2021-2022學(xué)年山東省青島市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年山東省青島市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A2B2CD4A【分析】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是，直接由實(shí)部等于0，虛部不等于0求解的值【詳解】解：由是純虛數(shù)，得，解得故選：A.2在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為（）A三角形B四邊形C五邊形D六邊形B【分析】把截面補(bǔ)形可得利用四點(diǎn)共面可得【詳解】解：如圖，把截面補(bǔ)形為四邊形，連接，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則， 又在正方體中，所以，則四點(diǎn)共面.則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選：B.3已知向量，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取

2、值范圍是（）ABCDD【分析】根據(jù)向量夾角為銳角列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】，由題意得：且，解得：且，故選：D4九章算術(shù)是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個(gè)圓臺(tái)形狀的建筑物，下底面周長為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺(tái)的側(cè)面積（單位：平方丈）為（）ABCDB【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長求得和，代入圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，可得，可得，又由圓臺(tái)的高為1丈，可得圓臺(tái)的母線長為，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：B.5已知，是兩條不重合直線，

3、是兩個(gè)不重合平面，則下列說法正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則C【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即得.【詳解】若，則或，故A錯(cuò)誤；若，則或或與相交，故B錯(cuò)誤；若，則或，又，故，故C正確；若，則，又，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.6在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形C【分析】由正弦定理的邊角關(guān)系得，應(yīng)用三角形內(nèi)角性質(zhì)得，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由正弦定理，結(jié)合題設(shè)知：，,，即，或，又，所以或.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角形內(nèi)角關(guān)系及三角恒等變換判斷三角形的形狀.7直三棱柱AB

4、CA1B1C1中，ABC為等邊三角形， AA1AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）ABCDB【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B8蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球20

5、06年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，且球心在上，則該鞠（球）的表面積為（）ABCDC【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出，進(jìn)而得到，利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積.【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MP，由AC=BC=4，ACBC得：，由，得：，連接CM并延長，交球O于點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)镻C球O的直徑，設(shè)球的半徑為R，則PHCH，則，所以，解得：，球的表面積為.故選：C立體幾何中外接球問題，要畫出具體圖形，找到球心的位置，結(jié)合解三角形等知識(shí)進(jìn)行求出半徑，再求解球的表面積或體積.二、多選題9已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

6、向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則下列說法正確的是（）A若，則或B若，則C若，則D若，則CD【分析】A可以舉出反例；B選項(xiàng)，經(jīng)過復(fù)數(shù)的向量表示下的運(yùn)算得到；C選項(xiàng)，設(shè)，得到，從而得到；D選項(xiàng)，同樣設(shè)出，通過復(fù)數(shù)的向量表示形式下的計(jì)算得到，得到.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，故A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；設(shè)，若，則，化簡(jiǎn)得：，故，所以，C正確；設(shè)，則，若，則，所以，則，D正確.故選：CD10已知空間向量，則下列說法正確的是（）AB向量與向量共線C向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為D向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為ABC【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對(duì)稱、面對(duì)稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)說法正確；B：因?yàn)?/p>

7、，所以向量與向量共線，因此本選項(xiàng)說法正確；C：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為，因此本選項(xiàng)說法正確；D：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為，故選：ABC11已知圓錐的底面半徑為，高為2，為頂點(diǎn)，為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A圓錐的體積為B圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為C圓錐截面面積的最大值為D若圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為BD【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的母線長，體積，側(cè)面展開圖的弧長，軸截面面積，外接球體積，即可得出結(jié)論【詳解

8、】解：因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的母線長，則：對(duì)于A，圓錐的體積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時(shí)，此時(shí)，所以，所以當(dāng)時(shí)，截面的面積最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即圓錐的外接球，設(shè)圓錐外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知：，即，解得，所以外接球的體積故D正確故選：BD.12已知，且的圖象的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的最小距離為，則下列說法正確的是（）AB的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C把圖象向左平移單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱D保持圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的

9、圖象ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)已知有求得，即，應(yīng)用代入法驗(yàn)證對(duì)稱軸、根據(jù)圖象平移寫出平移后的解析式并判斷對(duì)稱性，即可得答案.【詳解】由，而對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的最小距離為，即，可得，所以，可得，A正確；故，則，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；，顯然不關(guān)于軸對(duì)稱，C錯(cuò)誤；橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再左移個(gè)單位則，D正確.故選：ABD三、填空題13歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為_【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式以及復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)所求復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以，因此，復(fù)

10、數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為.14在正方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，則異面直線與所成角的余弦值為_.【分析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為，則有，設(shè)異面直線與所成角為，所以，故答案為.15已知，則_【分析】由已知條件及誘導(dǎo)公式可得，再應(yīng)用二倍角余弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】，由.故16已知中，若，則周長的最大值為_.【分析】先對(duì)已知式子利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，然后利用余弦定理可求出角，再利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求出的最大值，從而可求出三角形周長的最大值【詳解】由正弦定理可得：，.由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解

11、得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長，周長的最大值為.故四、解答題17如圖所示，三棱柱中，是中點(diǎn)(1)用，表示向量；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由(1)；(2)存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量共線向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)；(2)假設(shè)存在點(diǎn)，使，設(shè)，顯然，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋杂校海?，解得，所以?dāng)時(shí)， .18如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，求證：平面平面(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】作出輔助線，得到，從

12、而證明線面平行；（2）先證明與，得到平面，結(jié)合平面，得到平面平面【詳解】(1)連接，與相交于點(diǎn)F，連接MF，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以MF是的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?2)因?yàn)橹比庵舷碌酌鏋檎切?，所以，所以，所以，即，由三線合一可得：，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)樗云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平?9如圖所示，已知是半徑為，中心角為的扇形，為弧上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形是矩形，(1)求矩形的面積的最大值及取得最大值時(shí)的值；(2)在中，其面積，求的周長(1)當(dāng)時(shí)，；(2).【分析】（1）將利用加以表示，并利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用正

13、弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值；（2）由題可得，然后利用余弦定理及三角形面積公式可得，進(jìn)而即得.【詳解】(1)因?yàn)椋?，則，又，所以，所以，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，.(2)，又，即，又，即，即的周長為.20如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)(1)證明：；(2)求點(diǎn)到的距離；(3)求二面角的大小(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）由已知位置關(guān)系推出，即可證明異面直線；（2）由（1）中，得，求解各邊長度，得為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即得點(diǎn)到的距離；（3）利用二面角定義求解即可.【詳解】(1)證明：平面，底面為矩形，又，又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又(2)解：由

14、（1）得：又，即因?yàn)椋?，故即，三角形是邊長為2的正三角形，點(diǎn)到的距離為,則，所以所以點(diǎn)到的距離.(3)解：由（2）知，故取中點(diǎn)M，連接EM，DM.因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，即，故則為二面角的平面角又在中，所以，又所以.即二面角的大小為.21如圖所示，在海島上有一座海拔0.5千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站（觀察站高度忽略不計(jì)），已知在某時(shí)刻觀測(cè)員測(cè)得一輪船在島北偏東方向，俯角為的處，若10分鐘后，又測(cè)得該船在海島北偏西方向，俯角為的處(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)若又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的處，問此時(shí)船距島的距離？(1)千米時(shí)(2)千米【分析】（1）先、中確定、的長，進(jìn)

15、而求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以時(shí)間即為船的速度（2）利用銳角三角函數(shù)求出，利用兩角差的正弦公式求得的值，進(jìn)而利用正弦定理求得【詳解】(1)解：（1）在中，在中，在中，則船的航行速度為（千米時(shí)）(2)解：在中，所以，在中，所以由正弦定理得故此時(shí)船距島有千米22如圖所示，長方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，得到圖的四棱錐(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點(diǎn)為，求的長；(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值(1)(2)(3)【分析】（1）作出輔助線，得到當(dāng)平面平面時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（2）作出輔助

16、線，證明出四邊形CNQM為平行四邊形，從而得到；（3）作出輔助線，得到PGD為的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，用含的關(guān)系式表達(dá)出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得到，結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值【詳解】(1)取AM的中點(diǎn)G，連接PG，因?yàn)镻A=PM，則PGAM，當(dāng)平面平面時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)PG平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為(2)取AP中點(diǎn)Q，連接NQ，MQ，則因?yàn)镹為PB中點(diǎn)，所以NQ為PAB的中位線，所以NQAB且，因?yàn)镸為CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，所以CMAB且，所以CMNQ且CM=NQ，故四邊形CNQM為平行四邊形，所以.(3)連接DG，因?yàn)镈A=DM，