《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法》學(xué)習(xí)指導(dǎo)-標(biāo)準(zhǔn)答案電子版本

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)-標(biāo)準(zhǔn)答案-數(shù)據(jù)的描述和整理一、學(xué)習(xí)目的和要求1.掌握數(shù)據(jù)的類型及特性；掌握定性和定量數(shù)據(jù)的整理步驟、顯示方法；掌握描述數(shù)據(jù)分布的集中趨勢、離散程度和分布形狀的常用統(tǒng)計(jì)量；能理解并熟練掌握樣本均值、樣本方差的計(jì)算；了解統(tǒng)計(jì)圖形和統(tǒng)計(jì)表的表示及意義；6.了解用Excel軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)作圖、頻數(shù)分布表與直方圖生成、統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算。內(nèi)容提要數(shù)據(jù)的分類數(shù)據(jù)類型定性數(shù)據(jù)（品質(zhì)數(shù)據(jù)）定量數(shù)據(jù)定類數(shù)據(jù)（計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)）定序數(shù)據(jù)（等級數(shù)據(jù)）數(shù)值數(shù)據(jù)（計(jì)量數(shù)據(jù)）表現(xiàn)形式類別（無序）類別（有序）數(shù)值()對應(yīng)變

2、量定類變量定序變量數(shù)值變量（離散變量、連續(xù)變量）主要統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算各組頻數(shù)，進(jìn)行列聯(lián)表分析、2檢驗(yàn)等非參數(shù)方法計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析等參數(shù)方法常用統(tǒng)計(jì)圖形條形圖，圓形圖（餅圖）直方圖，折線圖，散點(diǎn)圖，莖葉圖，箱形圖常用統(tǒng)計(jì)量1、描述集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量名稱公式（原始數(shù)據(jù)）公式（分組數(shù)據(jù)）意義均值反映數(shù)據(jù)取值的平均水平，是描述數(shù)據(jù)分布集中趨勢的最主要測度值,中位數(shù)Me中位數(shù)所在組：累積頻數(shù)超過n/2的那個(gè)最低組是典型的位置平均數(shù)，不受極端值的影響眾數(shù)Mo數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的觀察值眾數(shù)所在組:頻數(shù)最大的組測度定性數(shù)據(jù)集中趨勢，對于定量數(shù)據(jù)意義不大2、描述離散程度的統(tǒng)計(jì)量名

3、稱公式（原始數(shù)據(jù)）公式（分組數(shù)據(jù)）意義極差RR=最大值-最小值R最高組上限值最低組下限值反映離散程度的最簡單測度值，不能反映中間數(shù)據(jù)的離散性總體方差2反映每個(gè)總體數(shù)據(jù)偏離其總體均值的平均程度，是離散程度的最重要測度值,其中標(biāo)準(zhǔn)差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同的量綱總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差S2反映每個(gè)樣本數(shù)據(jù)偏離其樣本均值的平均程度，是離散程度的最重要測度值,其中標(biāo)準(zhǔn)差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同的量綱樣本標(biāo)準(zhǔn)差S變異系數(shù)CVCV=反映數(shù)據(jù)偏離其均值的相對偏差，是無量綱的相對變異性測度樣本標(biāo)準(zhǔn)誤反映樣本均值偏離總體均值的平均程度，在用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)測度偏差3、描述分布形狀的統(tǒng)計(jì)量名稱公式（原始數(shù)據(jù)）公式（分組數(shù)

4、據(jù)）意義偏度Sk反映數(shù)據(jù)分布的非對稱性Sk=0時(shí)為對稱；Sk0時(shí)為正偏或右偏；Sk0)乘法公式若P(A)0,P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0,P(AB)=P(B)P(A|B)當(dāng)P(A1A2An-1)0時(shí)，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)獨(dú)立事件公式A、B相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)A1,A2,An相互獨(dú)立：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)全概率公式若A1,A2,An為完備事件組*，對事件B逆概率公式（貝葉斯公式）若A1,A2,An為完備事件組*，P(B)0*完備事件組A1,A2,An1.A1

5、,A2,An互不相容且P(Ai)0(i=1,2,n)；2.A1+A2+An=三、綜合例題解析例1從某魚池中取100條魚，做上記號后再放入該魚池中?，F(xiàn)從該池中任意捉來50條魚，發(fā)現(xiàn)其中有兩條有記號，問池內(nèi)大約有多少條魚？解：設(shè)池內(nèi)大約有n條魚，令A(yù)=從池中捉到有記號魚則從池中捉到有記號魚的概率P(A)=由統(tǒng)計(jì)概率的定義知，它近似于捉到有記號魚的頻率fn(A)=，即解之得n=2500，故池內(nèi)大約有2500條魚。例2口袋里有兩個(gè)伍分、三個(gè)貳分和五個(gè)壹分的硬幣，從中任取五個(gè)，求總值超過一角的概率。解一：令A(yù)=總值超過一角，現(xiàn)將從10個(gè)硬幣中任取5個(gè)的每種取法作為每個(gè)基本事件，顯然本例屬于古典概型問題，

6、可利用組合數(shù)來解決。所取5個(gè)硬幣總值超過一角的情形，其幣值由大到小可根據(jù)其中有2個(gè)伍分、有1個(gè)伍分和沒有伍分來考慮。則=0.5。解二：本例也可以先計(jì)算其對立事件=總值不超過一角考察5個(gè)硬幣總值不超過一角的情形，其幣值由小到大先根據(jù)壹分硬幣、貳分硬幣的不同個(gè)數(shù)來計(jì)算其有利情形的組合數(shù)。則=0.5或=0.5例3將n個(gè)人等可能地分配到N（nN）間房中去，試求下列事件的概率：（1）A=某指定的n間房中各有一人；（2）B=恰有n間房，其中各有一人；（3）C=某指定的房中恰有m（mn）個(gè)人。解：把n個(gè)人等可能地分配到N間房中去，由于并沒有限定每一間房中的人數(shù)，故是一可重復(fù)的排列問題，這樣的分法共有Nn種。

7、（1）對事件A，對指定的n間房，第一個(gè)人可分配到該n間房的任一間，有n種分法；第二個(gè)人可分配到余下的n1間房中的任一間，有n1種分法，以此類推，得到A共含有n!個(gè)基本事件，故（2）對事件B，因?yàn)閚間房沒有指定，所以可先在N間房中任意選出n間房（共有種選法），然后對于選出的某n間房，按照上面的分析，可知B共含有n！個(gè)基本事件，從而（3）對于事件C，由于m個(gè)人可從n個(gè)人中任意選出，故有種選法，而其余nm個(gè)人可任意地分配到其余的N1間房中，共有(N1)n-m種分配法，故C中共含有(N1)n-m個(gè)基本事件，因此注意：可歸入上述“分房問題”來處理的古典概型的實(shí)際問題非常多，例如：（1）生日問題：n個(gè)人的

8、生日的可能情形，這時(shí)N=365天（n365）；（2）乘客下車問題：一客車上有n名乘客，它在N個(gè)站上都停，乘客下車的各種可能情形；（3）印刷錯(cuò)誤問題：n個(gè)印刷錯(cuò)誤在一本有N頁的書中的一切可能的分布（n不超過每一頁的字符數(shù)）；（4）放球問題：將n個(gè)球放入N個(gè)盒子的可能情形。值得注意的是，在處理這類問題時(shí)，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能顛倒。例4（1994年考研題）設(shè)A，B為兩事件，且P(A)=p，P(AB)=，求P(B)。解：由于現(xiàn)因?yàn)镻(AB)=，則又P(A)=p，故。注意：事件運(yùn)算的德摩根律及對立事件公式的恰當(dāng)應(yīng)用。例5設(shè)某地區(qū)位于河流甲、乙的交匯處，而任一何流泛濫時(shí)，該地區(qū)即被淹

9、沒。已知某時(shí)期河流甲、乙泛濫的概率分別為0.2和0.3，又當(dāng)河流甲泛濫時(shí)，“引起”河流乙泛濫的概率為0.4，求（1）當(dāng)河流乙泛濫時(shí)，“引起”河流甲泛濫的概率；（2）該時(shí)期內(nèi)該地區(qū)被淹沒的概率。解：令A(yù)=河流甲泛濫，B=河流乙泛濫由題意知P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(B|A)=0.4再由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.20.4=0.08，則（1）所求概率為（2）所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.30.08=0.42。例6設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P(A)。解：由題設(shè)可

10、知因?yàn)锳和B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)，再由題設(shè)可知，又因?yàn)?，即P(AB)=P(BA)，由事件之差公式得則有P(A)=P(B)，從而有故有即。例7（1988年考研題）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0，0.8，0.1和0.1，一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率。解：由于玻璃杯箱總共有三類，分別含0，1，2只殘次品。而售貨員取的那一箱可以是這三類中的任一箱，顧客是在售貨員取的一箱中檢查的，顧

11、客是否買下這一箱是與售貨員取的是哪一類的箱子有關(guān)系的，這類問題的概率計(jì)算一般可用全概率公式解決，第二問是貝葉斯公式也即條件概率問題。首先令A(yù)=顧客買下所查看一箱；B=售貨員取的箱中恰好有i件殘次品，i=0，1，2。顯然，B0，B1，B2構(gòu)成一組完備事件組。且（1）由全概率公式，有（2）由逆概率公式，得注意：本題是典型的全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用。例8（小概率事件原理）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率為，試證明，不論0如何小，只要不斷獨(dú)立重復(fù)地做此試驗(yàn)，事件A遲早會(huì)發(fā)生的概率為1。證：令A(yù)i=第i次試驗(yàn)中事件A發(fā)生,i=1,2,3,由題意知，事件A1,A2,An,相互獨(dú)立且P(Ai)=，i=1,

12、2,3,，則在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率P()=1P()=1當(dāng)n+,即為事件A遲早會(huì)發(fā)生的概率P()=1。四、習(xí)題二解答1考察隨機(jī)試驗(yàn)：“擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”。如果設(shè)i=擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i,i=1,2,6試用i來表示該試驗(yàn)的基本事件、樣本空間和事件A=出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)和事件B=點(diǎn)數(shù)至少是4。解：基本事件：0，1，2，3，4，5，6。樣本空間=0，1，2，3，4，5，6。事件A=1，3，5；B=4，5，6。2用事件A、B、C表示下列各事件：（1）A出現(xiàn)，但B、C不出現(xiàn)；（2）A、B出現(xiàn)，但C不出現(xiàn)；（3）三個(gè)都出現(xiàn)；（4）三個(gè)中至少有一個(gè)出現(xiàn)；（5）三個(gè)中至少有兩個(gè)出現(xiàn)；（6）三個(gè)都

13、不出現(xiàn)；（7）只有一個(gè)出現(xiàn)；（8）不多于一個(gè)出現(xiàn)；（9）不多于兩個(gè)出現(xiàn)。解：（1）（2）（3）（4）或A+B+C或（5）（6）或(A+B+C)或（7）（8）（9）或ABC或3從52張撲克牌中，任取4張，求這四張花色不同的概率。解：現(xiàn)將從52張撲克牌中任取4張的每種取法作為每個(gè)基本事件，其結(jié)果與順序無關(guān)，故可用組合數(shù)來解決該古典概型問題。4在一本標(biāo)準(zhǔn)英語詞典中共有55個(gè)由兩個(gè)不同字母組成的單詞，現(xiàn)從26個(gè)英文字母中任取兩個(gè)字母排成一個(gè)字母對，求它恰是上述字典中單詞的概率。解：現(xiàn)將從26個(gè)英文字母中任取兩個(gè)字母件的每種取法作為每個(gè)基本事件，其結(jié)果與順序有關(guān)，故可用排列數(shù)來解決該古典概型問題。5某產(chǎn)

14、品共20件，其中有4件次品。從中任取3件，求下列事件的概率。（1）3件中恰有2件次品；（2）3件中至少有1件次品；（3）3件全是次品；（4）3件全是正品。解：現(xiàn)將從20件產(chǎn)品中任取3件的每種取法作為每個(gè)基本事件，其結(jié)果與順序無關(guān)，故可用組合數(shù)來解決該古典概型問題。（1）；（2）或；（3）；（4）。6房間里有10個(gè)人，分別佩戴著110號的紀(jì)念章，現(xiàn)等可能地任選三人，記錄其紀(jì)念章號碼，試求：（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率。解：設(shè)A=任選三人中最小號碼為5，B=任選三人中最大號碼為5（1）對事件A，所選的三人只能從510中選取，而且5號必定被選中。；（2）對事件B，所選的三人只能

15、從15中選取，而且5號必定被選中。7某大學(xué)學(xué)生中近視眼學(xué)生占22%，色盲學(xué)生占2%，其中既是近視眼又是色盲的學(xué)生占1%?，F(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽查一人，試求：（1）被抽查的學(xué)生是近視眼或色盲的概率；（2）被抽查的學(xué)生既非近視眼又非色盲的概率。解：設(shè)A=被抽查者是近視眼，B=被抽查者是色盲；由題意知，P(A)=0.22，P(B)=0.02，P(AB)=0.01，則（1）利用加法公式，所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.22+0.020.01=0.23；（2）所求概率為P()=P()=1P(A+B)=10.23=0.77。注意：上述計(jì)算利用了德摩根對偶律、對立事件公式和（1）的結(jié)

16、果。8設(shè)P(A)=0.5，P(B)=0.3且P(AB)=0.l。求：（1）P(A+B)；（2）P(+B)。解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.5+0.30.1=0.7；（2）P(+B)=P()+P(B)P(B)=1P(A)+P(B)P(BA)=1P(A)+P(B)P(B)P(AB)=1P(A)+P(AB)=10.5+0.1=0.6。注意：上述計(jì)算利用了加法公式、差積轉(zhuǎn)換律、對立事件公式和事件之差公式。9假設(shè)接受一批藥品時(shí)，檢驗(yàn)其中一半，若不合格品不超過2，則接收，否則拒收。假設(shè)該批藥品共100件，其中有5件不合格，試求該批藥品被接收的概率。解：設(shè)A=50件抽檢藥品中不合格

17、品不超過1件，據(jù)題意，僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，該批藥品才被接收，故所求概率為。10設(shè)A,B為任意兩個(gè)事件，且P(A)0，P(B)0。證明：（1）若A與B互不相容，則A和B不獨(dú)立；（2）若P(B|A)=P(B|)，則A和B相互獨(dú)立。證明：（1）用反證法。假定A和B獨(dú)立，因?yàn)橐阎狝與B互不相容，則AB=，P(AB)=P()=0故P(A)P(B)=P(AB)=0但由已知條件P(A)0，P(B)0得P(A)P(B)0，由此導(dǎo)出矛盾，所以若A與B互不相容，則A和B不獨(dú)立。（2）由已知P(B|A)=P(B|)，又，則即P(AB)1P(A)=P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)=P(A)P(B)

18、P(A)P(AB)故P(AB)=P(A)P(B)這即A和B相互獨(dú)立。（2）又證：由已知P(B|A)=P(B|)即P(B|A)1P(A)=P(B)P(AB)P(B|A)P(B|A)P(A)=P(B)P(AB)P(B|A)P(AB)=P(B)P(AB)P(B|A)=P(B)這即A和B相互獨(dú)立。11已知P(A)=0.1，P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，求：（1）P(AB)；（2）P(AB)；（3）P(B|A)；（4）P()；（5）P()。解：（1）P(AB)=P(B)P(A|B)=0.30.2=0.06；（2）P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.1+0.30.06=0.34；（3

19、）；（4）P()=P(AB)=P(A)P(AB)=0.10.06=0.04；（5）。12某種動(dòng)物活到12歲的概率為0.8，活到20歲的概率為0.4，問現(xiàn)年12歲的這種動(dòng)物活到20歲的概率為多少？解：設(shè)A=該動(dòng)物活到12歲，B=該動(dòng)物活到20歲；由題意知P(A)=0.8，P(B)=0.4顯然該動(dòng)物“活到20歲”一定要先“活到12歲”，即有BA，且AB=B，則所求概率是條件概率。13甲、乙、丙三人各自獨(dú)立地去破譯一密碼，他們能譯出該密碼的概率分別是1/5，2/3，1/4，求該密碼被破譯的概率。解：設(shè)A=甲譯出該密碼，B=乙譯出該密碼，C=丙譯出該密碼.由題意知，A，B，C相互獨(dú)立，而且P(A)=1

20、/5，P(B)=2/3，P(C)=1/4則密碼被破譯的概率為P(A+B+C)=1=1=0.8或P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=。14有甲乙兩批種籽，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種籽中各任意抽取一粒，求下列事件的概率：（1）兩粒種籽都能發(fā)芽；（2）至少有一粒種籽能發(fā)芽；（3）恰好有一粒種籽能發(fā)芽。解：設(shè)A=甲種籽能發(fā)芽,B=乙種籽能發(fā)芽則由題意知，A與B相互獨(dú)立，且有P(A)=0.8，P(B)=0.7，則所求概率為（1）P(AB

21、)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56；（2）P(A+B)=1P()=1P()=1=10.20.3=0.96；（3）P()=0.80.3+0.20.7=0.38。15設(shè)甲、乙兩城的通訊線路間有n個(gè)相互獨(dú)立的中繼站，每個(gè)中繼站中斷的概率均為p，試求：（1）甲、乙兩城間通訊中斷的概率；（2）若已知p=0.005，問在甲、乙兩城間至多只能設(shè)多少個(gè)中繼站，才能保證兩地間通訊不中斷的概率不小于0.95？解：設(shè)Ak=第k個(gè)中繼站通訊中斷,k=1,2,n，則A1,A2,An相互獨(dú)立，而且有P(Ak)=p,k=1,2,n。（1）所求概率為P(A1+A2+An)=1P()=1P()=1=11(1p)n；（

22、2）設(shè)甲、乙兩城間至多只能設(shè)n個(gè)中繼站，由題意，應(yīng)滿足P()=(1p)n0.95，即(10.005)n0.950.995n0.95nlog0.9950.95=ln0.95/ln0.995=10.233故n=10，即甲、乙兩城間至多只能設(shè)10個(gè)中繼站。16在一定條件下，每發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率是0.6，現(xiàn)有若干門這樣的炮獨(dú)立地同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈，問欲以99%的把握擊中飛機(jī)，至少需要配置多少門這樣的炮？解：設(shè)至少需要配置n門炮。再設(shè)Ak=第k門炮擊中飛機(jī),k=1,2,n，則A1,A2,An相互獨(dú)立，而且有P(Ak)=0.6,k=1,2,n。由題意，應(yīng)有P(A1+A2+An)=1P()=1=110

23、.4n0.99即0.4n0.01，則有nlog0.40.01=ln0.01/ln0.4=5.026故n=6，因此至少需要配置6門炮。17甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只紅球，9只黑球?，F(xiàn)從兩袋中各取一球，求兩球顏色相同的概率。解：設(shè)以A1、A2、A3分別表示從甲袋中任取一球?yàn)榘浊?、紅球、黑球；以B1、B2、B3分別表示從乙袋中任取一球?yàn)榘浊?、紅球、黑球。則所求兩球顏色相同的概率為P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)。18在某地供應(yīng)的某藥品中，甲、乙兩廠的藥品各占65%、35%，且甲、乙兩廠的該藥品合格

24、率分別為90%、80%，現(xiàn)用A1、A2分別表示甲、乙兩廠的藥品，B表示合格品，試求：P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(A1B)和P(B)。解：由題中已知條件可得P(A1)=0.65，P(A2)=0.35，P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.8，P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.650.9=0.585，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.650.9+0.350.8=0.865。19某地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，其所轄的三個(gè)小區(qū)A1，A2，A3的人口比例為974，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在這三個(gè)小區(qū)的發(fā)病率依次為4，2，5，求該地甲種疾

25、病的發(fā)病率。解：設(shè)以A1、A2、A3表示病人分別來自小區(qū)A1、A2、A3，以B表示患甲種疾病。則由題意知P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=0.004，P(B|A2)=0.002，P(B|A3)=0.005，則該地甲種疾病的發(fā)病概率為P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=3.5。20若某地成年人中肥胖者（A1）占有10，中等者（A2）占82，瘦小者（A3）占8，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為20，10，5。（1）求該地成年人患高血壓的概率；（2）若知某人患高血壓病，他最可能屬于哪種體型？解：設(shè)B=該地成年人

26、患高血壓，則由題意知P(A1)=0.10，P(A2)=0.82，P(A3)=0.08，P(B|A1)=0.20，P(B|A2)=0.10，P(B|A3)=0.05，（1）該地成年人患高血壓的概率為P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.106；（2）若已知某人患高血壓病，他屬于肥胖者（A1）、中等者（A2）、瘦小者（A3）體型的概率分別為P(A1|B)=P(A2|B)=P(A3|B)=因?yàn)镻(A2|B)P(A1|B)P(A3|B)故若知某人患高血壓病，他最可能屬于中等體型。21三個(gè)射手向一敵機(jī)射擊，射中概率分別為0.4，0.6和0.7。若一人

27、射中，敵機(jī)被擊落的概率為0.2；若兩人射中，敵機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人射中，則敵機(jī)必被擊落。（1）求敵機(jī)被擊落的概率；（2）已知敵機(jī)被擊落，求該機(jī)是三人擊中的概率。解：設(shè)A1、A2、A3分別表示第一個(gè)射手、第二個(gè)射手、第三個(gè)射手射中敵機(jī)；B0、B1、B2、B3分別表示無人射中、一人射中、兩人射中、三人射中敵機(jī)；C表示敵機(jī)被擊落。則A1、A2、A3相互獨(dú)立，且由題意可得P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，P(A3)=0.7P(B0)=P()=P()P()P()=0.60.40.3=0.072P(B1)=P()=0.40.40.3+0.60.60.3+0.60.40.7=0.324P(B

28、2)=P()=0.40.60.3+0.60.60.7+0.40.40.7=0.436P(B3)=P()=P(A1)P(A2)P(A3)=0.40.60.7=0.168P(C|B0)=0，P(C|B1)=0.2，P(C|B2)=0.6，P(C|B3)=1（1）敵機(jī)被擊落的概率為P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=00.072+0.20.324+0.60.436+10.168=0.4944；（2）所求概率為P(B3|C)=。五、思考與練習(xí)（一）填充題1若P(A)=0.3，P(B)=0.6，則（1）若A和B獨(dú)立，則P(A+

29、B)=，P(BA)=；（2）若A和B互不相容，則P(A+B)=，P(BA)=；（3）若AB，則P(A+B)=，P(BA)=。2.如果A與B相互獨(dú)立，且P(A)=P(B)=0.7，則P()=。3在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A至少出現(xiàn)1次的概率為，則在每次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率是。（二）選擇題1.下列說法正確的是（）A.任一事件的概率總在(0,1)之內(nèi)B.不可能事件的概率不一定為0C.必然事件的概率一定為1D.以上均不對。2以A表示事件“甲種藥品暢銷，乙種藥品滯銷”，則其A的對立事件為（）A.甲，乙兩種藥品均暢銷B.甲種藥品滯銷，乙種藥品暢銷C.甲種藥品滯銷”D.甲種藥品滯銷或乙種藥品暢銷3.有10

30、0張從1到100號的卡片，從中任取一張，取到卡號是7的倍數(shù)的概率為（）A.B.C.D.4.設(shè)A和B互不相容,且P(A)0，P(B)0，則下列結(jié)論正確的是（）A.P(B|A)0B.P(A)=P(A|B)C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)（三）計(jì)算題1設(shè)=1，2，3，4，5，6，7，A=2，3，4，B=3，4，5。試求下列事件:（1）；（2）+B。2某城市的電話號話由0，1，2，9這10個(gè)數(shù)字中任意8個(gè)數(shù)字組成，試求下列電話號碼出現(xiàn)的概率：（1）數(shù)字各不相同的電話號碼（事件A）；（2）不含2和7的電話號碼（事件B）；（3）5恰好出現(xiàn)兩次的電話號碼（事件C）。3一部五卷的文集，按任

31、意次序放到書架上去，試求下列事件的概率：（1）第一卷出現(xiàn)在兩邊；（2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在兩邊；（3）第一卷或第五卷出現(xiàn)在兩邊；（4）第三卷正好在正中。4電路由電池A與兩個(gè)并聯(lián)的電池B、C串聯(lián)而成，設(shè)電池A、B、C是否損壞相互獨(dú)立，且它們損壞的概率依次為0.3，0.2，0.2，求電路發(fā)生間斷的概率。5.設(shè)一醫(yī)院藥房中的某種藥品是由三個(gè)不同的藥廠生產(chǎn)的，其中一廠、二廠、三廠生產(chǎn)的藥品分別占1/4、1/4、1/2。已知一廠、二廠、三廠生產(chǎn)藥品的次品率分別是7%，5%，4%。現(xiàn)從中任取一藥品，試求（1）該藥品是次品的概率；（2）若已知任取的藥品是次品，求該次品是由三廠生產(chǎn)的概率。6盒中放有12個(gè)乒乓

32、球，其中有9個(gè)球是新球。第一次比賽從盤中任取3個(gè)來用，比賽后仍放回盒中；第二次比賽時(shí)又從盒中任取3個(gè)。（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。六、思考與練習(xí)參考答案（一）填充題1.（1）0.72，0.42；（2）0.9，0.6；（3）0.6，0.32.0.093.（二）選擇題1.C；2.D；3.A；4.C（三）計(jì)算題1.=1,5，6,7，=1,2，6,7，則（1）=1,6,7；（2）+B=1，3，4，5，6，72（1）（2）（3）3.（1）=0.4；（2）=0.1；（3）=0.7；或=0.7；或=0.7（4）=0.24已知P()=

33、0.3，P()=0.2，P()=0.2且A、B、C相互獨(dú)立則所求概率P()=P()+P()P()=P()+P()P()P()P()P()=0.3+0.20.20.30.20.2=0.3285.令A(yù)=該藥品是次品；Bk=藥品是由k廠生產(chǎn)的，k=1，2，3。由題意知P(B1)=0.25,P(B2)=0.25，P(B3)=0.5，P(A|B1)=0.07，P(A|B2)=0.05，P(A|B3)=0.04，（1）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.070.25+0.050.25+0.040.50=0.05（2）6令A(yù)k=第一次比賽任取3球中有k

34、個(gè)新球，k=0，1，2，3；B=第二次取出的球都是新球。由題意得P(Ak)=，P(B|Ak)=，k=0，1，2，3。（1）（2）=0.238第三章隨機(jī)變量及其分布學(xué)習(xí)目的和要求1.理解隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念；2.熟練掌握離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)；熟練掌握常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)及其性質(zhì)；熟練掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等的性質(zhì)及概率計(jì)算；5.了解隨機(jī)變量函數(shù)的分布；6.了解隨機(jī)向量及分布函數(shù)的概念、性質(zhì)；7.掌握離散型隨機(jī)向量和連續(xù)型隨機(jī)向量及其分布；8.掌握二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征；9.了解契比曉雪夫不等式和大數(shù)定律及其意義；10.掌握中心極限定理及其應(yīng)用

35、；11.了解用Excel計(jì)算二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等常用分布的概率。二、內(nèi)容提要（一）隨機(jī)變量及常用分布1.離散型隨機(jī)變量及常用分布名稱定義性質(zhì)或背景備注分布律PX=xk=pk，k=1,2,或Xx1x2xkPp1p2pk1.pk0，k=1,2,2.0-1分布PX=1=p,PX=0=q，或X01Pqp二項(xiàng)分布n=1的特例：B(1,p)(一重貝努里試驗(yàn))EX=pD(X)=pq二項(xiàng)分布B(n,p)PX=k=，k=0,1,nX為n重貝努里試驗(yàn)中A事件發(fā)生的次數(shù)EX=npD(X)=npq泊松分布P()PX=k=，k0,1,2,0是常數(shù)二項(xiàng)分布泊松近似公式(np)(n很大，p較小)EX=D(X)=超

36、幾何分布PX=k=k=1,2,min(M,n)無放回產(chǎn)品抽樣試驗(yàn)當(dāng)N+時(shí)，時(shí)，EX=2.連續(xù)型隨機(jī)變量及常用分布名稱定義性質(zhì)或背景備注密度函數(shù)f(x)對任意ab有PaXb=1.f(x)02.3.對任意常數(shù)a，有PX=a=0等價(jià)定義：對X的分布函數(shù)有F(x)=,x+正態(tài)分布N(,2)f(x)=x+PaXb=E(X)=D(X)=2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)(x)=x0為常數(shù)E(X)=1/D(X)=1/2均勻分布Ua，b直線上幾何概率模型的分布描述E(X)=(a+b)/2D(X)=(b-a)2/12對數(shù)正態(tài)分布LN()f(x)=若X服從對數(shù)正態(tài)分布LN()，則lnXN()韋布爾分布W(m,)f(x)=

37、m=1且=0時(shí)為指數(shù)分布；m=3.5時(shí)近似于正態(tài)分布分布函數(shù)為F(x)=，(x)3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)類型定義性質(zhì)備注通用定義F(x)PXx，x+0F(x)1;F()=0,F(+)=13.F(x)對x單調(diào)不減4.F(x)為右連續(xù)PaXb=F(b)F(a)離散型XF(x)=,x+連續(xù)型XF(x)=,x+f(x)=F(x)Pa30)時(shí),有三、綜合例題解析例1（1991年考研題）一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口。每個(gè)信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號顯示的時(shí)間相等。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個(gè)數(shù)，求X的概率分布。解：首先，由題設(shè)可知，X的可能值

38、為0，1，2，3。現(xiàn)設(shè)Ai=汽車在第i個(gè)路口首次遇到紅燈，i=1，2，3,則事件A1，A2，A3相互獨(dú)立，且（i=1，2，3），故有PX=0=P(A1)=，所以，X的分布律為X0123P注意：利用性質(zhì)：，可檢查離散型概率分布律的正確與否。同時(shí)，若X的某個(gè)取值x0的概率較難計(jì)算，而其他所有取值的概率已算出時(shí)，則也可以利用上述性質(zhì)得到：。比如本例中：。例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求：（1）常數(shù)A、B；（2）概率密度函數(shù)f(x)。解：（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)F(+)=1得F(+)=，再由分布函數(shù)的連續(xù)性知其右極限F(0+0)=F(0),即F(0+0)=聯(lián)立上述兩式，解之得：A=1,B=1。則分布

39、函數(shù)為（2）所求密度函數(shù)為。例3（1989年考研題）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間1，6上服從均勻分布，求方程x2+x+1=0有實(shí)根的概率。解：易知方程x2+x+1=0有實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)=240，即|2。故所求問題轉(zhuǎn)化為：已知U1，6，求P|2?，F(xiàn)因在1，6上服從均勻分布，則的概率密度為方程x2+x+1=0有實(shí)根的充要條件是=240，即|2，故。例4已知XN(2,2)，P2X4=0.3，求PX0。解：由于XN(2,2)，故由于，可知,故。注意：在正態(tài)分布的概率計(jì)算中，首先要將它標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化為利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的公式求解即可。例5（1989年考研題）設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，且X服從均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，而Y服

40、從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量Z=2XY+3的概率密度函數(shù)。解：由于X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，所以Z作為X，Y的線性組合也服從正態(tài)分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可確定Z的概率密度函數(shù)了。由題設(shè)知，XN（1，2），YN（0，1）。則由期望和方差的性質(zhì)得E(Z)=E(2XY+3)=2E(X)E(Y)+3=5，D(Z)=D(2XY+3)=22D(X)+D(Y)=9.又因X，Y是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，Z是X，Y的線性函數(shù)，故Z也為正態(tài)隨機(jī)變量，即ZN(,2)，且=E(Z)=5,2=D(Z)=9。則Z的概率密度為。注意：本題主要考察的性質(zhì)是：一是獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布；二是正態(tài)分布

41、N(,2)完全由其期望和方差2決定。例6已知隨機(jī)變量X的概率分布律為PX=k=1/2k，k=1，2，試求的概率分布律。解：對隨機(jī)變量，當(dāng)X取1,2,n,時(shí)，Y的取值為1,0,1,0,即X123456710-1010-1P則只以1，0，1為其取值，其取值概率為PY=1=PX=3+PX=7+PX=11+；PY=0=PX=2+PX=4+PX=6+；PY=1=PX=1+PX=5+PX=9+（或PY=1=1PX=1PX=0=）故Y的分布律為Y-101P例7設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY-1011/41/421/6a求：（1）常數(shù)a；（2）聯(lián)合分布函數(shù)在點(diǎn)（）處的值F（）。解：（1）由聯(lián)合分布律的性質(zhì)知求

42、得。（2）（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)（）處的值應(yīng)為。注：求聯(lián)合分布函數(shù)F(x，y)的值時(shí)，只需把取值滿足xix，yjy的點(diǎn)（xi，yj）的概率pij找出來，然后求和就可以了。例8設(shè)，則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是=0。證：（充分性）由于，則其X與Y的邊緣密度分別為當(dāng)=0時(shí)，有故X與Y相互獨(dú)立。（必要性）若已知X與Y相互獨(dú)立，則對任意x，y，有特別地，取，上式變?yōu)?，從而?0。例9（2001年考研題）一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的

43、概率大于0.977。（(2)=0.977，其中(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）。解：設(shè)Xi是汽車裝運(yùn)的第i箱的重量（千克），n為最多可以裝的箱數(shù)，則X1,X2,Xn可視為n個(gè)相互獨(dú)立而且服從同分布的隨機(jī)變量，再設(shè)X為n箱的總重量，則有，且而由列維-林德貝格中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(n,n2)。則所求箱數(shù)n決定于條件因(2)=0.977，則有解之得n98.02,即最多可以裝98箱。例10設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率都是0.7。（1）設(shè)X表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，用中心極限定理計(jì)算P650X750；（2）要使在n次試驗(yàn)中，A發(fā)生的頻率在0.68與0.72之間的

44、概率至少為0.9，問至少要做的試驗(yàn)次數(shù)n為多少？解（1）因XB(1000，0.7)，由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理得（2）X為n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，因此，n次試驗(yàn)中，A發(fā)生的頻率為，其中XB(n，0.7)，E(X)=0.7n，D(X)=0.21n，依題意，n應(yīng)使即由于(1.65)=0.95，所以，n應(yīng)使，即因此，至少要做1430次試驗(yàn)。注意：運(yùn)用德莫弗-拉普拉斯定理計(jì)算概率近似值時(shí)，其關(guān)鍵是：“標(biāo)準(zhǔn)化”和“正態(tài)近似”，n越大所得的近似值越精確。注：（1）若XB(n,p)，則，其中Xi相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為p的0-1分布；（2）二項(xiàng)分布概率的計(jì)算，可總結(jié)為下述三種方法；方法一：XB(n

45、,p)，且不太大（n20）時(shí)，直接計(jì)算。方法二：當(dāng)n較大，且p較小（n20，p0.1）時(shí)，由泊松定理，可近似計(jì)算：方法三：當(dāng)n較大，而p不太小時(shí)，用中心極限定理作正態(tài)近似計(jì)算例11一復(fù)雜系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組面，每個(gè)部件的可靠性（即部件正常工作的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作。問：（1）n至少為多大時(shí)，才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95？（2）若該系統(tǒng)由85個(gè)部件組成，則該系統(tǒng)的可靠性是多少？解：令X=n個(gè)部件中正常工作的部件數(shù)，則XB(n,0.9)。由題意應(yīng)求出n，使得則，n24.206。故n至少為25時(shí)，才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。（2）所求

46、可靠性為。四、習(xí)題三解答1.下面兩表是否可作為離散型隨機(jī)變量的分布列？為什么？X102X012P0.50.90.6P0.60.10.15解：對表1，因?yàn)镻X=1=0.50，所以不可作為離散型隨機(jī)變量的分布列。對表2，因?yàn)?，所以不可作為離散型隨機(jī)變量的分布列。2一盒中有五枚紀(jì)念章，編號為1，2，3，4，5，從中任取3枚，用X表示取出的紀(jì)念章的最大號碼，求X的分布律。解：由題意知：X的取值為3，4，5，PX=3=，PX=4=，PX=5=故X的分布律為X012P0.10.30.6或X的分布律為PX=k=,k=3,4,5。3進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為3/4，失敗的概率為1/4，以X表示直到試驗(yàn)成功所需

47、試驗(yàn)的次數(shù)，（1）試寫出X的概率分布；（2）求X取偶數(shù)的概率。解：（1）X的概率分布律為，k=1,2,（2）X取偶數(shù)的概率PX=偶數(shù)=PX=2+PX=4+PX=2k+4設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P0.40.2p30.1求：（l）p3；（2）P0X3；（3）分布函數(shù)F(x)。解：（1）由pk的性質(zhì)知，故p3=10.7=0.3。（2）P0X3=PX=1+PX=2=0.2+0.3=0.5。（3）則當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=0；當(dāng)0 x1時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=PX=0=0.4；當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=PX=0+PX=1=0.4+0.2=0.6；當(dāng)2x3時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=PX=0+P

48、X=1+PX=2=0.4+0.2+0.3=0.9；當(dāng)x3時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=PX=0+PX=1+PX=2+PX=3=1。故X的分布函數(shù)為5設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X-202P0.40.30.3試求：E(X)，E(X2)，E(3X+5)，D(X)，D(3X+5)。解：E(X)=；E(X2)=；E(3X+5)=3E(X)+5=3(0.2)+5=4.4；D(X)=E(X2)E(X)2=2.8(0.2)2=2.80.04=2.76；D(3X+5)=9D(X)=92.76=24.84。6甲、乙兩批原料，過篩后得知顆粒分布如下：粒度百分比(%)甲乙18052020015202206020240152026

49、0520平均說來，哪一批顆粒較粗？哪一批顆粒均勻性較差？解：令X、Y分別為甲、乙兩批原料的顆粒粒度，則E(X)=E(Y)=因?yàn)镋(X)=E(Y)，故甲、乙兩批原料的顆粒一樣粗。=280=800因?yàn)镈(X)D(Y)，故乙批原料的顆粒均勻性較差。7設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布P(X=k)=,k=1,2,N試確定常數(shù)a，共計(jì)算E(X)及D(X)。解：因，故a=1。E(X)=；E(X2)=D(X)=E(X2)E(X)2=8設(shè)X服從的概率分布為：PX=k=pqk-1，（k=1，2，）,其中0p1,q=1p是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布g(p)。試求E(X)。解一：E(X)=，(0q1)又qE(X)=則E

50、(X)qE(X)=p(1+q+q2+)=p=p=1;故E(X)=。解二：現(xiàn)求級數(shù)的和。由于(0q1)對此級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得因此從而。9.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求：（1）常數(shù)C；（2）X落在（0.3，0.7）內(nèi)的概率；（3）分布函數(shù)F(x)；（4）E(X)。解：（1）,故C=2。（2）（3）當(dāng)x0時(shí)，；當(dāng)0 x1時(shí)，；當(dāng)x1時(shí)，。即X的分布函數(shù)為（4）。10設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求：（1）PX4，PX1；（2）概率密度函數(shù)f(x)。解：（1）PX4=F(4)=1e-4，PX1=1PX1=1F(1)=1(1e-1)=e-1（2）11設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求（1）分布函數(shù)F(x);（2）數(shù)

51、學(xué)期望E(X)。解：（1）當(dāng)x0時(shí)，；當(dāng)0 x1時(shí)，；當(dāng)1x2時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，。即X的分布函數(shù)為（2）。12設(shè)隨機(jī)變量X在（0，5）上服從均勻分布，求方程4t2+4Xt+(X+2)=0中，t有實(shí)根的概率。解：隨機(jī)變量X服從的均勻分布為為使方程4t2+4Xt+(X+2)=0中的t有實(shí)根的充要條件是=(4X)244(X+2)=16X216X320,即X2X20則所求概率為PX2X20=P(X2)(X+1)0=PX2且X1+PX2且X1=PX2+PX1=+0=。13某車間有20臺車床獨(dú)立工作，每臺車床開車時(shí)間占總工作時(shí)間的0.3，又開車時(shí)每臺車床需用電力是1單位，問：(1)車間需要電力的最可能值是多少

52、單位？（2）若供給車間9單位電力，則因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率等于多少？（3）供給車間至少多少單位電力，才能使因電力不足而耽誤生產(chǎn)概率小于1？解：設(shè)X為20臺車床中開車的車床數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B(20,0.3)。（1）因?yàn)?n+1)p=210.3=6.3非整數(shù)，故對6.3取整得6.3=6，即車間需要電力的最可能值是6單位電力。（2）所求概率為(查附表2)PX9=PX10=（3）設(shè)供給車間m單位電力,則電力不足的概率為PXm=PXm+1=對n=20,p=0.3,查附表2得m+1=12,故m=11，即至少供給車間11單位電力。14.設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(2，p)，Y服從二項(xiàng)分布B(3，p),若已知

53、PX1=5/9,試求PY1的值。解：因X服從二項(xiàng)分布B(2，p)，又PX1=1PX=0=1(1p)2=則(1p)2=1=，1p=，故p=。又因?yàn)閅服從二項(xiàng)分布B(3，p),即B(3，)，故PY1=1PY=0=1(1p)3=1=。15某地胃癌的發(fā)病率為0.01，現(xiàn)普查5萬人，試求（1）沒有胃癌患者的概率；（2）胃癌患者少于5人的概率。解：設(shè)X為胃癌患者人數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B(50000，0.0001)。因?yàn)閚=50000很大，而p=0.0001非常小，=np=500000.0001=5，故可利用泊松近似公式進(jìn)行計(jì)算。(1)所求概率為PX=0=0.999950000=e-5=0.00674所求概

54、率為PX10=PX11=。17.設(shè)XN(5,22)，查表計(jì)算概率：（1）P4X7；（2）P|X|1。解：（1）P4X1=1P|X|1=1P1X1=1=1(2)(3)=11(2)1+(3)=1+(2)(3)=1+0.97730.9987=0.978618將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在d，則液體溫度X是一個(gè)隨機(jī)變量，且XN(d，0.52)。（1）若d=90，求X89的概率；（2）若要保持液體溫度至少為80的概率不小于0.99，問d至少為多少？解：（1）因XN(90,0.52),則PX89=(2)=1(2)=10.9773=0.0227（2）依題意應(yīng)有PX800.99，即PX

55、80=1PX80=10.99，則0.99，查表得，故d80+0.52.33=81.165。19某工廠生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)=10.05,=0.06的正態(tài)分布，如果規(guī)定長度在10.050.12內(nèi)為合格品，求任取一螺栓為不合格品的概率。解：螺栓為合格品的概率P10.050.12X10.05+0.12=(2)(2)=2(2)1=20.97731=0.9546則螺栓為不合格品的概率P=10.9546=0.0454。20.設(shè)XN(,2)，若P|X|C=0.5，則稱C為X的可能偏差，問C/等于多少？解：因XN(,2)，則P|X|C=PCXC=P(CX+C)=,則，故。21設(shè)隨機(jī)變量XN(60，32

56、)，求分位數(shù)x1，x2，使X分別落在區(qū)間(，x1)，（x1，x2），（x2，+）內(nèi)的概率之比為345。解：設(shè)X落在(，x1)，(x1，x2)，(x2，+)內(nèi)的概率分別是p1、p2和p3，由題意p1+p2+p3=1，且p1:p2:p3=3:4:5由此計(jì)算得p1=，p2，p3=則PXx2=1PXx2=1,則，故x2=60+30.21=60.63。因此所求分位數(shù)是x1=57.96，x2=60.63。22設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，試求：（1）Y1=2X；（2）Y2=e-2X的數(shù)學(xué)期望。解：（1）。（2）。23已知隨機(jī)變量X的概率分布為X20.500.54P1/81/41/81/61/3試求下列隨機(jī)變量

57、的分布律：（1）2X+1；（2）X2；（3）。解：X20.500.542X+130129X240.2500.2516000P1/81/41/81/61/3（1）則2X+1的分布律為2X+130129P1/81/41/81/61/3（2）則X2的分布律為X200.25416P1/85/121/81/3（3）則的分布律為0P1/47/121/624設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求Y=2X的密度。解一：當(dāng)X的取值為(0,1)時(shí)，函數(shù)y=2x在(0,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，其取值為(0,2)。當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=PYy=0，則；當(dāng)0y0，則y=2x為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其取值范圍是（0，2），故可利用定理公式法。

58、由y=2x得其反函數(shù)為，故Y的密度為25已知球體直徑X在（a，b）內(nèi)服從均勻分布，其中0ab，試求：（1）球體積Y的概率密度；（2）P0YC的值（0C）。解：球體直徑X服從的均勻分布為（1）球體積為Y=，顯然對應(yīng)函數(shù)y=在(a，b)上為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其對應(yīng)取值范圍是（，），故可利用定理公式法。由y=得其反函數(shù)為，故Y的密度為（2）P0YC=P0C=P=26從一只裝有3支蘭筆、2支紅筆、3支綠筆的盒子中，隨機(jī)抽取2支，若X、Y分別表示抽出的蘭筆數(shù)和紅筆數(shù)，試求（X，Y）的聯(lián)合分布律。解：（X，Y）的聯(lián)合分布律為或者XY01201227已知（X，Y）的聯(lián)合概率分布為XY12312試問：a,b為

59、何值時(shí)X,Y相互獨(dú)立？解：由性質(zhì)得；又若X,Y相互獨(dú)立，應(yīng)有，即聯(lián)立上列兩式，解之得：。28.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為：試求：（1）常數(shù)A；（2）邊緣密度；（3）X與Y是否相互獨(dú)立？解：（1）因故A=4。（2）X的邊緣密度為Y的邊緣密度為（3）由（2）解得的邊緣密度可得故X與Y相互獨(dú)立。29設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）服從正態(tài)分布，并且已知E(X)=0，E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，Cov(X,Y)=16，求（X,Y）的概率密度f(x,y)。解：因隨機(jī)向量（X，Y）服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合分布密度為又已知E(X)=0，E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，Cov(X,Y)=16，

60、則1=0,2=0,，=故所求密度為30已知D(X)=25，D(Y)=36，XY=0.4，試求D(X+Y)和D(XY）。解：因?yàn)閄Y=，又已知D(X)=25，D(Y)=36，XY=0.4。則故31.設(shè)隨機(jī)變量X的E(X)=12，D(X)=9，用切比雪夫不等式估計(jì)P6X18的概率下限。解：由切比雪夫不等式得P6X18=P6X126=P|X12|6=P|XE(X)|6故P6X18的概率下限為0.75。32某炮群對空中目標(biāo)進(jìn)行80次射擊中，每次炮彈命中顆數(shù)的目標(biāo)期望值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2。求當(dāng)射擊80次時(shí)，命中目標(biāo)的炮彈總顆數(shù)在130顆到190顆范圍內(nèi)的概率近似值。解：設(shè)第i次射擊炮彈命中顆數(shù)為Xi,