation） 和信號（和信號（signal）舉例）舉例 1. 發(fā)電機（發(fā)電機（generator）發(fā)出的電壓波形，不可能是完全）發(fā)出的電壓波形，不可能是完全 正弦的。正弦的。tu(t)2. 當(dāng)電路中存在非線性元件時也會產(chǎn)生非正弦電壓、電流。當(dāng)電路中存在非線性元件時也會產(chǎn)生非正弦電壓、電流。 二極管整流電路二極管整流電路 非線性電感（非線性電感（nonlinear inductance）電路）電路 isu+DR2uSu

3、+_ t0Suu2t0uSi3. 大量脈沖信號均為周期性非正弦信號大量脈沖信號均為周期性非正弦信號 二、周期性非正弦電流電路的分析方法二、周期性非正弦電流電路的分析方法 諧波（諧波（harmonic）分析法）分析法 周期性非正弦電源周期性非正弦電源分解成傅里葉級數(shù)（分解成傅里葉級數(shù)（Fourier series） 利用疊加定理分別計算各次諧波電源單獨作用利用疊加定理分別計算各次諧波電源單獨作用在電路上產(chǎn)生的響應(yīng)。在電路上產(chǎn)生的響應(yīng)。將各次諧波電源在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)進行相加。將各次諧波電源在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)進行相加。 返回目錄返回目錄t尖脈沖尖脈沖f(t)0t方波方波0f(t)t鋸齒波鋸齒波f(

4、t)0狄里赫利條件狄里赫利條件: 一、周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù) 14.2 14.2 周期函數(shù)的諧波分析周期函數(shù)的諧波分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 式中式中T為周期，為周期，k = 0, 1, 2, 3 （k為正整數(shù)）為正整數(shù)） )()(kTtftf T2 （1）函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個。）函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個。 （2）函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點為有限個。）函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點為有限個。 （3）在一周期內(nèi)函數(shù)絕對值積分為有限值）在一周期內(nèi)函數(shù)絕對值積分為有限值 。 dttfT0)(即即 任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)f(

5、t)可展開成傅里葉級數(shù)可展開成傅里葉級數(shù) )sin( )sin( )2sin()sin()(1022110kkkkktkcctkctctcctf sincos )2sin2cos()sincos()(1022110tkbtkaatbtatbtaatfkkk 周期函數(shù)傅里葉級數(shù)展開式為周期函數(shù)傅里葉級數(shù)展開式為 還可表示成下式還可表示成下式 將同頻率將同頻率 與與 合并，合并，)(tfcossinkkkkkkcbca cossin 或或即即f(t)在一周期內(nèi)平均值在一周期內(nèi)平均值 求傅里葉系數(shù)（求傅里葉系數(shù)（Fourier coefficient）的公式：）的公式： kkkkkkbabac ta

6、n22兩種表示式中系數(shù)間的關(guān)系：兩種表示式中系數(shù)間的關(guān)系： kakbk kc 2200d)(1d)(1TTTttfTttfTa 0)(dcos)(1dcos)(2ttktfttktfTaTk 0)(dsin)(1dsin)(2ttktfttktfTbTk 00ac )sin( )sin( )2sin()sin()(1022110kKkkktkcctkctctcctf 直流分量直流分量 諧波分量諧波分量 基波基波 二次諧波二次諧波 高次諧波（高次諧波（higher harmonic） k 2次的次的諧波諧波 奇次諧波（奇次諧波（odd harmonic） k為奇為奇次的次的諧波諧波 偶次諧波（偶

7、次諧波（even harmonic） k為偶為偶次的次的諧波諧波 k次諧波次諧波 0)2)()02(1 dd1d)(122000 TTETETtEtETttfTaTTTT一個周期內(nèi)的表達式一個周期內(nèi)的表達式 TtTETtEtf220)(求周期函數(shù)求周期函數(shù)f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。的傅里葉級數(shù)展開式。 例例 )(tft 2TEE 0 )(dcos)()(dcos1 )(dcos)(12020ttkEttkEttktfak 0)sin2(sin0sinsinsinsin120 kkkkEtkkEtkkE 20)(dsin)(1ttktfbk 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)kkkEkkEkkkkEtk

8、tkkEttkEttkE04)cos1(2cos2cos)0cos(coscoscos)(dsin)()(dsin12020)5sin513sin31(sin4 5sin543sin34sin4)( tttEtEtEtEtf則則 解畢！解畢！ 奇函數(shù)，波形對稱于原點奇函數(shù)，波形對稱于原點 )sin(sinxx 正弦函數(shù)是奇函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù))()(tftf (a)1. 根據(jù)函數(shù)奇偶性來判斷根據(jù)函數(shù)奇偶性來判斷 二、二、 波形的對稱性（波形的對稱性（symmetry）與傅里葉系數(shù)的關(guān)系）與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 此類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式只包含正弦函數(shù)項，不此類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式只包含正弦函數(shù)項

9、，不 包含余弦函數(shù)項和常數(shù)項。包含余弦函數(shù)項和常數(shù)項。f(t)0tT-Tf(t)0tT-T(b) )()(tftf 偶函數(shù)，波形對稱于縱軸偶函數(shù)，波形對稱于縱軸。 余弦函數(shù)是偶函數(shù)余弦函數(shù)是偶函數(shù))cos(cosxx 此類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式只包含余弦函數(shù)項，不此類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式只包含余弦函數(shù)項，不 包含正弦函數(shù)項，可能有常數(shù)項。包含正弦函數(shù)項，可能有常數(shù)項。f(t)0tT-Tf(t)0tT-T)2()(Ttftf (a) 半波對稱橫軸半波對稱橫軸 2. 根據(jù)半波對稱性質(zhì)判斷根據(jù)半波對稱性質(zhì)判斷 此類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式只包含奇次函數(shù)項，不此類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式只包含奇次函數(shù)項

10、，不 包含偶次函數(shù)項，沒有常數(shù)項。包含偶次函數(shù)項，沒有常數(shù)項。f(t)0tT-T)2(Ttf 3. 平移縱軸（改變時間起點），可以改變函數(shù)的奇偶性，但平移縱軸（改變時間起點），可以改變函數(shù)的奇偶性，但 不能改變半波對稱性質(zhì)。不能改變半波對稱性質(zhì)。)(tftT0-T返回目錄返回目錄14.3 14.3 周期電流的有效值、電路的平均功率周期電流的有效值、電路的平均功率 一、非正弦周期電流、電壓的有效值一、非正弦周期電流、電壓的有效值 設(shè)設(shè))sin(1m0kkktkIIi 根據(jù)周期函數(shù)有效值定義根據(jù)周期函數(shù)有效值定義 TtiTI02d1將將 i 代入，得代入，得 ttkIITITkkkd)sin(12

11、01m0 （1） I02直流分量平方直流分量平方 200. 20d1ItITT 上式積分號中上式積分號中 i2項展開后有四種類型：項展開后有四種類型： 直流分量與各直流分量與各 次諧波乘積次諧波乘積22m202m2d)(sin1kkkTkIIttkIT 0d)sin(211m00 ttkIITkkkT 0d)sin()sin(21m0m ttqItkITqqkTk（不同頻率各次（不同頻率各次 諧波兩兩相乘）諧波兩兩相乘）（2）), 3 , 2 , 1()(sin22m ktkIkk 各次諧波分量平方各次諧波分量平方 （3）), 3 , 2 , 1()sin(2m0 ktkIIkk ), 2 ,

12、 1,3 , 2 , 1(qkqk （4）)sin()sin(mmqqpptqItpI 由此可得由此可得 2221201220IIIIIIkk其中，其中，I1、I2 ， 分別為各次諧波電流（正弦電流）的有效值。分別為各次諧波電流（正弦電流）的有效值。 同理，非正弦周期電壓可分解為同理，非正弦周期電壓可分解為 )sin(1m0kkktkUUu 222120UUU其有效值其有效值 1220kkUUU （2） 有效值相同的周期性非正弦電壓（或電流）其有效值相同的周期性非正弦電壓（或電流）其 波波形不一定相同。形不一定相同。)()()(31tititi 注意注意 ： （1）周期性非正弦電流（或電壓）有

13、效值與最大值）周期性非正弦電流（或電壓）有效值與最大值 一一 般無般無 倍關(guān)系。倍關(guān)系。2例例 )()()(31tititi t0i1(t)i3(t)t0i1(t)i3(t)i (t)i (t)2321III 2321III =二、周期性非正弦電流電路的平均功率二、周期性非正弦電流電路的平均功率 平均功率定義公式與正弦電流相同平均功率定義公式與正弦電流相同。 )sin()sin(1m01m0kikkkkuktkIIitkUUu 若若 TTtuiTtpTP00d1d1uip 瞬時功率瞬時功率 平均功率平均功率 則則ttkIItkUUTPkkikTkkukd)sin()sin(11m001m0 u

14、i 相乘之積分也可分為四種類型相乘之積分也可分為四種類型 （1）tIUTTd1000 （3）ttkItkUTkikkuTkkd)sin()sin(1m01m 11coskkkkkkPIU 同頻電壓、電流分量同頻電壓、電流分量 乘積之和的積分乘積之和的積分直流分量與各次諧波直流分量與各次諧波 分量乘積之和的積分分量乘積之和的積分直流分量乘積之積分直流分量乘積之積分 000PIU （2）ttkUITkukkTd)sin(11m00 ttkIUTkikkTd)sin(11m00 =0=0kikuk 其中其中 kkUUm21 kkIIm21 （4）ttqItpUTqiqqpuTppd)sin()sin

15、(11m01m )(qp TuidtTP01 21022211100cos.cosPPPIUIUIU 則平均功率則平均功率 周期性非正弦電流電路平均功率等于直流分量產(chǎn)生的功周期性非正弦電流電路平均功率等于直流分量產(chǎn)生的功率和各次諧波各自產(chǎn)生的平均功率之和。（同頻率電壓電流率和各次諧波各自產(chǎn)生的平均功率之和。（同頻率電壓電流相乘才形成平均功率）。相乘才形成平均功率）。不同頻電壓、電流分量不同頻電壓、電流分量 乘積之和的積分乘積之和的積分=03210PPPPP W9 .1125. 166. 82060cos25130cos221012 有效值有效值 A87. 15 . 02121221V28. 8

16、5 .6825 .12504222521022222222 IU例例 已知：已知：)602sin()30sin(213sin22sin5sin102 ttitttu 求：電路吸收的平均功率和電壓、電流的有效值求：電路吸收的平均功率和電壓、電流的有效值。+-ui返回目錄返回目錄解解 14.4 14.4 周期性非正弦電流電路的計算周期性非正弦電流電路的計算 采用諧波分析法的步驟如下：采用諧波分析法的步驟如下： （2）根據(jù)疊加定理，分別計算直流分量和各次諧波激勵根據(jù)疊加定理，分別計算直流分量和各次諧波激勵 單獨單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)。作用時產(chǎn)生的響應(yīng)。 （b） 各次諧波單獨作用時均為正弦穩(wěn)態(tài)電路，可采

17、用相各次諧波單獨作用時均為正弦穩(wěn)態(tài)電路，可采用相 量法量法計算。要注意電感和電容的阻抗隨頻率計算。要注意電感和電容的阻抗隨頻率 的變化而變化的變化而變化。 （1）將將周期性周期性非正弦電源，分解為傅里葉級數(shù)，根據(jù)要非正弦電源，分解為傅里葉級數(shù)，根據(jù)要 求取求取有限項。有限項。 （a）直流分量單獨作用相當(dāng)于解直流電路。（直流分量單獨作用相當(dāng)于解直流電路。（L短路、短路、C 開路）開路） （3）將計算結(jié)果以瞬時值形式相加（各次諧波激勵所產(chǎn)生將計算結(jié)果以瞬時值形式相加（各次諧波激勵所產(chǎn)生 的相的相量形式的響應(yīng)不能進行相加，因其頻率不同）。量形式的響應(yīng)不能進行相加，因其頻率不同）。例例 圖示電路為全波

18、整流濾波電路圖示電路為全波整流濾波電路。其中其中Um=157V。L=5H, C =10 F, R=2000 ， =314rad/s。加在濾波器上的全波整流電壓加在濾波器上的全波整流電壓 u 如圖所示。如圖所示。求：求：（1 1）電阻）電阻R上電壓上電壓uR及其有效值及其有效值UR 。 （2）電阻電阻R消耗的的平均功率。消耗的的平均功率。uLCRuRmU2 t0u解解 （1） 上述上述周期性周期性非正弦電壓分解成付氏級數(shù)為非正弦電壓分解成付氏級數(shù)為: )4cos1512cos3121(4m ttUuV4cos33.132cos7 .66100tt 取到四取到四 次諧波次諧波（2） 計算各次諧波分

19、量單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)計算各次諧波分量單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng) （a）100V直流電源單獨作用。（直流電源單獨作用。（L短路、短路、C開路）開路） V100 RUW52000100220 RUPRuRuR 159 1010314212131405314226CXLXCL 單獨作用（用相量法）單獨作用（用相量法） （b）二次諧波）二次諧波V2cos7 .662tu jXLRURUjXCV)1752cos(55. 3o2 tuR W1015. 32000255. 332222 RUPRV17555. 3 46.855 .15876.89298207 .66j)j (oooom2m2 CCRXRXRZU

20、U o76.892982 2982j55.12 158j55.123140j 159j2000)159j(20003140jj)j (jCCLXRXRXZ5 .79j2000)5 .79j(20006280j Z 9062016201j16. 33 .79j16. 36280jV)178171. 0( 72.874.79 906201 033.13m4 RUV)1784cos(171. 0o4 tuR 5 .791010314414162805314446CXLXCL （c） 四次諧波單獨作用四次諧波單獨作用 V4cos33.134tu W1031. 720002171. 0624 PjXLR

21、URUjXC420PPPP W003. 51031. 71015. 3563 420RRRRuuuu V)1784cos(171. 0)1752cos(55. 3100 tt 則則 V1000146. 03 . 610000 2171. 0255. 3100222 RU返回目錄返回目錄14.5 14.5 周期性激勵下的三相電路周期性激勵下的三相電路 對稱三相電源對稱三相電源 )32()3()(CBATtfeTtfetfe 傅立葉級數(shù)分解傅立葉級數(shù)分解)sin(1mAkkktkEe )120(sino1mBkkktkEe )120(sino1mCkkktkEe kkktkTtkTtk )120(

22、)3()3(o各相之間的相位差各相之間的相位差 k 120ok=1 時時 120o k=2 時時 240o k=3 時時 360o 正序正序 負序負序 零序零序 k = 1 , 4 , 7, k = 2 , 5 , 8 , k = 3 , 6 , 9 , 討論奇諧波函數(shù)討論奇諧波函數(shù) k = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 正序正序 零序零序 負序負序 NA UBN UCN Uk = 1 , 7 , 13 正序正序 NA UBN UCN Uk = 3 , 9 , 15 零序零序NA UBN UCN Uk = 5 , 11 , 17 負序負序有有 有有 有有 有有 零零 有有

23、有有 有有 有有零零 無無 無無 無無 無無 有有 有有 有有 有有 正序正序 零序零序 負序負序 線電流線電流 電源端電源端 負載端負載端 線電壓線電壓 線電壓線電壓 相電壓相電壓 相電壓相電壓 中點電壓中點電壓 一一 、YY（負載對稱）（負載對稱） 1 . 無中線無中線 +_+NnZZZ- - -eAeCeB線電流：無零序線電流：無零序 272521llllIIII電源端電源端 相電壓：有正序、負序、零序相電壓：有正序、負序、零序 252321EEEUp線電壓：無零序線電壓：無零序 272521333EEEUlplUU3 負載端負載端 相電壓：無零序相電壓：無零序 272521EEEUp線電壓：無零序線電壓：無零序 272521333EEEUlplUU3 中點電壓：只有零序中點電壓：只有零序 2152923EEEUnN有有 有有 有有 有有 零零 有有 有有 有有 有有 零零 有有 無無 有有 無無 有有 有有 有有 有有 正序正序 零序零序 負序負序 線電流線電流 電源端