2022年一元二次方程的應(yīng)用教案

1、23 一元二次方程的應(yīng)用（ 1）教案一、教材分析 1、教材位置和作用 本節(jié)課是浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊其次章一元二次方程的內(nèi)容,這是一個理論聯(lián) 系實際的好教材,充分表達(dá)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；之前,同學(xué)已學(xué)習(xí)了一元二次方程的概 念、解法,已初步具有了應(yīng)用波利亞解題表列一元一次方程、二元一次方程組、分式方 程等解應(yīng)用題的才能,本節(jié)課將進(jìn)一步學(xué)習(xí)問題解決的方法與步驟,它是前一部分學(xué)問的應(yīng)用與鞏固,也為今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)等學(xué)問奠定基礎(chǔ)；學(xué)好本節(jié)學(xué)問,可以培育同學(xué)分析問題、 解決問題的才能,2、教學(xué)目標(biāo)規(guī)律思維才能、 信息遷移才能以及數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用才能等；數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以同學(xué)的進(jìn)展為本,培育才能為重,綜上分析及教學(xué)大

2、綱要求,本課時教學(xué)目標(biāo)制定如下：學(xué)問目標(biāo)： 會分析實際應(yīng)用問題中的數(shù)量關(guān)系,次方程解應(yīng)用題；找出等量關(guān)系, 并列一元二才能目標(biāo)： 聯(lián)系實際,經(jīng)受“ 問題情境-建立模型 -求解 -說明與應(yīng)用”的過程, 培育同學(xué)化實際問題為數(shù)學(xué)問題的才能及分析問題、解決 問題的才能 ; 情感目標(biāo)： 結(jié)合實踐與探究, 培育同學(xué)合作互助的精神, 體驗探究成果的喜 悅. 3、教學(xué)重點和難點 由于本節(jié)內(nèi)容涉及的實際應(yīng)用問題都是通過列一元二次方程解決的,所 以確定教學(xué)重點是列一元二次方程解應(yīng)用題；要列出一元二次方程的關(guān)鍵是 找出等量關(guān)系,從實際問題中挖掘出相等關(guān)系需要較強的聯(lián)系實際才能、分 析才能,因此本節(jié)的教學(xué)難點是查找

3、等量關(guān)系列方程,例 2 涉及的是現(xiàn)實生 活中的增長率問題,數(shù)量關(guān)系復(fù)雜,同學(xué)不簡潔懂得,它是教學(xué)的又一難點；二、教學(xué)方法與手段：本節(jié)課利用多媒體幫助教學(xué),擴(kuò)大課堂容量,提高課堂效率；依據(jù)教材 內(nèi)容和同學(xué)的認(rèn)知特點,采納邊分析、邊爭論,層層設(shè)疑、講練結(jié)合的啟示式教學(xué)方法,例題挑選由淺入深,從同學(xué)熟識的實際問題開頭,將實際問題“ 數(shù)學(xué)化” ,建立方程模型,引導(dǎo)同學(xué)自主探究、發(fā)覺、歸納,充分調(diào)動同學(xué) 的積極性和主動性；三、學(xué)法指導(dǎo)：“ 素養(yǎng)訓(xùn)練” 要求同學(xué)由“ 學(xué)會” 轉(zhuǎn)為“ 會學(xué)”,正確的學(xué)法指導(dǎo)是實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的重要手段,依據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點及同學(xué)的心理特點,在學(xué)法 上,極力提倡新課程的自主探究、

4、合作溝通的學(xué)習(xí)方法；通過創(chuàng)設(shè)豐富的實 際背景,使數(shù)學(xué)回到生活,勉勵同學(xué)積極摸索,勇于鉆研,敢于創(chuàng)新,產(chǎn)生 劇烈的求知欲；四、教學(xué)程序：1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問題創(chuàng)設(shè)同學(xué)感愛好的問題情境,潑的環(huán)境下積極摸索,解決問題：使同學(xué)能夠置身于問題情境中,在生動活古時候,一個農(nóng)夫拿者一根竹竿進(jìn)城,可是豎著拿,竹竿比城門高 3 尺,橫著拿,竹竿比城門寬 6 尺,進(jìn)不去,結(jié)果沿著城門的兩個對角斜著拿,剛好進(jìn)去,聰 明的同學(xué),你知道竹竿有多長嗎？為了讓同學(xué)能更清晰地懂得題意,創(chuàng)設(shè)了以下幾個階梯性小問題：設(shè)竹竿為 x 尺,就（ 1）城門高 _尺；（2）城門寬 _尺；（3）城門的高、寬、兩個對角之間的長度滿意什么關(guān)系？

5、通過引例,引導(dǎo)同學(xué)回憶總結(jié)列方程解應(yīng)用題的基本步驟,在新舊學(xué)問之間構(gòu)建橋梁,讓同學(xué)明確應(yīng)用方程、不等式或函數(shù)解決實際應(yīng)用問題時關(guān)鍵是 以下三個步驟：設(shè)元；用字母表示相關(guān)的量；列關(guān)系式2.例練應(yīng)用,解決問題 列一元二次方程解應(yīng)用題在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用,同學(xué)普遍認(rèn)為 列方程解應(yīng)用題難,其緣由之一是題目閱讀量大,數(shù)量多,關(guān)系比較復(fù)雜且 隱藏,所以在教學(xué)時第一應(yīng)讓同學(xué)排除畏難心情,說明題目的一部分是背景 材料,最終的一部分往往和設(shè)元有關(guān),核心部分就是數(shù)量之間的關(guān)系；接著出示例 1：某花圃用花盆培育某種花苗, 經(jīng)過試驗發(fā)覺每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成肯定的關(guān)系. 每盆植入 3 株時 , 平均單株盈利

6、 3 元; 以同樣的栽培條件 , 如每盆增加 1 株, 平均單株盈利就削減 0.5 元 . 要使每盆的盈利達(dá)到 10 元, 每盆應(yīng)當(dāng)植多少株 . 為了讓同學(xué)能比較清晰地懂得題目中的數(shù)量關(guān)系,設(shè)置以下問題：（1）如每盆增加1 株,此時每盆花苗有（3+_）株,平均單株盈利為（3 0.5 _）元（2）如每盆增加2 株,此時每盆花苗有（3+_）株,平均單株盈利為（3 0.5 _）元（3）如每盆增加x 株,此時每盆花苗有（3+_）株,平均單株盈利為（3 0.5 _）元（4）每盆盈利 =_ _ 然后引導(dǎo)同學(xué)完成例 1 為了開闊同學(xué)的思路,遇到問題能舉一反三、觸類旁通,又將例 1 進(jìn)行適當(dāng) 改編,組織同學(xué)以

7、學(xué)習(xí)小組為單位,分組合作、溝通爭論：某花圃用花盆培育某種花苗, 經(jīng)過試驗發(fā)覺每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成肯定的關(guān)系. 每盆植入 3 株時 , 平均單株盈利 3 元; 以同樣的栽培條件 , 如每盆增加 2 株, 平均單株盈利就削減 0.5 元 . 要使每盆的盈利達(dá)到 11 元, 每盆應(yīng)當(dāng)植多少株 . 設(shè)置以下問題：（1）如每盆增加2 株,此時每盆花苗有（3+_）株,平均單株盈利為（30.5 _）元（2）如每盆增加4 株,此時每盆花苗有（3+_）株,平均單株盈利為（30.5 _）元（3）如每盆增加x 株,此時每盆花苗有（3+_）株,平均單株盈利為（30.5 _）元為了準(zhǔn)時鞏固學(xué)問,促使同學(xué)對學(xué)問的懂

8、得,在例 際背景,出示如下練習(xí)：1 的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)變問題的實春節(jié)期間,杭州某旅行社為吸引市民組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅行,推出如下收費標(biāo)準(zhǔn)：假如人數(shù)不超過 25 人,人均旅行費用為 1000 元；假如人數(shù)超過 25 人,每增加 1 人,人均旅行費用降低 20 元,但人均旅行費用不得低于 700 元；某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅行, 共支付給該旅行社旅行費用 游？27000 元,請問該單位這次共有多少員工去旅通過例 1、練習(xí)幾個不同背景卻同一模型的問題學(xué)習(xí),使同學(xué)把握了怎樣列一元二次方程解決生活中這一類問題,學(xué)問結(jié)構(gòu)的形成不是依靠于老師的概括、抽象、灌輸,不是“ 回憶” 老師的解題套路,而是依靠同學(xué)感性熟識

9、的積存,讓同學(xué)自己去分析,從而變“ 學(xué)會” 為“ 會學(xué)”,使同學(xué)真正成為 學(xué)習(xí)的主人,而不是學(xué)問的奴隸；通過對比,同學(xué)對于列方程解應(yīng)用題的一 般步驟中的“ 檢驗” 也有了更深刻的懂得,同時讓同學(xué)感受到學(xué)問源于實踐 又作用于實踐,體驗到了數(shù)學(xué)的價值,同時也突出了課題的重點；沿著數(shù)學(xué)學(xué)問結(jié)構(gòu)的逐步攀升,引導(dǎo)同學(xué)搜尋現(xiàn)實生活中與增長率有關(guān)的問題,并設(shè)置了以下問題,引起同學(xué)的積極思維：1春節(jié)過后,很多服裝都降價處理,一件皮衣原售價2022 元,第一次下降10% ,下降后售價 _元,由于天氣逐步轉(zhuǎn)暖,為了削減庫存,其次次又下降了20% ,此時售價 _ 元；（只需寫出算式）2近幾年,麗水的社會經(jīng)濟(jì)進(jìn)展快速

10、,據(jù)抽樣調(diào)查統(tǒng)計顯示,2022 年城鎮(zhèn)居民可支配收入為 a 元,以后逐年上升,每年增長的百分率約為 8% ,那么2022 年城鎮(zhèn)居民可支配收入為 2022 年城鎮(zhèn)居民可支配收入為 2022 年城鎮(zhèn)居民可支配收入為 , 2022 年城鎮(zhèn)居民可支配收入為_元；_元；_元；_元；經(jīng)過 n 年后城鎮(zhèn)居民可支配收入為 _元；（給出原始量、增長率（降低率） 、變化次數(shù)、后來量之間的關(guān)系,讓同學(xué)自己歸納并給出公式, 只有他們自己發(fā)覺的才是最有用的,悅,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)愛好）也讓同學(xué)體驗勝利的喜3某藥品原售價10 元/盒,經(jīng)兩次降價后為5 元/盒,已知兩次降低的百分率一樣都為x,就可列方程得 _（ 同學(xué)的錯誤可

11、能會是：10（ 12x）=5 ）上述三個問題分別從數(shù)、式、方程三個不同的方面對增長率（降低率）進(jìn) 行了懂得,也使同學(xué)明確了要解決增長率（降低率）問題,必需弄清晰基準(zhǔn),第 二個問題中得出的一般式為高中的后繼學(xué)習(xí)作好預(yù)備；有了上述三個問題作鋪墊, 接著講解例 2,截止到 2022 年 12 月 31 日,我國的上網(wǎng)運算 機總數(shù)為 892 萬臺；截止到 2022 年 12 月 31 日,2083 萬臺 . 我國的上網(wǎng)運算機總數(shù)以達(dá)（1）求 2022 年 12 月 31 日至 2022 年 12 月 31 日我國的上網(wǎng)運算機臺數(shù)的年平均增長率（精 確到 0.1% ）. （2）上網(wǎng)運算機總臺數(shù) 2022

12、 年 12 月 31 日至 2022 年 12 月 31 日的年平均增長率與2022 年 12 月 31 日至 2022 年 12 月 31 日的年平均增長率相比,哪段時間年平均增長率較大？確定例 2 是本節(jié)的一個教學(xué)難點,是由于（1）對題意懂得的困難；需將實際問題數(shù)學(xué)化,這是數(shù)學(xué)建模思想的表達(dá)；（2）信息轉(zhuǎn)化的困難；要將統(tǒng)計圖的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量,這是數(shù)形結(jié)合的思想；（3）關(guān)系式確定的困難；要正確懂得年平均增長率的含義；（4）解方程的困難；本例的方程用直接開平方法解才是最簡便易行的；基于上述緣由,本例采納低起點、小步伐的方法分散難點,問題設(shè)計由易到難,循序漸進(jìn),同學(xué)就比較簡潔懂得,例2（1）設(shè)置以下問題：1如設(shè)年平均增長率為 x,你能用含 x 的代數(shù)式表示 2022 年的臺數(shù)嗎 .2022 年呢？2已知 2022 年的臺數(shù)是多少 . 3據(jù)此 ,你能列出方程嗎 . 例 2（2）讓同學(xué)摸索：1已知哪段時間的年平均增長率 . 2需要求哪個時間段的年平均增長率 . 師生共同完成例 2,進(jìn)一步突出課題重點,深層次激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性；五、設(shè)計說明：列方程解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一大難點,關(guān)鍵是通過問題情境建立模型, 然后在問