2020屆全國大聯(lián)考高三第五次聯(lián)考數(shù)學(理)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020屆全國大聯(lián)考高三第五次聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)的運算法則計算【詳解】因為，所以故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算屬于簡單題2已知全集，集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】解分式不等式和一元二次不等式得集合，然后由集合的運算法則計算【詳解】依題意，故故選：B【點睛】本題考查集合的運算考查解分式不等式和一元二次不等式，掌握集合的運算法則是解題基礎(chǔ)3已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）ABCD【答案】C

2、【解析】根據(jù)在關(guān)于對稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解【詳解】，故選：C【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)隨機變量服從正態(tài)分布，則4國務(wù)院發(fā)布關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見中提出，要優(yōu)先落實教育投入某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（ ） A隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C從年至年，中國的總值最少增加萬億D從年到年，國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年【答案】C【解析】觀察圖表，判斷四

3、個選項是否正確【詳解】由表易知、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎(chǔ)5如圖，在三棱錐中，平面，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率【詳解】由已知平面，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為故選：A【點睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù)6執(zhí)行

4、如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（ ）ABCD【答案】D【解析】由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論【詳解】執(zhí)行該程序可得故選：D【點睛】本題考查程序框圖解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解7已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、元）甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，甲、乙兩人所扣租

5、車費用相同的概率為故選：B【點睛】本題考查獨立性事件的概率掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)8已知，且，則在方向上的投影為（ ）ABCD【答案】C【解析】由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算【詳解】由可得，因為，所以故在方向上的投影為故選：C【點睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵9甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人已知：甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；乙不在原始森林，也不在遠古村寨；“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；丁不在百里絕壁，也不在

6、遠古村寨若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】D【解析】根據(jù)演繹推理進行判斷【詳解】由可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由可知必有甲去了原始森林，由可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁故選：D【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ)10的展開式中，滿足的的系數(shù)之和為（ ）ABCD【答案】B【解析】，有，三種情形，用中的系數(shù)乘以中的系數(shù)，然后相加可得【詳解】當時，的展開式中的系數(shù)為當，時，系數(shù)為；當，時，系數(shù)為；當，時，系數(shù)為；故滿足的的系數(shù)之和為故選：B【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關(guān)

7、鍵11觀察下列各式：，根據(jù)以上規(guī)律，則（ ）ABCD【答案】B【解析】每個式子的值依次構(gòu)成一個數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計算【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，構(gòu)成一個數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，故選：B【點睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項12已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】函數(shù)的零點就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或因為，當時，

8、單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且故選：A【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學生分析問題解決問題的能力二、填空題13某大學、四個不同的專業(yè)人數(shù)占本?？?cè)藬?shù)的比例依次為、，現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專業(yè)應(yīng)抽取_人【答案】【解析】求出專業(yè)人數(shù)在、四個專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得【詳解】由題意、四個不同的專業(yè)人數(shù)的比例為，故專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為故答案為：39【點睛】本題考查分層抽樣，根據(jù)分層

9、抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的14“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為_【答案】【解析】分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，同時它們內(nèi)部也全排列【詳解】第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和

10、“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為故答案為：24【點睛】本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法15已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則_【答案】【解析】類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角【詳解】，故，【點睛】本題考查類比推理類比正弦定理可得，類比時有結(jié)構(gòu)類比，方法類比等16已知拋物線的對稱軸與準線的交點為，直線與交于，兩點，若，則實數(shù)_【答案】【解析】由于直線過拋物線的焦點，因此過，分別作的準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義

11、及平行線性質(zhì)可得，從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率注意對稱性，問題應(yīng)該有兩解【詳解】直線過拋物線的焦點，過，分別作的準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義知，因為，所以因為，所以，從而設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，同理，則，解得，由對稱性還有滿足題意，綜上，【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點弦問題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵三、解答題17已知的內(nèi)角，的對邊分別為，（1）若，證明：（2）若，求的面積【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）由余弦定理及已知等式得出關(guān)系，再由正弦定理可得結(jié)論；（2）由余弦定理

12、和已知條件解得，然后由面積公式計算【詳解】解：（1）由余弦定理得，由得到，由正弦定理得因為，所以（2）由題意及余弦定理可知，由得，即，聯(lián)立解得，所以【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形考查三角形面積公式，由已知條件本題主要是應(yīng)用余弦定理求出邊解題時要注意對條件的分析，確定選用的公式18在四棱錐中，底面為直角梯形，分別為，的中點（1）求證：（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法示二面角【詳解】（1）證明：連接，平面平面，平面平面，為的中點，平

13、面平面，平面平面，為斜邊的中點，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則易知平面的法向量為記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為【點睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時，可以建立空間直角坐標系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過程，通過計算求解19已知函數(shù)，設(shè)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)方程（其中為常數(shù)）的兩根分別為，證明：（注：是的導(dǎo)函數(shù)）【答案】

14、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）求出含有參數(shù)的，再求出，由的兩根是，得，計算，代入后可得結(jié)論【詳解】解：，函數(shù)的定義域為，（1）當時，由得，由得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明：由條件可得，方程的兩根分別為，且，可得【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的運算、方程根的知識在可導(dǎo)函數(shù)中一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間20第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣

15、傳普及的關(guān)系，對某試點社區(qū)抽取戶居民進行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說明你的理由；（2）已知在試點前分類意識強的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中，隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學期望參考公式：，其中下面的臨界值表僅供參考【答案】（1）有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系見解析（2）分布列見解析，期望為

16、1【解析】（1）由在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為可得列聯(lián)表，然后計算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計算概率得分布列，由公式計算出期望【詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶居民中隨機抽取戶，到分類意識強的概率為，可得分類意識強的有戶，故可得列聯(lián)表如下：分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值，所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系（2）現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中，選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，則0，1，2，3，故，則的分布列為【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望考

17、查學生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力21已知橢圓的右頂點為，為上頂點，點為橢圓上一動點（1）若，求直線與軸的交點坐標；（2）設(shè)為橢圓的右焦點，過點與軸垂直的直線為，的中點為，過點作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點在橢圓上【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點坐標，從而可得直線方程，得其與軸交點坐標；（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點坐標，證明此交點在橢圓上，即此點坐標適合橢圓方程代入驗證即可注意分和說明【詳解】解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，（1）由題知，則因為，所以，則直線的方程為，聯(lián)立，可得故則，直線的方程為令，得，

18、故直線與軸的交點坐標為（2）證明：因為，所以設(shè)點，則設(shè)當時，設(shè)，則，此時直線與軸垂直，其直線方程為，直線的方程為，即在方程中，令，得，得交點為，顯然在橢圓上同理當時，交點也在橢圓上當時，可設(shè)直線的方程為，即直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，化簡并解得將代入中，化簡得所以兩直線的交點為因為，又因為，所以，則，所以點在橢圓上綜上所述，直線與直線的交點在橢圓上【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點坐標，代入曲線方程驗證點在曲線本題考查了學生的運算求解能力22某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在的為劣質(zhì)品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質(zhì)品每件虧損元，優(yōu)等品每件盈利元，特優(yōu)品每件盈利元，以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于該區(qū)間的概率（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近年的年營銷費用和年銷售量，數(shù)據(jù)做了初步處理，得