MATLAB精品教程課件 第05講 無約束優(yōu)化

1、后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室無約束最優(yōu)化數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解無約束最優(yōu)化問題。1、了解無約束最優(yōu)化基本算法。1、無約束優(yōu)化基本思想及基本算法。4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。3、用MATLAB求解無約束優(yōu)化問題。2、MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介 無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想*無約束最優(yōu)化問題的基本算法返回標(biāo)準(zhǔn)形式：求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想求解的基本思想 ( 以二元函數(shù)為例 )531連續(xù)可微多局部極小 唯一極小(全局極小)搜索過程最優(yōu)點(diǎn) (1 1)初始點(diǎn) (-1 1)-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.50

2、0.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8返回?zé)o約束優(yōu)化問題的基本算法 最速下降法是一種最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位.最速下降法的優(yōu)點(diǎn)是工作量小，存儲(chǔ)變量較少,初始點(diǎn)要求不高；缺點(diǎn)是收斂慢，最速下降法適用于尋優(yōu)過程的前期迭代或作為間插步驟，當(dāng)接近極值點(diǎn)時(shí)，宜選用別種收斂快的算法. 1最速下降法（共軛梯度法）算法步驟：2牛頓法算法步驟： 如果f是對(duì)稱正定矩陣A的二次函數(shù)，則用牛頓法經(jīng)過一次迭代就可達(dá)到最優(yōu)點(diǎn),如不是二次

3、函數(shù)，則牛頓法不能一步達(dá)到極值點(diǎn)，但由于這種函數(shù)在極值點(diǎn)附近和二次函數(shù)很近似,因此牛頓法的收斂速度還是很快的. 牛頓法的收斂速度雖然較快，但要求Hessian矩陣要可逆，要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)和逆矩陣，就加大了計(jì)算機(jī)計(jì)算量和存儲(chǔ)量.3擬牛頓法返回Matlab優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介1.MATLAB求解優(yōu)化問題的主要函數(shù)2. 優(yōu)化函數(shù)的輸入變量 使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)化函數(shù)時(shí), 輸入變量見下表:3. 優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表:4控制參數(shù)options的設(shè)置 (3) MaxIter: 允許進(jìn)行迭代的最大次數(shù),取值為正整數(shù).Options中常用的幾個(gè)參數(shù)的名稱、含義、取值如下: (1)Display: 顯示水

4、平.取值為off時(shí),不顯示輸出; 取值為iter時(shí),顯示每次迭代的信息;取值為final時(shí),顯示最終結(jié)果.默認(rèn)值為final.(2)MaxFunEvals: 允許進(jìn)行函數(shù)評(píng)價(jià)的最大次數(shù),取值為正整數(shù).例：opts=optimset(Display,iter,TolFun,1e-8) 該語句創(chuàng)建一個(gè)稱為opts的優(yōu)化選項(xiàng)結(jié)構(gòu),其中顯示參數(shù)設(shè)為iter, TolFun參數(shù)設(shè)為1e-8. 控制參數(shù)options可以通過函數(shù)optimset創(chuàng)建或修改。命令的格式如下：(1) options=optimset(optimfun) 創(chuàng)建一個(gè)含有所有參數(shù)名,并與優(yōu)化函數(shù)optimfun相關(guān)的默認(rèn)值的選項(xiàng)結(jié)構(gòu)

5、options.（2）options=optimset(param1,value1,param2,value2,.) 創(chuàng)建一個(gè)名稱為options的優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù),其中指定的參數(shù)具有指定值,所有未指定的參數(shù)取默認(rèn)值.(3)options=optimset(oldops,param1,value1,param2, value2,.) 創(chuàng)建名稱為oldops的參數(shù)的拷貝,用指定的參數(shù)值修改oldops中相應(yīng)的參數(shù).返回用Matlab解無約束優(yōu)化問題 其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，

6、并可能只給出局部最優(yōu)解。常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）x，fval= fminbnd（.）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（.）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）To Matlab(wliti1) 主程序?yàn)閣liti1.m: f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖語句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=f

7、minbnd (f1, 0,8)例2 對(duì)邊長(zhǎng)為3米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解先編寫M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序?yàn)閣liti2.m: x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval運(yùn)算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為0.5米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為2立方米.To Matlab(wliti2) 命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fmin

8、search（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）x，fval= fminunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2、多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X)3 fminunc為中型優(yōu)化

9、算法的步長(zhǎng)一維搜索提供了兩種算法， 由options中參數(shù)LineSearchType控制：LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三 次多項(xiàng)式插值；LineSearchType=cubicpoly，三次多項(xiàng)式插使用fminunc和 fminsearch可能會(huì)得到局部最優(yōu)解.說明:fminsearch是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點(diǎn)說明：1 fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=on(默認(rèn)值),使用大型算法LargeScale=off(默認(rèn)值),使用中型算

10、法2 fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由 options中的參數(shù)HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate=dfp，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)To Matlab(wliti3) 1、編寫M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、輸入M文

11、件wliti3.m如下: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x) 3、運(yùn)行結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10To Matlab (wliti31)To Matlab (wliti32)3.用fminsearch函數(shù)求解To Matlab(wliti41)輸入命令: f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2; x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, -1.2 2)運(yùn)行結(jié)果: x =1.0000 1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1o

12、utput = iterations: 108 funcCount: 202 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search4. 用fminunc 函數(shù)To Matlab(wliti44)(1)建立M-文件fun2.m function f=fun2(x) f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2(2)主程序wliti44.m Rosenbrock函數(shù)不同算法的計(jì)算結(jié)果可以看出，最速下降法的結(jié)果最差.因?yàn)樽钏傧陆捣ㄌ貏e不適合于從一狹長(zhǎng)通道到達(dá)最優(yōu)解的情況.例5 產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如

13、何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤(rùn)最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場(chǎng)上的銷量.基本假設(shè)1價(jià)格與銷量成線性關(guān)系2成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系 模型建立 若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量x1，x2，使總利潤(rùn)z最大. 為簡(jiǎn)化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值. 顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我們把它作為原問題的初始值.總利潤(rùn)為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 模型求解 1.建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y