空間幾何體的表面積與體積含經(jīng)典例題講解

1、空間幾何體的表面積與體積含經(jīng)典例題講解1.空間幾何體的側(cè)面積和表面積(1)簡單幾何體的側(cè)面展開圖的形狀矩形扇形矩形等腰三角形(2)多面體的側(cè)面積和表面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面積的和.(3)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)=_,S表=_=_.2rl2r2+2rl2r(r+l)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)=_,S表=_=_.若圓臺的上下底面半徑分別為r,r，母線長為l，則S側(cè)=_,S表=_.若球的半徑為R，則它的表面積S=_. rl(r+r)l(r2+r2+rl+rl)4R2r2+rlr(r

2、+l)2.幾何體的體積公式判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”).(1)長方體的體積等于長、寬、高之積.( )(2)錐體的體積等于底面面積與高之積.( )(3)球的體積之比等于半徑比的平方.( )(4)臺體的體積可以轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.( )(5)直徑為1的球的表面積S=4r2=4. ( )【解析】(1)正確.長方體是一種特殊的直四棱柱，其體積V=Sh=abc(其中a,b,c分別為長方體的長、寬、高).(2)錯誤.錐體的體積等于底面面積與高之積的 (3)錯誤.因為球的體積 故球的體積之比等于半徑比的立方.(4)正確.由于臺體是由平行于錐體的底面的平面截錐體所得的在截面與底面之間的

3、幾何體，故其體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.(5)錯誤.直徑為1的球的半徑為 故其表面積S=4r2=4( )2=.答案:(1) (2) (3) (4) (5)1.一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)【解析】選C.正方體的體積是8，正方體的棱長為2，故內(nèi)切球的半徑r=1，球的表面積S=4r2=4.2.正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的表面積為( )(A)48(3+ ) (B)48(3+2 )(C)24( ) (D)144【解析】選A.正六棱柱的表面積為3.直角三角形兩直角邊AB=3，AC=4，以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為(

4、)(A)12 (B)16 (C)9 (D)24【解析】選B.由題意知，該幾何體是底面半徑為4，高為3的圓錐，故其體積4.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的側(cè)面積為_ cm2.【解析】由三視圖可知該幾何體是圓錐，其底面圓半徑為3，母線長l=5,S側(cè)= 235=15 (cm2).答案:155.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為_.【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個長方體與一個圓柱的組合體，則V=884+424=256+64.答案:256+64考向 1 幾何體的折疊與展開【典例1】(1)如圖，在三棱柱ABC -ABC中，ABC為等邊三角形，AA平面ABC，AB=3,AA

5、=4，M為AA的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的最短路線長為 ，設(shè)這條路線與CC的交點為N，則PC=_，NC=_.(2)如圖為一幾何體的展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，點S，D，A，Q及點P，D，C，R分別共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使P，Q，R，S四點重合，則需要_個這樣的幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體.【思路點撥】(1)可將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，然后利用平面幾何的知識解決.(2)將平面圖形折疊后得到一個四棱錐，然后利用體積相等求解.【規(guī)范解答】(1)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，如圖所示：設(shè)PC=x

6、,則MP2=MA2+(AC+x)2.MP= ，MA=2，AC=3，x=2,即PC=2.又NCAM， 即 ，答案:2(2)由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來以后，得到一個四棱錐P-ABCD，其中PD平面ABCD，因此該四棱錐的體積 而棱長為6的正方體的體積 故需要 個這樣的幾何體，才能拼成一個棱長為6的正方體.答案:3【互動探究】保持本例題(1)條件不變，則一只螞蟻從B點出發(fā)沿三棱柱的三個側(cè)面繞一周，到達B點的最短路線的長為_.【解析】由題意可知，其最短路線為側(cè)面展開圖的對角線，故其最短路線的長為 答案:【拓展提升】1.求幾何體表面上兩點間的最短距離的方法常用方法是選擇恰當?shù)哪妇€或棱將幾何體展開

7、，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點間的距離.2.解決折疊問題的技巧(1)解決折疊問題時，要分清折疊前后兩圖形中(折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形)元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化.(2)折疊問題中的前后兩個圖形，在折線同側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化；在折線異側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化.【變式備選】(1)如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是_.【解析】把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成的大致圖象為如圖所示的平面圖形，連接AB，則AB即為螞蟻爬行的最短距離.AB=AB=2,AA為底面圓的周

8、長，則AA=21=2，即螞蟻爬行的最短距離為答案:(2)如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_.【解析】由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為 連接頂點和底面中心即為高，可得高為 所以體積為答案:考向 2 空間幾何體的表面積【典例2】(1)(2012北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是( )(A)28+ (B)30+ (C)56+ (D)60+(2)(2012遼寧高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_.【思路點撥】(1)由三視圖還原直觀圖，再求表面積.(2)讀懂三視圖，該幾

9、何體為長方體挖掉一個底面直徑為2的圓柱，分別求表面積，注意減掉圓柱的兩個底面積.【規(guī)范解答】(1)選B.直觀圖如圖所示:底面是邊長AC=5，BC=4的直角三角形，且過頂點P向底面作垂線PH，垂足在AC上，AH=2，ABC= 45=10，SPAC= 54=10.因為PH平面ABC，所以PHBC.又因為BCAC，PHAC=H，所以BC平面PAC，所以BCPC.所以SPBC= 45=10.在PAB中，PA= ，PB=AB= ，取PA中點E，連接BE，則BE=6，所以SPAB= 6= .因此三棱錐的表面積為(2)長方體的長、寬、高分別為4，3，1，表面積為432+312+412=38；圓柱的底面圓直徑

10、為2，母線長為1，側(cè)面積為211=2；圓柱的兩個底面積和為212=2，故該幾何體的表面積為38+2-2=38.答案:38【拓展提升】1.多面體的表面積的求法求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素的橋梁，從而架起側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素的聯(lián)系.2.旋轉(zhuǎn)體的表面積的求法圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.【提醒】解題中要注意表面積與側(cè)面積的區(qū)別，對于組合體的表面積還應(yīng)注意重合部分的處理.【變式訓練】(1)一個空

11、間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )(A)48 (B)32+8(C)48+8 (D)80【解析】選C.由三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示；為以四邊形ABCD為底面的直四棱柱，且AB= ，AD=4，BC=2，則其側(cè)面積為 兩底面面積為 故幾何體的表面積為(2)(2013長春模擬)如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是_.【解析】由三視圖可知原幾何體是一個長方體中挖去半球體，故所求表面積為S=4+8+4-+2=16+.答案:16+考向 3 空間幾何體的體積【典例3】(1)(2013皖南八校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正(主)視圖，側(cè)(左)視圖均是由三角形與半

12、圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為( )(A) (B)(C) (D)(2)(2012天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.【思路點撥】(1)該幾何體是半球與三棱錐的組合體.(2)根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)據(jù)，利用柱體的體積公式求解.【規(guī)范解答】(1)選C.由三視圖可得該幾何體的上部分是一個三棱錐，下部分是半球，所以根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得(2)組合體的底座是一個長、寬、高分別為4，3，2的長方體，上面是一個平躺著的高為4的四棱柱，其兩個底面的面積為 所以所求的體積是答案:30【拓展提升】1.求幾何體體積的類

13、型及思路(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系【變式訓練】(2012天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_ m3.【解析】組合體的上面是一個長、寬、高分別為6，3，1的長方體，下面是兩個半徑為 的相切的球體，所以所求的體積是V=2V球+V長方體=2 ( )3+631=18+9.答案:(18+9)【易錯誤區(qū)】求球的組

14、合體體積時的易錯點【典例】(2012新課標全國卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為( )(A) (B) (C) (D)【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯誤主要是不能根據(jù)SC為球O的直徑將三棱錐的體積進行合理轉(zhuǎn)化，從而無法求解或求解錯誤.【規(guī)范解答】選A.由于三棱錐S -ABC與三棱錐O-ABC的底面都是ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍，所以三棱錐S -ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍.在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1，如圖所示：SABC= ，高VSABC =2

15、VO-ABC=【思考點評】1.與球有關(guān)的組合體問題的求解解決與球有關(guān)的組合體問題，可通過畫過球心的截面來分析.例如，底面半徑為r，高為h的圓錐內(nèi)部有一球O，且球與圓錐的底面和側(cè)面均相切，過球心O作球的截面，如圖所示，則球心是等腰ABC的內(nèi)切圓的圓心，AB和AC均是圓錐的母線，BC是圓錐底面的直徑，D是圓錐底面的圓心.用同樣的方法可得以下結(jié)論：(1)長方體的8個頂點在同一個球面上，則長方體的體對角線是球的直徑；球與正方體的6個面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長；球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對角線.(2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的

16、直徑.(3)球與圓臺的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.2.空間幾何體的切割問題在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時，常常需要用到分割法.在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積. 1.(2012浙江高考)已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三棱錐的體積是( )(A)1 cm3 (B)2 cm3 (C)3 cm3 (D)6 cm3【解析】選A.由幾何體的三視圖可知，該幾何體是有三個面為直角三角形的四面體，如圖所示：三棱錐的底面三角形中直角邊長分別為1，2，高為3，故V= S底h

17、= 123=1(cm3).2.(2012廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為( )(A)72 (B)48 (C)30 (D)24【解析】選C.利用三視圖還原幾何體，結(jié)合直觀圖求解.由三視圖知，該幾何體是由圓錐和半球組合而成的，直觀圖如圖所示，圓錐的底面半徑為3，高為4，半球的半徑為3.V=V半球+V圓錐=3.(2013昆明模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，它們都是腰長為1的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的體積等于( )(A) (B) (C) (D)2【解析】選B.由三視圖得該幾何體是三棱錐V-ABC,其中VA，VB，VC兩兩垂直，且VA=VB=VC=1，外接球的直徑等于半徑為 ，故外接球的體積等于4.(2012安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是_.【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示).在四邊形ABCD中，作DEAB，垂足為E，則DE=4，AE=3，則AD=5.所以其表面積為：答案