線性控制13章課件

1、第13章 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性第13章 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性2 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件，它描述初始條件下系統(tǒng)方程是否具有收斂性，而與輸入作用無(wú)關(guān)。 1. 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)初始條件及外作用無(wú)關(guān)； 2. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性既取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，也與系統(tǒng)初始條件及外作用有關(guān)；本章主要介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性理論及應(yīng)用。 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般理論，它采用狀態(tài)空間描述，在分析一些特定的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，有效地解決了其它方法所不能解決的問(wèn)題。該理論比經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)適應(yīng)范圍更廣。 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在建立了一系列關(guān)于穩(wěn)

2、定性概念的基礎(chǔ)上，提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法：1.間接法：利用線性系統(tǒng)微分方程的解來(lái)判系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱(chēng)李雅普諾夫第一法；2.直接法：首先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，然后利用李雅普諾夫函數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱(chēng)李雅普諾夫第二法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論：第13章 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性3穩(wěn)定性判別方法經(jīng)典控制理論中：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：代數(shù)判據(jù)（勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)）； 奈奎斯特判據(jù) ；對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)等。 非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：描述函數(shù)法： 要求系統(tǒng)的線性部分具有良好的濾 除諧波的性能；相平面法：僅適合于一階、二階非線性系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論中： 一般系統(tǒng)（包括單變量、線性、定常系統(tǒng)，以及

3、多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng)）的穩(wěn)定性：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。第13章 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性4 13.1 BIBO穩(wěn)定性第13章 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性1 13.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 13.3 李雅普諾夫第一法 13.4 李雅普諾夫第二法 13.5 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5 13.6 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用2345613.1 BIBO穩(wěn)定性613.1.1 BIBO穩(wěn)定的概念13.1.2 判據(jù)713.1.1 BIBO穩(wěn)定的概念BIBO穩(wěn)定性的概念： 對(duì)于一個(gè)初始條件為零的系統(tǒng)，如果在有界的輸入u(t)的作用下，所產(chǎn)生的輸出y(t)也是有界的，則稱(chēng)此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，也即是有界輸入-有界輸出穩(wěn)定的。

4、并簡(jiǎn)稱(chēng)為BIBO穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性的物理意義是系統(tǒng)響應(yīng)是否有界。13.1.1 BIBO穩(wěn)定的概念線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)方程為式中，x,u,y 分別為n,r,m 維向量；A,B,C為滿(mǎn)足矩陣運(yùn)算的矩陣。若初始條件為零，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為(13-2)其中， ，為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣。對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)， 為脈沖響應(yīng)函數(shù)。 8913.1.2 判據(jù) 線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，也可以用傳遞函數(shù)（矩陣）描述。對(duì)于式（13-1）和式（13-2）描述的系統(tǒng)，其有理傳遞函數(shù)矩陣為 用傳遞函數(shù)來(lái)研究BIBO穩(wěn)定也是很有用的。對(duì)于一個(gè)由 描述的線性時(shí)不變系統(tǒng)，其BIBO穩(wěn)定的重要條件是 的每一個(gè)元的所有極點(diǎn)具有

5、負(fù)實(shí)部。如果是單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，其BIBO穩(wěn)定的充要條件是傳遞函數(shù)的所以極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。13.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義1013.2.1 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義1113.2.1 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的研究均針對(duì)平衡狀態(tài)而言。1. 平衡狀態(tài)的定義 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 若對(duì)所有t，狀態(tài)x滿(mǎn)足 ，則稱(chēng)該狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為xe。故有下式成立： 由平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中所確定的點(diǎn)，稱(chēng)為平衡點(diǎn)。2. 平衡狀態(tài)的求法 由定義可見(jiàn)，平衡狀態(tài)將包含在 這樣一個(gè)代數(shù)方程組中。 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ，其平衡狀態(tài)為xe應(yīng)滿(mǎn)足代數(shù)方程 。只有坐標(biāo)原點(diǎn)處是系統(tǒng)的平衡狀

6、態(tài)點(diǎn) 對(duì)于非線性系統(tǒng)，方程 的解可能有多個(gè)，視系統(tǒng)方程而定。 如： 該系統(tǒng)存在三個(gè)平衡狀態(tài)：13.2.1 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)12范數(shù)的定義 n維狀態(tài)空間中，向量x的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量x的范數(shù)，用 表示，則：向量的距離 長(zhǎng)度 稱(chēng)為向量x與xe的距離，寫(xiě)為：13.2.1 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)13 定義：對(duì)于系統(tǒng) ，設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)xe為球心、為半徑的閉球域S()內(nèi)，即 若能使系統(tǒng)從任意初態(tài)x0出發(fā)的解 在tt0的過(guò)程中，都位于以xe為球心、任意規(guī)定的半徑的閉球域S()內(nèi)，即： 則稱(chēng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。1李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 P21613.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義

7、14幾何意義 按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超出S(),則認(rèn)為是穩(wěn)定的，這與經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義有差異。13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義15 2漸進(jìn)穩(wěn)定性（經(jīng)典理論穩(wěn)定性） 這時(shí)，從S()出發(fā)的軌跡不僅不會(huì)超出S()，且當(dāng)t時(shí)收斂于xe，可見(jiàn)經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸進(jìn)穩(wěn)定性對(duì)應(yīng)。13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義定義： 如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且對(duì)于任意小量0，總有則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸進(jìn)穩(wěn)定的。16幾何意義： 13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定

8、義17 定義：當(dāng)初始狀態(tài)擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)xe均具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，稱(chēng)這種平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，S()。當(dāng)t時(shí)，由狀態(tài)空間中任意一點(diǎn)出發(fā)的軌跡都收斂于xe。3.大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定性 對(duì)于嚴(yán)格的線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必定是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。這是因?yàn)榫€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件的大小無(wú)關(guān)。而對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其穩(wěn)定性往往與初始條件大小密切相關(guān)，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定不一定是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義18 幾何意義：漸近穩(wěn)定性示意圖李氏穩(wěn)定性示意圖13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義19 定義：如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)0和任一實(shí)數(shù)0，不管這個(gè)實(shí)數(shù)多么小，在

9、S()內(nèi)總存在一個(gè)狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S()，則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。4不穩(wěn)定性幾何意義： 13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義20 對(duì)于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的軌跡，雖然超出了S()，但并不意味著軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。例如以下物理系統(tǒng)比喻不穩(wěn)定，軌跡趨于S()以外的平衡點(diǎn)。 當(dāng)然，對(duì)于線性系統(tǒng)，從不穩(wěn)定平衡狀態(tài)出發(fā)的軌跡，理論上趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。13.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義2113.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義圖13-1 穩(wěn)定性的平面幾何指標(biāo)2213.2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾個(gè)定義 從上述四種穩(wěn)定性定義可見(jiàn)，球域S() 限制著初始狀態(tài)x0的取值，球域S()規(guī)定了

10、系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)響應(yīng) 的邊界。 簡(jiǎn)單地說(shuō)， 1.如果 有界，則稱(chēng)xe穩(wěn)定； 2.如果 不僅有界，而且當(dāng)t時(shí)收斂于原點(diǎn)，則稱(chēng)xe漸進(jìn)穩(wěn)定； 3.如果 無(wú)界，則稱(chēng)xe不穩(wěn)定；2313.3 李雅普諾夫第一法2413.3.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)13.3.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性13.3.3 系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的關(guān)系一線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判定基本思路：1.線性系統(tǒng)通過(guò)判斷狀態(tài)方程的解來(lái)判斷穩(wěn)定性；2.非線性和時(shí)變系統(tǒng)要通過(guò)平衡點(diǎn)附近的線性化 處理，再根據(jù)A陣判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。13.3.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)25對(duì)于可以線性化的非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下用它的線性化模型，用以下方法來(lái)研究。對(duì)于非線性系統(tǒng) ，

11、設(shè)xe為其平衡點(diǎn)。 13.3.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性26李雅普諾夫給出以下結(jié)論：（1） A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則平衡狀態(tài)xe是漸進(jìn)穩(wěn)定的；（2）A的特征值至少有一個(gè)為正實(shí)部，則平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。（3）A的特征值至少有一個(gè)實(shí)部為0，則不能根據(jù)A來(lái)判平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性,系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，需要由R(x)決定。13.3.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性27例13-2 已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 P219 解：系統(tǒng)有2個(gè)平衡狀態(tài)： 和在xe1=0,0處線性化，A1陣的特征值為+1，-1。故系統(tǒng)在xe1處是不穩(wěn)定的。在xe2=1,1處線性化，A2陣的特征值為+j，-j

12、,其實(shí)部為0,不能根據(jù)A來(lái)判斷穩(wěn)定性。28線性定常系統(tǒng) （1）平衡狀態(tài)xe是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部； （2）平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的有些特征值具有正實(shí)部； （3）當(dāng)系統(tǒng)用傳遞函數(shù)描述時(shí)，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為G(s）的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。13.3.3 系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的關(guān)系29例13-4 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe=0的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的特征方程為A陣的特征值為+1，-1。故系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)極點(diǎn)位于S左半平面，故系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。30 結(jié)論： 1.

13、線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必是BIBO穩(wěn)定的； 2. 線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)一定是漸進(jìn)穩(wěn)定的； 3. 如果線性定常系統(tǒng)為能控和能觀測(cè)，則其內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性是等價(jià)。BIBO穩(wěn)定漸近穩(wěn)定13.3.3 系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的關(guān)系3113.4 李雅普諾夫第二法3213.4.1 預(yù)備知識(shí)13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理33 李雅普諾夫第二法是通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)來(lái)直接判斷運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一種定性的方法。 根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中的振動(dòng)現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)，但要找到實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式并非易事。 李雅普諾夫第二法及其主要定理：

14、13.4 李雅普諾夫第二法（1）如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移逐漸衰減，只到平衡狀態(tài)時(shí)為最小，則稱(chēng)這個(gè)平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（2）如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移越來(lái)越大，則稱(chēng)這個(gè)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。（3）如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移維持不變，則稱(chēng)這個(gè)平衡狀態(tài)是臨界穩(wěn)定的，在李雅普諾夫意義下也認(rèn)為是穩(wěn)定的。13.4 李雅普諾夫第二法34李雅普諾夫提出，虛構(gòu)一個(gè)能量函數(shù)，一般它與 及t有關(guān)，記為V(x,t)或V(x)。 V(x)是一標(biāo)量函數(shù)，考慮到能量總大于0，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用 或 表示。李雅普諾夫第二法利用V和 的符號(hào)特征，直接對(duì)平衡

15、狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無(wú)需求解系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱(chēng)直接法。 13.4 李雅普諾夫第二法35 直接法解決了一些其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，但遺憾的是對(duì)一般非線性系統(tǒng)仍未找到構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)的通用方法。盡管如此目前它仍然是研究系統(tǒng)(包括時(shí)變、非線性)穩(wěn)定性的有力工具。 對(duì)于線性系統(tǒng)，通常用二次型函數(shù) 作為李雅普諾夫函數(shù)。13.4 李雅普諾夫第二法3613.4.1 預(yù)備知識(shí)1二次型函數(shù)的定義及其表達(dá)式 定義：設(shè) 為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：其中， ，則稱(chēng)P為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣。37例如： 顯然，二次型v(x)完全由矩陣P確定。因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的。 二次型的

16、標(biāo)準(zhǔn)型 只含有平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，如：13.4.1 預(yù)備知識(shí)38 2.標(biāo)量函數(shù)V(x)的符號(hào)和性質(zhì) 設(shè): ,且在x=0處，V(x)0。對(duì)于x0的任何向量。V(x)0，稱(chēng)V(x)為正定的。例如：V(x)0，稱(chēng)V(x)為負(fù)定的。例如：V(x)0，稱(chēng)V(x)為半正定的。例如：V(x)0，稱(chēng)V(x)為半負(fù)定的。例如：13.4.1 預(yù)備知識(shí)39設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P陣的所有各階主子行列式如下:3.賽爾維斯特(Sylvester)準(zhǔn)則(二次型標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性判別準(zhǔn)則),212222111211222112112111=D=D=DnnnnnnnppppppppppppppMMLL4013.4.1 預(yù)備

17、知識(shí)矩陣P（或V(x)定號(hào)性的充要條件為：（1）（2）（3）（4） 13.4.1 預(yù)備知識(shí)41 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的判別定理一定理4.2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為: ,其狀態(tài)平衡點(diǎn)xe=0,滿(mǎn)足 。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t),且滿(mǎn)足以下條件1.V(x,t)是正定的；2. 是負(fù)定的； 系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 1，2，3系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理42例13-5 已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: 試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性. 13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理43解：顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一

18、的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為 則沿任意軌跡，V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 是負(fù)定的。說(shuō)明V(x)沿任意軌跡是連續(xù)減小的，因此V(x)是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 而且， 。所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理44 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的判別定理二 定理4.3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為: ,其狀態(tài)平衡點(diǎn)xe=0,滿(mǎn)足 。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t),且滿(mǎn)足以下條件1.V(x,t)是正定的；2. 是半負(fù)定的； 13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理45定理的運(yùn)動(dòng)分析：以二維空間為例13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理46例13-6 已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)

19、方程為:試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 4713.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理解：顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一 的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為 當(dāng) 進(jìn)一步分析 的定號(hào)性：如果假設(shè) ，必然要求 ，進(jìn)一步要求 。但從狀態(tài)方程 可知，必滿(mǎn)足 表明 只可能在原點(diǎn)（x1=0,x2=0）處恒等于零。漸進(jìn)穩(wěn)定 而且，當(dāng) ，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的47若在該例中選取正定標(biāo)量函數(shù)為負(fù)定 而且，當(dāng) ，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的 由以上分析看出，選取不同的V(x)，可能使問(wèn)題分析采用不同的判別定理。13.4.

20、2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理49系統(tǒng)李氏穩(wěn)定的判別定理定理13-6設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為: ,其狀態(tài)平衡點(diǎn)xe=0,滿(mǎn)足 。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t),且滿(mǎn)足以下條件 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。這時(shí)系統(tǒng)可保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。1.V(x,t)是正定的；2. 是半負(fù)定的，且 。 13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理50例13-8 已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理5113.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理51解：顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0（即x1=0,x2=0)是

21、系統(tǒng)惟一 的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為 由上式可見(jiàn)， ，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 系統(tǒng)不穩(wěn)定的判別定理 定理13-7 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為: ,其狀態(tài)平衡點(diǎn)xe=0,滿(mǎn)足 。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t),且滿(mǎn)足以下條件1.V(x,t)是正定的；2. 是正定的； 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理53例13-9 已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一 的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為 系統(tǒng)不穩(wěn)定13.4.2 李雅普諾夫

22、第二法的判穩(wěn)定理54四不穩(wěn)定13.4.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理55定理的形式簡(jiǎn)單而有規(guī)律，在定理的應(yīng)用中，要注意以下幾點(diǎn)： (1)構(gòu)造一個(gè)合理的李雅普諾夫函數(shù)，是李氏第二法的關(guān)鍵，李氏函數(shù)具有幾個(gè)突出性質(zhì)： 1)李雅普諾夫函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。 2)李雅普諾夫函數(shù)是一個(gè)正定函數(shù)，至少在原點(diǎn)的鄰域是如此。 3)對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。 (2)如果在包含狀態(tài)空間原點(diǎn)在內(nèi)的鄰域內(nèi)，可以找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，就可以用它來(lái)判斷原點(diǎn)的穩(wěn)定性或漸近穩(wěn)定性。然而這并不一定意味著，從鄰域外的一個(gè)狀態(tài)出發(fā)的軌跡都趨于無(wú)窮大，這是因?yàn)槔钛牌罩Z夫第二法確定的僅僅是穩(wěn)定性的充分條件。13.4

23、.2 李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理5613.5 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5713.5.1 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別13.5.2 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別13.5.3 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別5813.5.1 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別1 漸進(jìn)穩(wěn)定的判別方法 定理13-8 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為： ，則平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q，必存在一個(gè)惟一正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P，且滿(mǎn)足李雅普諾夫方程 并且 是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。定理說(shuō)明：1. 如果任取的一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q，則滿(mǎn)足矩陣的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P是惟一的，若P正定，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=

24、0為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。P的正定性是一個(gè)充分必要條件。2. 為計(jì)算簡(jiǎn)便，在選取正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q時(shí)選單位陣I，于是方程簡(jiǎn)化為：13.5.1 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別59 2. V(x)的求法例 設(shè)線性定常系統(tǒng)為: ,試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性(其平衡狀態(tài)為xe=0)。解：為了便于對(duì)比，先用李氏第一法判斷。系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的13.5.1 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別60設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為：則有：展開(kāi)有：正定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的616213.5.2 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。取正定二次型函數(shù)以 代替 ，有 考慮狀態(tài)方程，有令 于是有 給定任一正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q（常取Q=I），存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P，使 成立。6313.5.3 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別定理13-9 設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為則系統(tǒng)在平衡狀態(tài) 是大范圍漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：對(duì)于