2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)

1、圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2.4拋物線 拋物線有許多重要性質(zhì).我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它的一些簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).探究 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱（0,0）e=1拋物線的幾何性質(zhì)xyOFABy2=2px2p 過(guò)焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑. 利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的

2、草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.1.通徑開(kāi)闊視野 連接拋物線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑.焦半徑公式：xyOFP2.焦半徑(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；(2)拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；(4)拋物線的離心率e是確定的，為;(5)拋物線的通徑為2p, 2p越大，拋物線的張口越大.【提升總結(jié)】解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），所以，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以因此,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 【例】已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)

3、原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.即p =2.分析：由拋物線的方程可以得到它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又直線l的斜率為1，所以可以求出直線l的方程；與拋物線的方程聯(lián)立，可以求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求出AB.這種方法雖然思路簡(jiǎn)單，但是需要復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.數(shù)形結(jié)合的方法xyOFABBAxy42=題點(diǎn)線lxyOFABBA分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷 如上題，求證：以AB為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相切 所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHl，因而圓E和準(zhǔn)線l相切證明：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A，E，B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足分別為D，H，C，則

4、AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH 2.已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是5，則p = . 43.已知直線x-y=2與拋物線 交于A，B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 .4.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口圓的直徑為60 cm，燈深40 cm，建系如圖所示，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置.xyO(40,30)所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, x軸垂直于燈口直徑.解：在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px（p0），由條件可得A (40,30),代入方程得:302=2p40解得: p=故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,焦點(diǎn)為( ,0)范圍 2.對(duì)稱性 3.頂點(diǎn) 4.離心率 5.通徑 6.焦半徑幾何性質(zhì)：知識(shí)應(yīng)用：1.數(shù)學(xué)應(yīng)