高等數(shù)學(xué)(下)曲線曲面積分PPT通用PPT課件

1、第十章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 格林公式高斯公式與斯托克斯公式第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法對弧長的曲線積分 第十章 一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數(shù), 都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過

2、對 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,如果 L 是閉曲線 , 則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).3. 性質(zhì)（k 為常數(shù))( 由 組成) ( l 為曲線弧 的長度)(5)對稱性與二重積分類似L關(guān)于y軸對稱輪換對稱性(6)可將重心，轉(zhuǎn)動慣量推廣到曲線弧上二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路

3、:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分說明:(1)因此積分限必須滿足(2) 注意到 因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 如果曲線 L 的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例1. 計(jì)算其中 L 是拋物線與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解:上點(diǎn) O (0,0)例2. 計(jì)算其中L為雙紐線解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對稱性 , 得例3. 計(jì)算曲線積分 其中為螺旋的一段弧.解: 線例4. 計(jì)算其中為球面 被平面 所截的圓周. 解: 由對稱性可知 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧內(nèi)容小結(jié)思考與練習(xí)1. 已

4、知橢圓周長為a , 求提示:原式 =利用對稱性2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量(2) 求它的質(zhì)心 .解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).(2) L的質(zhì)量而(1)故重心坐標(biāo)為第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對坐標(biāo)的曲線積分 第十章 一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn) B, 求移“大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.2. 定義.設(shè) L 為x

5、oy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .稱為被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限記作3. 性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明: 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在, 且有如果曲線 L 的方程為則有例1. 計(jì)算其中L 為沿拋物

6、線解法1 取 x 為參數(shù), 則解法2 取 y 為參數(shù), 則從點(diǎn)的一段. 例2. 計(jì)算其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的參數(shù)方程為(2) 取 L 的方程為則則例3. 計(jì)算其中L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系例4.將積分化為對弧長的積分,解：其中L 沿上半圓周1. 定義2. 性質(zhì)(

7、1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) L 表示 L 的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)3. 計(jì)算 對有向光滑弧 對有向光滑弧4. 兩類曲線積分的聯(lián)系 對空間有向光滑弧 :第三節(jié)一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件格林公式及其應(yīng)用 第十章 區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑曲線 L 圍成,則有( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、 格林公式 其中L是的取正向的邊界曲線說明：（1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立；（2

8、）在一定條件下可以用二重積分計(jì)算曲線積分，也 可以用曲線積分計(jì)算二重積分。（4）幾何應(yīng)用： 正向閉曲線L 所圍區(qū)域 D 的面積（在格林公式中，取則有)（3）對于復(fù)連通區(qū)域D，公式右端應(yīng)包括D的全部邊 界的曲線積分，且邊界的方向?qū)來說都是正方向。推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積格林公式例如, 橢圓所圍面積例1.設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明證: 令則利用格林公式 , 得？例2. 計(jì)算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解: 令, 則利用格林公式 , 有例3.計(jì)算其中L是曲線上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)的一段。解：添加為圍成的封閉區(qū)

9、間例4. 計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知在D 內(nèi)作圓周取逆時針方向, 對區(qū)域應(yīng)用格記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 說明:根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計(jì)算,3) 可用積分法求d

10、 u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;例5. 計(jì)算其中L 為上半從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段它與L 所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則例5. 驗(yàn)證是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證: 設(shè)則由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使。積分與路徑無關(guān)例6.計(jì)算其中為自點(diǎn)A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段（如圖）解：由題知構(gòu)造一個單連通域G，積分在G內(nèi)與路徑則G無關(guān)，內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式2. 等價條件在 D 內(nèi)

11、與路徑無關(guān).在 D 內(nèi)有對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對面積的曲面積分的計(jì)算法對面積的曲面積分 第十章 一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用可得求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 定義:設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” 都存在,的曲面積分其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f

12、 (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.則有 線性性質(zhì).在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面定理: 設(shè)有光滑曲面f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有二、對面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分說明:可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 ,也可將對面積

13、的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分. 例1. 計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:例2. 計(jì)算其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. 解: 設(shè)上的部分, 則與 原式 = 分別表示 在平面 例3. 設(shè)計(jì)算解: 錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)閯t 內(nèi)容小結(jié)1. 定義:2. 計(jì)算: 設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式簡化計(jì)算的技巧. 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標(biāo)的曲面積分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的

14、投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 其方向用法向量指向方向余弦 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P, Q, R 叫做被積函數(shù); 叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積二. 定義.引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為稱為Q 在有向曲

15、面上對 z, x 的曲面積分;稱為R 在有向曲面上對 x, y 的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對 y, z 的曲面積分;若記 正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式3. 性質(zhì)(1) 若之間無公共內(nèi)點(diǎn), 則(2) 用 表示 的反向曲面, 則三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理: 設(shè)光滑曲面取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則 若則有 若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面 取下側(cè), 則例1. 計(jì)算其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解: 利用對稱性.原式 的頂部 取上側(cè) 的底部 取下側(cè)解: 把 分為上下兩部分根據(jù)對稱性 思考: 下述解法是否正確:

16、例2. 計(jì)算曲面積分其中 為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分. 四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫令向量形式( A 在 n 上的投影)例4. 設(shè)是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算解: 例5. 計(jì)算曲面積分其中解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有 原式 =旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). 原式 =面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)

17、化內(nèi)容小結(jié)當(dāng)時，（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣一、高斯公式二、通量與散度 高斯公式 通量與散度 第十章 一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 (Gauss 公式)例1. 用Gauss 公式計(jì)算其中 為柱面閉域 的整個邊界曲面的外側(cè). 解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =(用柱坐標(biāo))及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化?

18、例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分其中 為錐面解: 作輔助面取上側(cè)介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側(cè). 所圍區(qū)域?yàn)?則 利用重心公式, 注意例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 解: 作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)定義:設(shè)有向量場其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場內(nèi)的一片有向 則稱曲面, 其單位法向量 n, 為向量場 A 通過有向曲面 的通量(流量) .在場中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱為向量場 A 在點(diǎn) M 的散度.記作divergence三、通量與散度內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分