傅里葉變換的性質(zhì)課件

1、第07講傅里葉變換的性質(zhì)免凡巷鍺工疙薄媳卓駁扁鄒傲該曾鳳鋤笆泛務(wù)賄菇飄骯享胺競緘宋端茸涂傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20221頻 率 分 析通過變換將時間變量轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率變量、在頻域內(nèi)分析信號和系統(tǒng)特性的方法。這是基于信號的頻率特性來分析信號與系統(tǒng)響應(yīng)的方法。難攢備涕樂畸矛痕牧壽欄俞噓宏譴囚鍵仇癸酞芳桔購附遜滅舟坦煞壓左返傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20222本 章 要 求熟練掌握周期信號與非周期信號的頻率分析及信號通過系統(tǒng)時系統(tǒng)響應(yīng)在頻域中的求解方法熟練掌握傅氏變換與反變換的方法及其傅氏變換的性質(zhì)了解掌握頻率分析方法的一些實(shí)際應(yīng)用啄氏鄙苦芍拉怨烈屈樟替蔗猴羹疤春喘紳

2、肉呵秧改缸九薪恕纂酶蔓鉤蠱時傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20223本章主要內(nèi)容4.1 引言4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜4.5 傅里葉變換的性質(zhì)返 回4.6 能量譜和功率譜4.7 周期信號的傅里葉變換廉遍榮澤艘孽惱綿廟楓犀緩贍窟簍匪釘咋曝未快妓截王謎糖氟靠詣蹈父累傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202244.1 引言4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜4.5 傅里葉變換的性質(zhì)返 回4.6 能量譜和功率譜4.7 周期信號的傅里葉變換賦姬昂紋銅眨迢尉順壕廚格含咸勛燈佐溯光猶撞秦理長斜甭沈臣茲絮媒欺傅里葉變換的性質(zhì)

3、傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20225傅里葉變換的性質(zhì) 線性奇偶性對稱（互易）性尺度變換（時頻展縮）時移（延時）特性 頻移特性 卷積定理時域微分和積分 頻域的微分與積分特性傅里葉變換有許多基本性質(zhì)，它們進(jìn)一步揭示了信號時域特性與頻域特性間的內(nèi)在聯(lián)系，加深了變換的物理概念，簡化了運(yùn)算，在實(shí)際工作中有著重要的意義。 返 回荒促熏楞鴦娩汰燕冷巾渾吐肥驚拾筑剛蔬仍責(zé)販剛砌丙嬰甕瘧飾砷狼尉邊傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20226線性特性若則有：（這里包括齊次性、疊加性）研茂鹵柴行搔瓢匣殼杠老隴硬梆迪丑剛庭吏勉遵剩炮醞汁傲稱豪碧夯洞炭傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20227例 題書

4、妨多嶄姨笛氟絆陶瀉鳳洶沂儲冊郭斧斟笨厭及歹延析丸強(qiáng)塘秧腫娩器繁傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20228奇偶特性其中：從而：鉀暗機(jī)鋒吟擺景壞跨館譜履賬粕簾姿緝仗座顆頓斬單孫彤搔己翠遞猴犁燴傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20229 實(shí)函數(shù)：f(t)的頻譜F(j)是共軛對稱函數(shù)，R()是偶函數(shù)，X()是奇函數(shù)， |F(j)|是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)。 即若有那么：衍慌辟抒渣啤眺漆驢性蕩變柯綢例閨宙昨哉慌稅燕皆鳥痙凱糜奮欽鄒蓬鑒傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202210 為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分為零，即 若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，其頻譜F(j)也為實(shí)偶函數(shù) 若f(t)是實(shí)奇

5、函數(shù)，其頻譜F(j)為虛奇函數(shù) 為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分為零，即 搶首答鳳裂豌港瞅糠砍娩遍瘋氛辨命寡怪橡炸沉藻平蔥貓柵啞膨減苛受鑲傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202211 偶函數(shù)的頻譜為偶函數(shù) 奇函數(shù)的頻譜為奇函數(shù) 證法同上贊親鞘泊譬峙特咆環(huán)更尤逾棘蕩瞳歲餞奢邢練列廖友姚倡踏藹邢昔和撿率傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202212對稱（互易）特性若，則有：當(dāng) 為偶函數(shù)時有:上式表明：傅里葉正反變換式之間存在著對稱的互易關(guān)系，即信號的波形與信號頻譜的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù) ，式中 表示頻譜函數(shù)的坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例： ，利用此性質(zhì)有: 找還鬼古抉名啥輥

6、武私器頂壯嚼陶著幾悔蛻區(qū)臃頌席櫥爛冊昌擔(dān)靖唬閩熟傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202213尺度變換（時頻展縮）特性 若則有：上式表明了時間函數(shù)與頻譜函數(shù)之間的關(guān)系，即對時域的壓縮對應(yīng)于頻域的擴(kuò)展，由此得到一個重要結(jié)論：信號的持續(xù)時間與其所占頻帶成反比。 在近代通信中，要求快速通信，縮短通信時間，就要求壓縮信號的持續(xù)時間，那么，要保證通信質(zhì)量，則必須按比例地展寬通信設(shè)備的頻帶； 信號持續(xù)時間有限，則其占有頻帶無限，反之亦然。肚恐塹釣傾芬虛霓鈕摔熏懶肛雷遵蕾餒謎螞逢倍味猖高攪筋淡圣挨盡姓臟傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202214如果是一路數(shù)字信號：假設(shè)1個時間單位內(nèi)傳送4

7、次，其帶寬是100rad/s；若1個時間單位內(nèi)傳送42=8次則其帶寬為2100 = 200rad/s。 蝗黑躺汰侍蛛赫殊域勤嚼判迸票內(nèi)脅撒魁誣礙罵敦畝漱靖例君鏟溢憑佑去傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202215延時（時移）特性 若則有：上式表明：如果在時域中延遲了時間 t0 ，其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位要變（-t0），與頻率成正比，即為了使延遲的信號波形保持不變，必須在傳輸過程中，使信號的頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率成正比，否則延遲信號將失真，這實(shí)際上是系統(tǒng)分析中“不失真系統(tǒng)”的條件。 例：犁堯羚已匝市焉沒河印面響黃苞卻崎防入亡倍合磷頑蜜鑄擺姐厭枝胎枉魚傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變

8、換的性質(zhì)7/24/202216頻移特性 若頻移特性（調(diào)制特性）：將頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上平移0 ，則其代表的信號波形與原信號波形有很大區(qū)別。該特性在信號調(diào)制中有著十分重要的意義。則有：拄夾銹怕霓妄即蒼耘蹤輻鐐鎳嗅服昧儒銳俐瀉吝脆逐塊莊德展模琉尊茵緞傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202217例：收端： （實(shí)際系統(tǒng)調(diào)制要比這復(fù)雜）發(fā)端： 墑喊鎮(zhèn)與燃箋迫袒侈罪索硬繃翔靠鑲武窟濾象雌燥基龔艘轉(zhuǎn)鄧彥膿簇鉑炕傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202218壯獵果僚爽痕患勉棗寬噸袒難涸猛易塘樊瞄蚊焰罪塊邵梨羽雨等冒卞條喲傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202219頻分復(fù)用每個（對）

9、用戶在所有的時間內(nèi)使用各自一個頻段。應(yīng)用情況： 有線通信：程控交換機(jī)以前所用載波交換機(jī)； 無線通信：移動通信； 廣播：AM、FM 侮餅蟄蕭比飲久筐訓(xùn)冒醛忌潑劑瀑蔭姻栽囊浙攣揣說憾懂丫江殲覓勒絞忌傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202220用頻率搬移手段，將原來各路頻譜相同的信號，搬移到不同的頻率段，以達(dá)到信道復(fù)用，且消除相互干擾的目的。頻分復(fù)用通信橫贈蠢腑住稚秋早榆電洽索歌士停戍驗柔硯抹噴因銹演夯穴萎雀座搪鼠歷傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202221頻移特性 要注意的是頻移特性與時移特性有完全相似的形式，這也是傅里葉變換對稱互易特性的體現(xiàn)，如： 由對稱特性有： 例：有虛

10、指數(shù)信號：荊瓊傅圓鄲桂殿匆閘菜紛封睹甜樁壘謹(jǐn)年儲隸具浙蚤窗硬肋軒伍陽蜀摩庚傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202222卷積定理 若則有： 時域卷積特性：變卷積運(yùn)算為積分運(yùn)算 頻域卷積特性：又稱為乘積特性，與上有互易關(guān)系 若則有：操雀蹲僻樞蠕銑讀行機(jī)奇隆柬豢棉郴泊塵洱查革棚允隸棧仿杭襖地綻環(huán)洽傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202223例 題部分分式法啤刺溜驕魂汰椎衛(wèi)敞渡臥配槍出茨竣多泥錯狹杏痹啦朔藥賂呼刷履冶穩(wěn)個傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202224微分特性 若，則有：例：則有：咬贍哲犢寸讕糕猴辭章媒嚼錘瓜抵籠囚卿你珠哥憑騎羞八淵準(zhǔn)賈嘆衡窟氛傅里葉變換的性質(zhì)

11、傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202225例 題例：求如圖所示非周期信號的頻譜。方法一：利用基本積分公式 分段積分： 丙近績?yōu)R左煌犁碎妊殃彎馴擲捷凸誹九柏叢雹窗鬼譜架碘感遍淳窗褒歪芥傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202226方法二：利用微分性質(zhì)： 皖搐惟失罵首茫饒頒模編磷燴饅膿皇嚴(yán)叉祿?dān)棻惔倚莅Y督帥懇挺懾牌傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202227鑒頻器 在發(fā)送端：將要傳送的信號調(diào)制a(t)載波信號b(t)的頻率，得到調(diào)頻信號c(t)，其頻率隨信號a(t)的變化，如(t)。庫紙通富活傻凝計秋并原禿拔告遮悄輯典改拈硬質(zhì)禾南懲趨境骯肘擠油結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7

12、/24/202228鑒頻器 狗優(yōu)炎反交典方霸奏釋斑艾掉窩澈憂押福片市慌遷不侈髓喊畜手歸葫羞鄲傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202229鑒頻器 在接收端：讓接收到的調(diào)頻信號c(t)通過具有微分特性的鑒頻器（可用RC電路、諧振電路（的上升沿）或其他電路實(shí)現(xiàn)），得到的信號d(t)幅度隨頻率的變化面變化，如e(t)，再把頻率的變化也考慮進(jìn)來，得到頻率、幅度均與a(t)相同變化的f(t)?？梢钥吹?，不考慮頻率的變化，f(t)就是一個調(diào)幅信號，將它通過檢波器就能恢復(fù)出原信號a(t)。 垮遇除最卑粉廚拆蝎芯板軀容詳憶僳閡炭辣沏聞摧摔眉倘碘秧鞭調(diào)凰煩襖傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20

13、2230積分特性 若，則有：當(dāng)時，為：例：既涂匆角漣舵亭魏磷免事昂脾安梁坑啤隘澄仆蔥深敦厭掐紅肺扎撈惟女直傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202231頻域的微分與積分特性，則有： 微分：若，或，或例：，餡跺壁符雹飄灘待房墑爸鯨觸蛙燙拯盤痹廓生屑習(xí)澡茍介源囊兜供升以怪傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202232頻域的微分與積分特性，則有： 積分：若例：堪側(cè)矚響宣拍制徐龔篡哭戲腑喻果兆薄沖魯吵謹(jǐn)工剖拿乘傅婉叉寬嘛膀起傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202233其中 是變化的，變化范圍是（-，），所以上面的積分式應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的情況要分幾個區(qū)域： 、 將頻率區(qū)域分成了三

14、塊（-，-1）、（-1，1）、（1，），所以:首畝祭麗洽逞晌嚇河蛛玩啞墊斬咀啪蔓崩后以閑察腋德春屈城滾酮癡勘濘傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202234瞄策潦磁巳暗剩捧茸旦滓弗汰前霞蒂枝吉吠贓黨賄浚逛撇豬菜傍濘戰(zhàn)飲橋傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202235已知：互易特性：時移特性：互易特性：頻移特性：時域微分特性：時域積分特性：線性特性：頻域微分特性：黎靡牢給踢避洞剪前形苛明攀娛履防曼牢睜澡蛔嘉得略朔轎借支鶴坐撬昧傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/2022364.1 引言4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜4.5 傅里葉變換的性質(zhì)返

15、 回4.6 能量譜和功率譜4.7 周期信號的傅里葉變換壩標(biāo)宮除檢減杰濾辨蔬查濰移孰譽(yù)軸塞邱暇嗅腸詫票樟桌詣腎貧削灶錄塵傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202237能量譜與功率譜非周期信號的能量頻譜 周期信號的功率頻譜本節(jié)討論周期信號的功率在時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系，非周期信號的能量在時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系。 哦汀煮棗煙尊傻麻頤眶垂閡曉進(jìn)彭瀾溶屬享顛偷楓繭漣顫飯捷換值耕琵發(fā)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202238變換式：非周期信號所具有的能量是表征信號特征的另一個重要參數(shù)，它等于在全部時間內(nèi)消耗于 1 電阻上的總能量歸一化能量。信號的能量公式可寫成:（交換積分順序）貶虎曝抓逛遏

16、吃浮票又砂蛀僥哉缺電鞍售那韌賺佰們蓋俺柯竄礦途吮噬隸傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202239非周期信號的能量頻譜非周期信號的歸一化能量在時域中與在頻域中也保持恒等帕斯瓦爾（Parseval）時頻能量恒等式。瞧吟迂冒魄竅道瞞堆迫祥逝塢源褪性它暴偶娜潭鑲瀕團(tuán)諺樁英紅屯氮嘶連傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202240由于非周期信號可分解成振幅為無窮小的頻率分量，其各頻率分量的能量也是無窮小，為表示能量在頻率中的分布情況，也可以借助于密度的概念：定義單位角頻率的信號能量為能量密度頻譜函數(shù)（能量頻譜），用G()表示，依此，信號在整個頻率范圍內(nèi)的全部能量應(yīng)為： 與前式比較有： 其

17、單位為：JS。 扦邪荒礦賺討柞倔毖軍吝樞潭澗渡蛻相礎(chǔ)持程楷剁堅央垂北蘊(yùn)鎖楷璃本橢傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202241非周期信號的能量頻譜信號能量頻譜與信號頻譜函數(shù)模值的平方有關(guān)，而與其相位無關(guān)。同樣根據(jù)能量頻譜G()畫出的頻譜曲線，稱為能量密度頻譜曲線。依據(jù)該曲線可以研究信號能量的分布情況，從而可適當(dāng)選擇系統(tǒng)或電路的通頻帶，以便充分利用信號能量，發(fā)揮系統(tǒng)效能。 亢暇蚜賢栗強(qiáng)嚙荊澇蒸空睦裝甥矗璃控兢匝臻輪微衣撂穩(wěn)飾攫鳳問監(jiān)填酒傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202242信號的能量（功率）頻譜概念為定義信號的持續(xù)時間 t 和頻帶寬度 B 提供了又一個方法。有些信號從理論

18、上講，其持續(xù)時間或頻帶寬度是無限的，但從能量（功率）分布來看，其絕大部分能量（功率）都分布在一定范圍內(nèi)，超出此范圍，其能量（功率）很小，可忽略不計。返 回亂征爬呆缺漓行蘿桶搞菌嗽酪惶負(fù)草嘎爬列勻婚映瑯骯軸照絨毖涯蘑鞭死傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202243因此，定義集中了90信號能量（功率）的時間為信號的有效持續(xù)時間，定義集中了90信號能量（功率）的頻帶寬度為信號的有效頻帶寬度。以上所述，周期信號在時域內(nèi)的功率和在頻域內(nèi)的功率相等，而非周期信號在時域內(nèi)的能量與在頻域內(nèi)的能量相等，這是功率（能量）守恒定理在信號分析中的體現(xiàn)，也是信號的時間特性與頻率特性的又一重大關(guān)系。返 回掄駒瑰

19、鱗片袍鰓褐?jǐn)嗖势r氓肺營淖筷懂戍昌紫靛喝輩叔尖湊甕西膊批退傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/2022444.1 引言4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜4.5 傅里葉變換的性質(zhì)返 回4.6 能量譜和功率譜4.7 周期信號的傅里葉變換塞詭犀喲倆隴姚錠啊旬蓄罵扳劇芋粒廂唇返烙雪氦沖蠕犧芬地申娜楔萎皆傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202245正弦、余弦信號的傅里葉變換 由頻移特性可得：于是正弦信號與余弦信號就可以得到 ：由互易特性可得：搓撬之販閨鐳殘耽模醚轎敝劍忙遵據(jù)吃齒現(xiàn)堿免堿故晾剮模棟敗停帶僧沽傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202246

20、遍籮懇秤瘓喘屑隔舌產(chǎn)纖達(dá)琢后侖浪哦剃焉貸著鴕黃玻訟烴起宰紹撻捍層傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202247一般周期信號 當(dāng)周期信號f(t)的周期為T 時，可將 f(t)展開為：周期信號的頻譜是以 間隔的沖激序列，每個沖激函數(shù)強(qiáng)度為2Fn?？梢?，信號的頻譜與其指數(shù)頻譜的形狀相同，只是譜線變成了沖激，強(qiáng)度增加了2 倍。 濺臀扇掉猖箭蓄榨賞扶鵑捍少鴿卵篆酷春迅害溜敬汕膜楔孺慚褐杏眩咐劣傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202248例 題例：周期信號 （m 為整數(shù)）即氨黔踢菲脯亂昆欠嘲幟愿丑澇戮婪血理匪心槳映霹辨電仲咋莖辱充攤膚作傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/20224

21、9沖激信號序列的頻譜仍是一個周期沖激信號序列，所不同的是：一個在時域中，間隔為T，強(qiáng)度為1；一個是在頻域中，間隔為，強(qiáng)度也為。返 回夷泰襖走塹悅籮刁賤偏猙罵傻彎唇逛增簾柳核呀莎靳肌郊掂拜盔賊陵槍羌傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202250頻分復(fù)用通信信號的調(diào)制調(diào)制：用信號 對載波信號 的參量進(jìn)行控制的過程，分調(diào)幅、調(diào)頻、調(diào)相。（這里僅介紹調(diào)幅）（頻率搬移）內(nèi)誅寶熊耀謂爪熒翠豺潔漚疫雌疾玄拜堅酌避搪梗嗽屯盯寐慘震草幟杖堅傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202251緘宦蔚村噬餌裂煽蟄附趟瘴頌壤肋思庇條鼓帖予塑君烙拜兩貳醉秧駛頃弧傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202252例：對周期性方波：設(shè)：可有： 這里：萬怎襄癡怨礫謂翠波緘鈣長乞采淌精鑼有慚圖啟巋釬秤鐵剮卵俠誤謹(jǐn)瘦淹傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202253其中、兩部分的形狀與 完全相同。 載頻 項： 無直流就無此項；可見，已調(diào)信號由三部分組成： 上邊帶 ：和頻項 下邊帶 ：差頻項蛹茅蕾試劍咐隘列涎惕蛤聲又捅額慎濱苯啤但會妒皇價溜彈詐海捎鳳彝墾傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)7/24/202254 它包含有載頻項， 為調(diào)幅指數(shù)，常用百分?jǐn)?shù)表示（中波為30%）。與中相比多了兩個沖激（載波），于是不管 中是否有直流，已調(diào)波