第14講線段之截長(zhǎng)補(bǔ)短Ⅱ?qū)W生

1、第十三講.線段之截長(zhǎng)補(bǔ)短n【教學(xué)目標(biāo)】.學(xué)習(xí)基本的幾何證明思路，并能尋找已知與求證之間的關(guān)系；.培養(yǎng)觀察能力，并能從動(dòng)態(tài)圖形中尋找線段間的和差關(guān)系；.學(xué)習(xí)“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來(lái)進(jìn)行求解線段之間的關(guān)系，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；.培養(yǎng)處理動(dòng)態(tài)幾何的思維能力?！局R(shí)、方法梳理】：.截長(zhǎng)補(bǔ)短解題法簡(jiǎn)介有一類(lèi)幾何題其命題主要是證明三條線段長(zhǎng)度的“和”或“差”及其比例關(guān)系。這一類(lèi) 題目一般可以采取“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來(lái)進(jìn)行求解。所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最 長(zhǎng)的那條線段一分為二， 使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)

2、至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等。然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后,使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。.幾種截長(zhǎng)補(bǔ)短解題法類(lèi)型.我們大致可把截長(zhǎng)補(bǔ)短分為下面幾種類(lèi)型：類(lèi)型a b c 類(lèi)型a b kc對(duì)于類(lèi)型，可采取直接截長(zhǎng)或補(bǔ)短，繞后進(jìn)行證明?；蛘呋癁轭?lèi)型證明。對(duì)于，可以將 a b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，然后證明這個(gè)三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個(gè)角為30o的直角三角形等。.截長(zhǎng)法：(1)過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線(2)在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。 3.補(bǔ)短法(1)延長(zhǎng)短邊。(2)通過(guò)旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合

3、到一起?！镜淅v】例1.如圖示，在ABC中,B 60,BAC、BCA的角平分線 AD、 CE相交于O。求證：ACAE CD。例2.如圖,ABC 中，ABA 100o, BD 平分 ABC。求證：BC AD BD例3.已知 MAN , AC平分 MAN .(1)在圖 1 中，若 MAN 120 , ABC ADC 90 .求證：AB AD AC .(2)圖2中，若 MAN 120 , ABC ADC 180，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?例4.在 ABC中,ACB 90, AC BC ,直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D ,BE MN 于 E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位

4、置時(shí)，求證： DE AD BE(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證： DE AD BE(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系。DE AD BE例5.如圖，已知在 ABC內(nèi),00CpBAC 60 , C 40,點(diǎn) P、Q 分別在 BC、CA 上,并且AP、BQ分別是 BAC、 ABC的角平分線。求證： BQ AQ AB BP例6.如圖示，在 ABC中，BC邊的垂直平分線 DF交 BAC的外角平分線 AD于點(diǎn)D ,F為垂足，DE AB于E,并且AB AC。求證：BE AC AE。例 7.如圖， ABC 中， BAC 90O

5、, AC 2AB, BO 為中線，AD 為高，OG AC,OE OB,點(diǎn)E在BC邊上。求證：BC CE FG。A例8.已知在 ABC中， ABC 45 ,高AD所在的直線與高BE所在的直線交于點(diǎn)點(diǎn)F作FG / BC ,交直線AB于點(diǎn)G ,聯(lián)結(jié)CF。(1)當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)(如圖 1所示)，求證： AD FG CD ;(2)當(dāng) BAC是鈍角時(shí)(如圖2所示)，寫(xiě)出線段AD、CD、FG三者之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫(xiě)出證明過(guò)程，直接寫(xiě)結(jié)論；當(dāng)BE FE, BD 4時(shí)，求FG的長(zhǎng)?！倦p基訓(xùn)練】.如圖，AB AE, AB求證：DE 2AM。AE, AD AC , AD AC ,點(diǎn) M 為 BC 的中點(diǎn)。

6、.如圖，ABC中，CACB, CAB CBA 45O, CD 平分 ACB 交 AB 于 D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，CNAE 交 AB于 N, AE 交 CD 于 M。.求證：AE CN EN?！究v向應(yīng)用】3.以Rt ABC兩直角邊AC , BC為邊向形外作正方形 ACDE和BCFG ,分別過(guò)E , G作斜邊AB所在直線的垂線段 EEi, GGi。證明：AB EE1 GG1。A04.已知，如圖， 12, P為BN上一點(diǎn)，且PD BC于點(diǎn)D, AB BC 2BD。求證： BAP BCP 180o。B【橫向拓展】.已知： ABC中，兩條高 AD和BE相交于H ,兩條邊 垂足是 M , N。求證：AH

7、2MO , BH 2NO。.已知： ABC中，ABACBC,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn) BD BE AC, ADE的外接圓和 ABC的外接圓交于AND CBC和AC的中垂線相交于O,ABD ME在BA的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)F 。求證：BF AF FCE練習(xí)題答案.【證明：延長(zhǎng) AM至點(diǎn)N ,使MN AM ,則四邊形 CAN ANB又EAD BAC 180ABN BAN ANB 180 ABNBANCAN 180ABN BAC 180 ABNEAD又.BN AC AD , BA AE BNACW ADENA DE. DE 2 AMABNC是平行四邊形。工OMc-、/2.【證明】：設(shè) CD與AE相交于點(diǎn)M由題可知

8、 ABC為等腰直角三角形。.CN AE, CABCCAEACDB 45, CA CB. CAM 0CN AMCBN,CMBN又. CE EB,DCE B45CEF0 EBN. EN EF AF EF CN【縱向應(yīng)用】EN ,即 AE CN EN3.【提示】過(guò)點(diǎn)C作CH垂直AB,垂足為點(diǎn)H。則可得 AEEm CAH，所以EE1 AH ,同理可得GG1 HB。4.【分析】：證兩個(gè)角白W口是 180,可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP EAP ,因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造?！咀C明】：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,如圖112,且 PD BC, PE PDE圖1DCPE

9、 PDBP BPBE BDBEBE AB AEPE PDPEA PDCAE DCPAE PCD.BAP BCP 1800在 Rt BPE 與 Rt BPD 中,Rt BPE Rt BPD , . AB BC 2BD AB BD DC BDAB DC BE 即 DC在 Rt APE 與 Rt CPD 中,Rt APE Rt CPD ,又 BAP PAE 1800,【橫向拓展】.【提示】CO到G使OG CO連結(jié)證明一：（加倍法一一作出 OM , ON的2倍）連結(jié)并延長(zhǎng)AG, BG。則 BG/OM, BG 2MO , AG/ ON, AG 2NO。因?yàn)樗倪呅?AGBH是平行四邊形，所以 AH BG 2MO, BH AG 2NO。證明二：（折半法一一作出 AH , BH的一半）分別取 AH , BH的中