2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊人教A版：第五章 5-3(二)

1、5.3誘導(dǎo)公式(二)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解公式五和公式六的推導(dǎo)方法.2.能夠準(zhǔn)確記憶公式五和公式六.3.靈活運用誘導(dǎo)公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明知識點一公式五1角eq f(,2)與角的終邊關(guān)于直線yx對稱，如圖所示2公式：sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin .思考設(shè)是任意角，其終邊與單位圓交于點P1(x，y)，與角的終邊關(guān)于直線yx對稱的角的終邊與單位圓交于點P2，點P2的坐標(biāo)是什么？答案P2(y，x)知識點二公式六1公式：sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ，c

2、oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin .2公式五與公式六中角的聯(lián)系eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2).思考如何由公式四及公式五推導(dǎo)公式六？答案sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,2)coseq blc(rc)(avs

3、4alco1(f(,2)sin .預(yù)習(xí)小測自我檢驗1若cos Aeq f(1,2)，那么sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)A) .答案eq f(1,2)2已知sin eq f(2,3)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2) .答案eq f(2,3)解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(2,3).3已知sin eq f(3,5)，為第二象限角，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) .答案eq f(3,5)4若eq f(,2)且sin eq f(1,5)，則cos .答案eq f(1

4、,5)解析因為eq f(,2)，所以eq f(,2)，所以cos coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(1,5).一、化簡求值例1(1)已知cos 31m，則sin 239tan 149的值是()A.eq f(1m2,m) B.eq r(1m2)Ceq f(1m2,m) Deq r(1m2)答案B解析sin 239tan 149sin(18059)tan(18031)sin 59(tan 31)sin(9031)(tan 31)cos 31(tan 31)sin 31eq r(1cos231)eq r(1m2).(2)已知sineq blc(rc)(avs

5、4alco1(f(,3)eq f(1,2)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值為 答案eq f(1,2)解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,2).延伸探究1將本例(2)的條件中的“”改為“”，求coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)的值解coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(

6、,2)f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,2).2將本例(2)增加條件“是第三象限角”，求sineq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)的值解因為是第三象限角，所以是第二象限角，又sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,2)，所以eq f(,3)是第二象限角，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3),2)，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sineq blc(rc)(avs4a

7、lco1(f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3),2).反思感悟解決化簡求值問題的策略：(1)首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系(2)可以將已知式進行變形，向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形，向已知式轉(zhuǎn)化提醒：常見的互余關(guān)系有：eq f(,3)與eq f(,6)，eq f(,4)與eq f(,4)等；常見的互補關(guān)系有：eq f(,3)與eq f(2,3)，eq f(,4)與eq f(3,4)等跟蹤訓(xùn)練1(1)已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，則coseq blc(r

8、c)(avs4alco1(f(,4)的值等于()A.eq f(2r(2),3) Beq f(2r(2),3) C.eq f(1,3) Deq f(1,3)答案D解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3).(2)已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)eq f(1,5)，那么cos 等于()Aeq f(2,5) Beq f(1,5) C.eq f(1,5) D.eq f(2,5)

9、答案C解析sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos eq f(1,5).二、證明恒等式例2求證：eq f(2sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)1,12sin2)eq f(tan91,tan1).證明左邊eq f(2cos sin 1,cos2sin2)eq f(sin cos 2,cos sin cos sin )eq f(sin cos ,sin cos )eq f(tan 1,

10、tan 1)，右邊eq f(tan 1,tan 1)，所以原等式成立反思感悟三角恒等式的證明策略對于三角恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法常用定義法、化弦法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法跟蹤訓(xùn)練2求證：eq f(cos2,cossinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(cos,cos blcrc(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)1)eq f(2,sin2).

11、證明左邊eq f(cos ,cos cos cos )eq f(cos ,cos cos 1)eq f(1,1cos )eq f(1,1cos )eq f(1cos 1cos ,1cos 1cos )eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)右邊，原等式成立三、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例3已知cos eq f(4,5)，且為第三象限角(1)求sin 的值；(2)求f()eq f(tansinsinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),cos)的值解(1)因為為第三象限角，所以sin eq r(1cos2)eq f(3,5).(2)f()eq f(tan sin cos ,cos )

12、tan sin eq f(sin ,cos )sin eq f(sin2,cos )eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)eq f(9,20).延伸探究1本例條件不變，求f()eq f(sin5cosblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)tan,tan19sin)的值解f()eq f(sin sin tan ,tan sin )sin eq f(3,5).2本例條件中“cos eq f(4,5)”改為“的終邊與單位圓交于點Peq blc(rc)(avs4alco1(m，f(r(15),4)”，“第三象限”改為“第

13、二象限”，試求eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),sinsinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)1)的值解由題意知m2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),4)21，解得m2eq f(1,16)，因為為第二象限角，故m0，所以meq f(1,4)，所以sin eq f(r(15),4)，cos eq f(1,4).原式eq f(cos ,sin cos 1)eq f(f(1,4),f(r(15),4)f(1,4)1)eq f(3r(15),6).反思感悟用誘導(dǎo)公式化簡求值的方法(1)對于三角函數(shù)式的化簡求值問題，一般遵循誘導(dǎo)公式先行

14、的原則，即先用誘導(dǎo)公式化簡變形，達到角的統(tǒng)一，再進行切化弦，以保證三角函數(shù)名最少(2)對于和eq f(,2)這兩套誘導(dǎo)公式，切記運用前一套公式不變名，而運用后一套公式必須變名跟蹤訓(xùn)練3已知角的終邊在第二象限，且與單位圓交于點Peq blc(rc)(avs4alco1(a，f(3,5)，求eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),2cosblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的值解因為角的終邊在第二象限且與單位圓相交于點Peq blc(rc)(avs4alco1(a，f(3,5)，所以a2eq f(9,25)1

15、(a0)，所以aeq f(4,5)，所以sin eq f(3,5)，cos eq f(4,5)，所以原式eq f(cos 2cos ,2sin )eq f(3,2)eq f(cos ,sin )eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(f(4,5),f(3,5)2.1sin 95cos 175的值為()Asin 5 Bcos 5C0 D2sin 5答案C解析原式cos 5cos 50.2已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(r(3),2)，且|eq f(,2)，則tan 等于()Aeq f(r(3),3) B.eq f(r(3),3) C

16、eq r(3) D.eq r(3)答案C3若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，則是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析由于sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos 0，所以角的終邊落在第二象限，故選B.4若cos eq f(1,5)，且是第四象限角，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2) .答案eq f(2r(6),5)解析由題意得sin eq r(1cos2)eq f(2r(6),5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sin eq f(2r(6),5).5

17、化簡：sin()coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos() .答案1解析原式sin sin cos cos 1.1知識清單：利用誘導(dǎo)公式進行化簡、求值與證明2方法歸納：奇變偶不變，符號看象限3常見誤區(qū)：函數(shù)符號的變化，角與角之間的聯(lián)系與構(gòu)造1已知sin 25.3a，則cos 64.7等于()Aa Ba Ca2 D.eq r(1a2)答案A解析cos 64.7cos(9025.3)sin 25.3a.2若sin(3)eq f(1,2)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)等于()Aeq

18、 f(1,2) B.eq f(1,2) C.eq f(r(3),2) Deq f(r(3),2)答案A解析sin(3)sin eq f(1,2)，sin eq f(1,2).coseq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(1,2).3若sin(180)cos(90)a，則cos(270)2sin(360)的值是()Aeq f(2a,3) Beq f(3a,2) C.eq f(2a,3) D.eq f(3a,2)答案B解析由sin(180)cos(9

19、0)a，得sin sin a，即sin eq f(a,2).cos(270)2sin(360)sin 2sin 3sin eq f(3,2)a.4如果角的終邊經(jīng)過點eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(4,5)，那么sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos()tan(2)等于()Aeq f(4,3) B.eq f(4,3) C.eq f(3,4) Deq f(3,4)答案B解析易知sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，tan eq f(4,3).原式cos cos tan eq f(4,3).5已知sineq blc(rc)(av

20、s4alco1(f(,3)eq f(3,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值是()Aeq f(3,5) B.eq f(3,5) C.eq f(4,5) Deq f(4,5)答案B解析因為coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(3,5)，故選B.6已知sin eq f(3,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) .答案eq f(3,5)解析coseq

21、 blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(3,5).7sin21sin22sin245sin288sin289 .答案eq f(5,2)解析原式(sin21sin289)(sin22sin288)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)211eq f(1,2)eq f(5,2).8已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(a

22、vs4alco1(f(,2)，則eq f(sincos,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2) .答案eq f(1,7)解析因為coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，所以sin 2cos .原式eq f(sin cos ,5sin 3cos )eq f(2cos cos ,10cos 3cos )eq f(1,7).9已知sin()cos()eq f(r(2),3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，求下列各式的值：(1)

23、sin cos ；(2)sin3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2).解(1)由sin()cos()eq f(r(2),3)，得sin cos eq f(r(2),3)，兩邊平方整理得2sin cos eq f(7,9)，又eq f(,2)0，cos 0，sin cos eq r(sin cos 2)eq r(1f(7,9)eq f(4,3).(2)sin3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos3sin3(cos sin )(cos2cos

24、 sin sin2)eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,18)eq f(22,27).10已知sin 是方程5x27x60的根，且為第三象限角，求：eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)tan22tan,cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)的值解5x27x60的根為x2或xeq f(3,5)，sin eq f(3,5).又為第三象限角，cos eq r(1sin2)eq f(4,5).tan eq f(3,4).原

25、式eq f(cos cos tan2tan ,sin sin )tan eq f(3,4).11已知為銳角，2tan()3coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)5，tan()6sin()1，則sin 等于()A.eq f(3r(5),5) B.eq f(3r(7),7)C.eq f(3r(10),10) D.eq f(1,3)考點綜合運用誘導(dǎo)公式化簡與求值題點綜合運用誘導(dǎo)公式求值答案C解析由題意，得eq blcrc (avs4alco1(2tan 3sin 5，,tan 6sin 1，)解得tan 3，又為銳角，sin2cos21，可得sin eq f(3r(10),10)

26、.12化簡：eq f(sin5cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos8,sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sin4)等于()Asin Bsin Ccos Dcos 答案A解析原式eq f(sincosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ,cos sin)eq f(sin sin cos ,cos sin )sin .13若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(1,3)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12) .答案eq f(1,3)解析coseq blc(rc)(avs4alco

27、1(f(7,12)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,12)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(1,3).14已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,3)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) ， coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6) .答案eq f(1,3)eq f(1,3)解析sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1