高中數(shù)學(xué)必修一三角函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)精華版

1、.正弦、余弦、正切函數(shù)圖象和性質(zhì)函 數(shù)正弦函數(shù)y sin x,x R余弦函數(shù)y cos x, x R正切函數(shù) y tan x, x k 2有界性有界有界無界定義域(,)(,)x | x k , k Z 2值域1,1當(dāng) x 2k (k Z)時(shí)，ymax12當(dāng) x - 2k (k Z)時(shí)， 2y min11,1當(dāng) x 2k (k Z)時(shí)，ymax 1當(dāng) x2k (k Z)時(shí),ymin1(,)周期性是周期函數(shù)，最小正周期 T 2是周期函數(shù)，最小正周期 T 2T奇偶性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)性在2k ,- 2k , (k Z) 22上是單調(diào)增函數(shù)在

2、-2k , 2k , (k Z) 22上是單調(diào)減函數(shù)在 2k ,2 2k , (k Z)上是單調(diào)增函數(shù)在2k , 2k , (k Z)上是單調(diào)減函數(shù)在(一k , k ),(k Z)22上是單調(diào)增函數(shù)對(duì)稱軸x k 一，(k Z) 2x k ,(k Z)對(duì)稱(k ,0) (k Z)(k ,0) (k Z) 2k(三 ,0) (k Z)中心正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像y=sinxy=cosxy=tanxy.y=cotx三角函數(shù)的性質(zhì)1、定義域與值域2、奇偶性(1)基本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：y = sinx , y=tanx；偶函數(shù)：y= cosx.(2)八敏+河型三角函數(shù)的奇偶性 (i ) g

3、(x) =&磔期 + 如(x R)(x)為偶函數(shù)*雙F)=以或O 力sin(皈十 如): jdgin(-皈五)匕 sin ac。工/二 0(” R)7Tcos p- 0 O 中二七升十上 wZ) 由此得2；(五)同理，且=用皿(m +頊它的為奇函數(shù)獻(xiàn)五)二a+矽5E式)O sin 二 0 0 飆二 k或k E 2)雙幻二小。虱8 +的 為偶函數(shù) 09二化鞏此2)；虱力二式曲十防 為奇函數(shù)7TT而H + MT的最小正周期為，；(iii) y = sin 4x + cos4x 的最小正周期為 2 .由此領(lǐng)悟“最小公倍數(shù)法”的適用類型，以防施錯(cuò)對(duì)象 .4、單調(diào)性(1)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(族)依從

4、三角函數(shù)圖象識(shí)證“三部曲”：選周期：在原點(diǎn)附近選取那個(gè)包含全部銳角，單調(diào)區(qū)間完整，并且最好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一個(gè)周期；寫特解：在所選周期內(nèi)寫出函數(shù)的增區(qū)問(或減區(qū)問)；獲通解：在中所得特解區(qū)間兩端加上有關(guān)函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù)的增區(qū)間族(或減區(qū)間族)循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)范的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域.(2) y=J(收-型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)問此類三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的尋求“三部曲”為換元、分解：令u=mx4,將所給函數(shù)分解為內(nèi)、外兩層：y = f (u) , 口 =祈+中;套用公式：根據(jù)對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)

5、知，確定出 f (u)的單調(diào)性，而后利用(1)中公 式寫出關(guān)于u的不等式；還原、結(jié)論：將u=*/代入中u的不等式，解出x的取值范圍，并用集合或區(qū)間 形成結(jié)論.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):Zy sinxy cosxy tanxy cotxy Asin x(A0)定義域RRx | x R 且 x k 1 ,k Z2x| x R且x k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性 2k ,22k 2上為增函；2k ,2k 偶函數(shù)奇函數(shù)2k 1k ,一 kk2k 22上為增函上為增函數(shù)數(shù)數(shù)(k Z )2k ,2k 1 上為減的函(k Z )0,非奇非偶奇函數(shù)當(dāng)

6、0,奇函數(shù)上為減函數(shù)(k Z ),k 1(k Z上為減函）2k2k212(A),-(A)上為增函數(shù)；2k2(A),-(A)2k32上為減函數(shù)（k Z ）注意：ysinx與y sinx的單調(diào)性正好相反；y cosx與y cosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地,f （x）在a,b上遞增（減），則y f（x）在a,b上遞減（增）2)ysin x 與 y cosx的周期是 .sin( x )或 y cos( x )0）的周期T 2xtan 一2的周期為2（TT，如圖，翻折無效）. y sin(x ）的對(duì)稱軸方程是）,對(duì)稱中心（k ,0）; y cos（ x）的對(duì)稱軸方程是x ktan(x ）的對(duì)稱中心（k

7、 ,0).2y cos 2 x原點(diǎn)對(duì)稱y cos( 2x)cos 2x當(dāng)tan tan1,(k Z) - tan 2tan1,k . (k2Z).D y cosx 與 ysin x 2k2是同一函數(shù)，而y）是偶函數(shù)，則1、，、y ( x ) sin( x k - ) cos( x).2函數(shù)y tanx在R上為增函數(shù).（X）只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域,y tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù):f( x)f(x),奇函數(shù)：f( x) f (x)奇偶

8、性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y tanx是奇函數(shù),tan(x1 ）是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0 x的定義域，則f（x）一定有f（0）0. (0 x的定義域，則無此性質(zhì)）9 y sinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T ）;cosx是周期函數(shù)（如圖）；ycos x為周期函數(shù)（Ty= cos|x| 圖象cos2x1的周期為 （如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,例如:f(x) 5f (x k),k R. y a cosbsin a2 b2 sin( )cosy.y=| cos2x+1/2|圖象、形如yAsin( x )的函數(shù):1、幾個(gè)物理量：A一振幅；f 1頻

9、率T（周期的倒數(shù)）一相位;一初相;2、函數(shù)y Asin（ x ）表達(dá)式的確定：A由最值確定;由周期確定;由圖象上的特殊點(diǎn)確定，如f （x） Asin（ x)(A 0,0, |圖象如圖所小，則f（x）=(答：f(x)2sin(15x22-22萬）的3.函數(shù) y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B ,最小值是B A,周期是2,最小正周期頻率是f ,相位是 x ,初相是 2其圖象的對(duì)稱軸是直線k 2(k Z)是該圖象與直線y B的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。4、研究函數(shù)y Asin（ x ）性質(zhì)的方法：類比于研究y sin x的性質(zhì)，只需將y Asin（ x中的x 看成y si

10、nx中的x,但在求y Asin（ x ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意 A和符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將化正。如（1）函數(shù)y sin（ 2x 一）的遞減區(qū)間是3(答：k 12 卜 12(k Z)； TOC o 1-5 h z -x33(2) y log 1 cos(- )的遞減區(qū)間是(答：6k ,6k 一( k Z);23 4445、函數(shù)y Asin( x )圖象的畫法：(1)利用“五點(diǎn)法”作函數(shù) y Asin( x ),x R (其中A 0,0)的簡圖，是將x看著一個(gè)整體，先令 x 0-, ,2列表求出對(duì)應(yīng)的x的值22與y的值，用平滑曲線連結(jié)各點(diǎn)，即可得到其在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖

11、常用方法=由y sin x圖象推y Asin( x ) k的圖象6.函數(shù)y Asin( x ) k的圖象與y sin x圖象間的關(guān)系：圖象變換上、所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A 1)或縮短(0 A 1)到原來的A倍(1)振幅變換 y sinx,x Ry A sin x, x R1所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(1)或伸長(01)到原來的一倍(2)周期變換ysinx,xRy sin x,x R二八、所有點(diǎn)向左(0)或向右(0)平移| |個(gè)單位長度(3)相位變換ysinx,xRy sin(x ),xR(4) 上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的.k0,上移；k0)或向右(0) y sin x的圖象 平移| |

12、個(gè)單位長度得y橫坐標(biāo)伸長(0 1)V sin(x )的圖象 到原來的1(縱坐標(biāo)不變),縱坐標(biāo)伸長(A 1)或縮短(0A1)y sin( x )的圖象為原來的a倍(橫坐標(biāo)不變)向上(k 0)或向下(k 0) y Asin( x )的圖象平移|k|個(gè)單位長度(二)先伸縮后平移縱坐標(biāo)伸長（A 1）或縮短（0 A 1）y sinx的圖象為原來的a倍（橫坐標(biāo)不變） 得y As1nx橫坐標(biāo)伸長（01）或縮短（1）.y Asinx的圖象到原來的1（縱坐標(biāo)不變） 得y Asin（ x）y Asin( x)的圖象向左（0）或向右（0）平移一個(gè)單位得 y Asin x( xa .,、 向上（k 0）或向下（k 0

13、）_ a_、 一y Asinx（ x ）的圖象平移1k個(gè)單位長度得y Asin（ x ） k圖象無論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 特別注意，若由y sin x得到y(tǒng) sin x 的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移| |個(gè)單位，例如：函數(shù)y 2sin（2x ） 1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到 4y sinx的圖象（答：y 2sin（2 x -） 1向上平移1個(gè)單位得y 2sin（2 x ）的圖象，再向左平移一個(gè)單位得y 2sin 2x的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍得y 2sin x的圖象，最后將縱坐81 一標(biāo)縮小到原來的一即得y sinx的圖象）； 2三、正切函數(shù)y tanx的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：x|x k ,k Z。（2）值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值；2（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線y a的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其 周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變， 其它不定。 如y sin2 x, y sinx的周期都是 ，但y sin x cosx的周期為3 ,而1y |2sin（3 x ） - |,