《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》第四章不定積分課件

1、4.1 不定積分的概念與性質(zhì)4.2 不定積分的換元積分法4.3 不定積分的分部積分法第4章 不定積分結(jié)束第1頁(yè)，共23頁(yè)。 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函數(shù).定義 設(shè)f (x) 在某區(qū)間上有定義，如果對(duì)該區(qū)間的任意點(diǎn)x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx則稱F(x)為 f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).4.1.1 原函數(shù)的概念 例如: ， 是函數(shù) 在 上的原函數(shù). ,sin x是cos x在 上的原函數(shù).4.1 不定積分的概念與性質(zhì)第2頁(yè)，共23頁(yè)。 (2)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一

2、的,且有無(wú)窮多個(gè)注:(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在例如而在 上 是 的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即 加任意常數(shù)都是 的原函數(shù). (3) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).第3頁(yè)，共23頁(yè)。定義2 如果函數(shù)F(x)是f (x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)，那么f (x)的全體原函數(shù)F(x) C(C為任意常數(shù))稱為f (x)在區(qū)間 I 上的不定積分. 記作其中記號(hào) 稱為積分號(hào)，f (x)稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C為積分常數(shù).即2.不定積分的概念第4頁(yè)，共23頁(yè)。例2 求解例1 求解第5頁(yè)，共23頁(yè)。例3 求

3、解第6頁(yè)，共23頁(yè)。3 不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. 特別地，有第7頁(yè)，共23頁(yè)。4.1.2不定積分的基本積分公式第8頁(yè)，共23頁(yè)。第9頁(yè)，共23頁(yè)。例4 計(jì)算下列積分解第10頁(yè)，共23頁(yè)。例5 計(jì)算下列積分解 (1) (2)第11頁(yè)，共23頁(yè)。4.1.3 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面.性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即 第12頁(yè)，共23頁(yè)。例6 求解 注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫(xiě)出一個(gè)任意常數(shù)即可

4、 第13頁(yè)，共23頁(yè)。例7 求解例8 求解第14頁(yè)，共23頁(yè)。解例11 求第15頁(yè)，共23頁(yè)。例12 求解 有些積分在基本積分公式中沒(méi)有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過(guò)對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例912。 第16頁(yè)，共23頁(yè)。解例14.2 換元積分法4.2.1 第一類換元法第17頁(yè)，共23頁(yè)。定理1第18頁(yè)，共23頁(yè)。根據(jù)不定積分的定義，則有 公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分”法 應(yīng)用定理1求不定積分的步驟為 第19頁(yè)，共23頁(yè)。例2 求解第20頁(yè)，共23頁(yè)。設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且定理2那么應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為 第21頁(yè)，共23頁(yè)。由函數(shù)乘積的微分公式移項(xiàng)得對(duì)上