第六章-多元函數(shù)微分學基礎-課件

1、第六章 多元函數(shù)微分學基礎第一節(jié) 空間解析幾何簡介第二節(jié) 多元函數(shù)的概念第三節(jié) 偏導數(shù)與全微分第四節(jié) 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法第五節(jié) 多元函數(shù)的極值第六章 多元函數(shù)微分學基礎 在上學期我們討論了一元函數(shù)的微積分.但在自然科學和工程技術中，很多問題都與多種因素有關，反映到數(shù)學上就是多元函數(shù)的問題.本篇將在一元函數(shù)的基礎上討論多元函數(shù)的微積及其應用，而本章主要介紹空間解析幾何的基本知識和多元函數(shù)的微分及一些簡單的應用.第一節(jié) 空間解析幾何簡介圖6-1 右手系示意一、空間直角坐標系 建立了空間直角坐標系后，就可以討論間的與三個有序數(shù)之間的對應關系.6-2 三個坐標面把空間分成了八部分，每部分叫做一個卦

2、限（見圖6-3）.這八個卦限次序規(guī)定如下:圖6-2 點P位置下面將平面上兩點間的距離公式推廣到空間（證明從略）圖6-3 八卦限示意圖解1.曲面方程的概念6-4二、曲面及其方程 一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面簡單介紹平面和一些常見的二次曲面方程.圖6-4 曲面示意2.平面方程由兩點距離公式知圖6-5 例2示意圖解解解3.球面方程圖6-7 球面示意圖圖6-6 例4示意圖解4.柱面方程圖6-8 柱面示意圖解稱這樣的柱面為圓柱面（見圖6-9）圖6-9 例5示意圖1.空間曲線及其方程三、空間曲線及方程解2.空間曲線在坐標面上的投影解

3、思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第二節(jié) 多元函數(shù)的概念 在第十四章中，討論了含有一個自變時的函數(shù)，即一元函數(shù)，但在實際問題中，還會遇到含有兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù).在這里重點介紹二元函數(shù).一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.圖6-11 例2示意圖一般地，二元函數(shù)的定義如下.解 對于一元函數(shù)，一般假定在某個區(qū)間上有定義進行討論.對于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內有定義進行討論. 所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見圖6-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內任意兩點可用完全屬于此部分平面的折線連結起來.圖6-12 區(qū)域示意

4、 若區(qū)域能延伸到無限遠處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖6-12(c)所示，否則，它總可以被包含在一個以原點O為中心，而半徑適當大的圓內，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖6-12(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.閉區(qū)域：連同邊界在內的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.開區(qū)域：不包括邊界內的區(qū)域叫開區(qū)域. 為方便使用，將開區(qū)域內的點稱為內點，將區(qū)域邊界上的點稱為邊界點.解二、二元函數(shù)的幾何意義圖6-15 例6示意圖三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限 函數(shù)的極限是研究當自變量變化時，函數(shù)的變化趨勢，但是二元函數(shù)的自變量有兩個，所以自變量的變化過程比一元函數(shù)要復雜得多. 二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極

5、限的推廣，有關一元函數(shù)極限的運算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下面舉例說明. 解 方法一 方法二 這說明，二元函數(shù)的極限問題有時可以先轉化為一元函數(shù)的極限問題，再求解.解2.二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點.思考題答案答案答案課堂練習題答案答案答案第三節(jié) 偏導數(shù)與全微分一、偏導數(shù)的定義及求法解解證解二、高階偏導數(shù)解三、全微分1.全微分的定義解解解2.全微分在近似計算中的應用解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第四節(jié) 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、復合函數(shù)的求導法則1.復合函數(shù)的中間變量均是二元函數(shù)的情形解2.復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形解解3.復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形解4.復合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形解解二、全微分形式不變性解三、隱函數(shù)的求導法解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第五節(jié) 多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)極值1.極值的定義及求法解2.最大值和最小值解圖6-3