薄板的小撓度彎曲問題

1、第十二章薄板的小撓度彎曲問題一 . 內(nèi)容介紹薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件，它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板。 薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問題，由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，因此， 需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度， 可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由基爾霍夫基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，采用位移解法，就是以撓度函數(shù)作為基本未知量求解。因此，首先將薄板的應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力用撓度函數(shù)表達。然后根據(jù)薄板單元體

2、的平衡，建立撓度函數(shù)表達到平衡方程。對于薄板問題，邊界條件的處理與彈性力學(xué)平面等問題有所不同，典型形式有幾何邊界、混合邊界和面力邊界條件。二 . 重點基爾霍夫假設(shè)；薄板的應(yīng)力、廣義力和廣義位移；薄板小撓度彎曲問題的基本方程；薄板的典型邊界條件及其簡化。知識點薄板的基本概念、 薄板的位移與應(yīng)變分量、 薄板廣義力、 薄板小撓度彎曲問題基本方程 、 薄板自由邊界條件的簡化、 薄板的萊維解、 矩形簡支薄板的撓度、 基爾霍夫假設(shè) 、 薄板應(yīng)力 、 廣義位移與薄板的平衡、 薄板的典型邊界條件、 薄板自由邊界角點邊界條件、 撓度函數(shù)的分解薄板的基本概念和基本假設(shè)學(xué)習(xí)要點:本節(jié)討論薄板的基本概念和基本假設(shè)。薄

3、板主要幾何特征是板的中面和厚度。首先，根據(jù)幾何尺寸，定義薄板為 0.5/b 1/80， 并且撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題。對于小撓度薄板，在橫向載荷作用下，將主要產(chǎn)生彎曲變形。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度， 可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析。實踐證明是完全正確的。學(xué)習(xí)思路：薄板基本概念；基爾霍夫假設(shè)；薄板是工程結(jié)構(gòu)

4、中的一種常用構(gòu)件，它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板 。薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問題，由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，因此， 需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。薄板 的上下兩個平行面稱為板面 ，垂直于平行面的柱面稱為板邊 ，如圖所示。兩個平行面之間的距離稱為板厚，用表示。平分板厚的平面稱為板的中面 。設(shè)薄板寬度為a,b， 假如板的最小特征尺寸為b， 如果/b 1/5， 稱為厚板；如果/b 1/80，稱為膜板；如果1/80/b 1/5，稱為薄板。厚板屬于彈性力學(xué)空間問題，而膜板只能承受膜平面內(nèi)部的張力，因此，板的彎曲問題主要是薄板。如果薄板的外

5、載荷作用于板的中面，而且不發(fā)生失穩(wěn)問題時，屬于平面應(yīng)力問題討論。如果外載荷為垂直于板的中面作用的橫向載荷，則板主要變形為彎曲變形。中面在薄板彎曲時變形成為曲面，中面沿垂直方向，即橫向位移稱為撓度 。對于薄板，仍然有相當(dāng)?shù)膹澢鷦偠?，如果撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題；如果超過這個界限，屬于大變形問題。本章只討論薄板的小撓度彎曲問題。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。薄板的

6、小撓度彎曲理論是由三個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。設(shè)中面為xy 平面，則變形前垂直于中面的直線變形后仍然保持直線，而且長度不變。這相當(dāng)于梁的彎曲變形平面假設(shè)，如圖所示。根據(jù)這一假設(shè)，zzxzy0。垂直于中面方向的應(yīng)力分量z, zx， zy遠小于其他應(yīng)力分量，其引起的變形可以不計。但是對于維持平衡是必要的。這相當(dāng)于梁的彎曲無擠壓應(yīng)力假設(shè)。薄板彎曲時，中面各點只有垂直中面的位移w，沒有平行中面的位移，即uz=0=0，vz=0 =0，w=w(x, y)根據(jù)這一假設(shè)，板的中面將沒有變形發(fā)生。板的中面位移函數(shù)w(x, y)稱為 撓度函數(shù)。根據(jù)上述假

7、設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析。實踐證明是完全正確的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w(x, y)。下面的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，用撓度函數(shù)w(x, y)表達薄板內(nèi)部任意一點的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解屬于位移解法。12.2 薄板小撓度彎曲問題的基本方程學(xué)習(xí)要點:根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w( x, y) 。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解采用位移解法。本節(jié)的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，

8、用撓度函數(shù)w( x,y) 表達薄板內(nèi)部任意一點的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。分析中應(yīng)該注意，根據(jù)基本假設(shè)，與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對應(yīng)的應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形是忽略不計的。但是應(yīng)該注意這些應(yīng)力分量對于平衡的影響必須考慮。通過分析可以得到薄板問題的廣義力和對應(yīng)的廣義位移。根據(jù)單元體的平衡， 可以得到關(guān)于廣義力和廣義位移的關(guān)系式。然后將其描述為撓度函數(shù)表達的薄板基本方程。學(xué)習(xí)思路：位移與應(yīng)變分量；應(yīng)力分量 ；廣義力 ；廣義位移與平衡關(guān)系；薄板彎曲小撓度問題的基本方程1 薄板位移和應(yīng)變分量根據(jù)薄板彎曲的第一個假設(shè)，則幾何方程為根據(jù)幾何方程的第

9、3 式，則標無關(guān)，可以應(yīng)用板的中面位移表達板的撓度。根據(jù)幾何方程的對 z 積分，可得，從而w=w(x，y)。薄板厚度方向的位移與5， 6 式，有z坐y）= g（x， y）=0，所以注意到第3 個假設(shè)，uz=0=0,vz=0=0，因此f(x，上述分析將位移分量通過撓度函數(shù)w(x, y)表示。根據(jù)幾何方程可以得到撓度函數(shù)表達上式表明，薄板的彎曲應(yīng)變是沿厚度線性分布的，在板的中面為零，上下板面處達到極值。2薄板的應(yīng)力分量根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，本構(gòu)方程簡化為代入 應(yīng)變表達式，有薄板小撓度彎曲問題的正應(yīng)力xz 和Oxy沿厚度也是線性分布的?；炯僭O(shè)中的zzxzy0，與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對應(yīng)的應(yīng)力

10、分量產(chǎn)生的變形是不計的。應(yīng)該注意的問題是，這些應(yīng)力分量相對于其它應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形可以 TOC o 1-5 h z 不計，但是對于平衡的影響必須考慮。這里必須放棄物理方程中關(guān)于的zzxzy0論，而要求z- ( x+ y) 0；zxzy0。由于不計xz, yz，所以xzyz0，根據(jù)幾何方程，當(dāng)然必須放棄物理方程中關(guān)于的yz的部分，即要xzyz0，而xz, yz又不等于0。對于矩形薄板，采用圖示坐標系。如果從薄板中選取一個微小單元體dxdy，單元體在平面的投影為矩形abcd，單元體上部有橫向載荷qdxdy，底面為自由表面。其中外法線與x軸平行的的側(cè)面有應(yīng)力分量x，xz，xy， 根據(jù) 公式應(yīng)力分量x

11、，xz，xy 均以中面為對稱面而反對稱分布。這些應(yīng)力分量將分別組成合成彎矩M x，扭矩My 和橫向剪力FSx，如圖所示。可以知道，如果用M x，M y 和 F Sx分別單位長度的彎矩，扭矩 和 橫向剪力。則x 軸平行的的側(cè)面，有w(x, y)表示。將應(yīng)力表達式其中上述內(nèi)力 示。與上述廣義力對應(yīng)的廣義應(yīng)變?yōu)闉檎?，而對?yīng)的撓度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)利用廣義應(yīng)變，可以將廣義力表示為代入上述內(nèi)力分量表達式，有Mx，My，Myy和FSx和F Sy稱為廣義力。分別作用于單元體的側(cè)面邊界如圖所x是薄板中面在與Oxz平面平行的平面內(nèi)的曲率，曲率取負號是由于撓曲面凸面向下為負值。kxy稱為中面對于x，y軸的扭率?？?/p>

12、慮 單元體的平衡，則如果討論，即繞 x 軸的力矩力矩之和等于零?？紤]單元體內(nèi)力對于角點的力矩平衡，有整理并且略去高階小量，有根據(jù)，可以得到簡化并且略去高階小量，有將公式代入上式，并且注意到Mxy=Myx，有將撓度函數(shù)w(x, y)代入上式，則或者寫作其中為拉普拉斯算苻的基本方程。公式就是薄板小撓度彎曲問題從而，問題歸結(jié)為在滿足邊界條件的基礎(chǔ)上求解基本方程，確定撓度函數(shù)；然后根據(jù)公式計算廣義力彎矩和扭矩；再根據(jù)公式確定薄板應(yīng)力分量。12.3 薄板邊界條件學(xué)習(xí)要點:薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于薄板基本方程為一個四階偏微分方程，因此對于矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件

13、。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式可以分為幾何邊界條件、面力邊界條件和混合邊界條件。分別對應(yīng)薄板的固定邊界、自由邊界和簡支邊界約束。由于薄板彎曲問題應(yīng)用位移解法，因此，本節(jié)對于不同的邊界約束，推導(dǎo)邊界條件的撓度函數(shù)表達形式。應(yīng)該注意的自由邊界條件，由于自由邊界屬于面力邊界，因此轉(zhuǎn)換為位移邊界條件時并不是完全獨立的，必須作進一步的簡化，特別是兩個自由邊界角點的約束變換。學(xué)習(xí)思路：典型邊界條件形式；自由邊界條件。薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于 方程為一個四階偏微分方程，因此對于矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式為幾何邊界條件。就是在邊界上給

14、定邊界撓度w 和邊界切線方向轉(zhuǎn)角， t為邊界切線方向。面力邊界條件。在邊界給定橫向剪力和彎矩?；旌线吔鐥l件。在邊界同時給出廣義力和廣義位移。以下討論常見的邊界支承形式和對應(yīng)的邊界條件固定邊界對于固定邊界，如圖所示 ，顯然有邊界撓度和轉(zhuǎn)角均為零的幾何條件。因此，在x=0 邊界，有簡支邊界薄板在簡支邊界，不能有撓度，但是可以有微小的轉(zhuǎn)動。因此邊界條件為撓度為零和彎矩為零，屬于混合邊界條件。在x=0邊界，有由于，同時在邊界x=0，有。所以邊界條件可以寫作對于 自由邊界 ，在 x=0 邊界，有上式給出了3 個面力邊界條件，進一步分析可以證明，這 3 個面力邊界條件并不是獨立的。其中扭矩可以用等效剪力來

15、表示。作用在 x=a 邊界上長度為dy的微單元體上的扭矩可以用兩個大小相等，方靜力等效的。根據(jù)圣維南原理，代換的影響僅僅是局部的。因此，代換后，兩個微小單元之間增加一個集度為的剪力。 因此邊界x=a 自由邊界，總的分布剪力為因此，邊界條件可以改寫作應(yīng)該指出，如果相鄰的兩個邊界都是自由邊界，則扭矩用上述剪力等效替代時，在兩個邊界的角點將會出現(xiàn)沒有抵消的集中剪力FSR，如果邊界角點受到支承，這個集中剪力就是支座對于薄板的角點的集中反力，如圖所示。對于懸空的角點，由于邊界角點B 處于自由狀態(tài)，因此有根據(jù) 公式，有如果在角點有支座，而且撓度被阻止發(fā)生，有此時，支座反力可以根據(jù)公式計算。12.4 矩形薄

16、板的經(jīng)典解法學(xué)習(xí)要點:本節(jié)以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。問題求解的方法比較多，本節(jié)介紹分離變量法。這種方法采用無窮級數(shù)形式求解，在一般條件下，級數(shù)的收斂很快。求解的方法是根據(jù)薄板變形，首先將撓度函數(shù)寫作坐標x 和 y 的函數(shù)乘積形式。然后將撓度函數(shù)分解為基本方程的特解和齊次方程解兩部份，分別應(yīng)用邊界條件確定。學(xué)習(xí)思路： TOC o 1-5 h z 邊界條件與撓度函數(shù)形式；撓度函數(shù)的分解；基本方程的齊次解和特解；薄板的撓度和最大撓度。下面以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。設(shè)矩形薄板邊長分別為 a 和 b，受均勻分布橫向載荷q（x， y） 作用， 如圖所示

17、。薄板的邊界條件為薄板彎曲問題求解的方法比較多，以下介紹應(yīng)用最廣泛的分離變量法。這種方法采用無窮級數(shù)形式求解，在一般條件下，級數(shù)的收斂很快。對于直角坐標，最為方便的是萊維(Lvy M ) 解。設(shè)其中Ym( y)是坐標y的函數(shù)。由于 x=0和 x=a為簡支邊界，因此上述撓度函數(shù)是滿足簡支邊界條件的。問題是如何使得撓度函數(shù)的每一項都滿足的邊界條件。由于問題的基本方程是非齊次的偏微分方程，為簡化分析，設(shè)w=w1+w2其中 w1 和 w2分別為基本方程的齊次解和特解。因此由于 w1 為基本方程的齊次解，與載荷無關(guān)，而w1+w2必須滿足全部邊界條件，因此將w1 取為級數(shù)形式。并且考慮其對稱性，應(yīng)該取奇數(shù)，即x 均成立，所以方程的通解形式為由于薄板彎曲關(guān)于x坐標軸是對稱的，所以Ym( y)只能是y的偶函數(shù)。所以Cm=Dm=0因 此由于對稱性條件的應(yīng)用，在的兩個邊界上，原為 4 個邊