隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生和檢驗(yàn)

1、關(guān)于隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與檢驗(yàn)1第一張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 概論1. 意義：由于在統(tǒng)計(jì)學(xué)的不同技術(shù)中需要使用隨機(jī)數(shù)，比如從統(tǒng)計(jì)總體中隨機(jī)抽取樣本時(shí)，或者在將實(shí)驗(yàn)動(dòng)物隨機(jī)分配到不同的試驗(yàn)組的過(guò)程中，或者在進(jìn)行蒙特卡羅模擬法計(jì)算的時(shí)候等等，所以。 2.定義：設(shè)隨機(jī)變量XF(x),則稱隨機(jī)變量X的抽樣序列Xi為分布F(x)的隨機(jī)數(shù)。（一）基本概念和定理2第二張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理定理1.1：設(shè) 是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升的分布函數(shù)，它的反函數(shù)存在，且記為 ，即 2、若隨機(jī)變量 ，則 的分布函數(shù)為 1、若隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，則 3第三張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作

2、于2022年6月證明：設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，所以設(shè) 的分布函數(shù)為 ，則因?yàn)?，對(duì)任意 有 。所以 的分布函數(shù)為 4第四張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理1.1說(shuō)明了任意分布的隨機(jī)數(shù)均可由均勻分布 的隨機(jī)數(shù)變換得到。常簡(jiǎn)稱 的隨機(jī)數(shù)為均勻分布隨機(jī)數(shù)。5第五張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月手工方法：抽簽、擲骰子、搖號(hào)等；隨機(jī)數(shù)表法：占用內(nèi)存大，目前已很少使用；物理方法：放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、宇宙射線的觸發(fā)時(shí)間等等；不能重復(fù)計(jì)算；數(shù)學(xué)方法：使用最廣。（二）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般方法：6第六張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（三）偽隨機(jī)

3、數(shù)偽隨機(jī)數(shù)：在計(jì)算機(jī)上用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)是指按照一定的計(jì)算方法而產(chǎn)生的數(shù)列，它們具有類似于均勻隨機(jī)變量的獨(dú)立抽樣序列的性質(zhì)，這些數(shù)既然是依照確定算法產(chǎn)生的，便不可能是真正的隨機(jī)數(shù)，因此常把用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)。偽隨機(jī)數(shù)不可能真隨機(jī)；需要對(duì)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行各種檢驗(yàn)保證其符合獨(dú)立性條件且分布為要求的分布；7第七張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8第八張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：主要有線性同余法（LCG），組合同余法，反饋位移寄存器方法等 第二節(jié) 均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生9第九張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月同余性質(zhì)：對(duì)稱性：ab(mo

4、d M)，則ba(mod M).傳遞性:若ab(mod M)，bc(mod M)，則ac(mod M). （一）同余與線性同余法10第十張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)4：例如：已知1260(mod 16)，M=16，取C=6，a=2，b=10，因?yàn)?M,C)=2，則有210(mod 8)，其中M/(M,C)=16/2=8。或者，取C=12， M=16，因?yàn)?M,C)=4，則有15(mod 4)，其中M/(M,C)=16/4=4。11第十一張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求余運(yùn)算求余運(yùn)算的式子A(mod M)定義為：其中 表示求 的整數(shù)部分。 12第十二張，PPT共四十

5、二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性同余法（Linear Congruence Generator，LCG）的遞推公式為：13第十三張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性同余法的周期：14第十四張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性同余法產(chǎn)生的序列 一定會(huì)重復(fù)，因?yàn)橹芷谧疃嘀挥蠱個(gè)可能取值。15第十五張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月說(shuō)明：滿周期是T=M時(shí)。16滿周期第十六張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)c0時(shí)，下式稱為混合同余發(fā)生器，當(dāng)c=0時(shí)，稱為乘同余發(fā)生器，此時(shí)當(dāng)模為素?cái)?shù)時(shí)，稱它為素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器。 17補(bǔ)充1：混合同余發(fā)生器與素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器第十七張

6、，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月兩個(gè)常用的混合同余發(fā)生器：18第十八張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月常用的素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器 ：19第十九張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月常用的素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器 ：20第二十張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思想： 先用一個(gè)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)列為基礎(chǔ)，再用另一個(gè)發(fā)生器對(duì)隨機(jī)數(shù)列進(jìn)行重新排列得到的新數(shù)列作為實(shí)際使用的隨機(jī)數(shù)。這種把多個(gè)獨(dú)立的發(fā)生器以某種方式組合在一起作為實(shí)際使用的隨機(jī)數(shù)，希望能夠比任何一個(gè)單獨(dú)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器得到周期長(zhǎng)、統(tǒng)計(jì)性質(zhì)更優(yōu)的隨機(jī)數(shù)，即組合發(fā)生器。 21補(bǔ)充2：組合發(fā)生器 ：第二十一張，PPT共四十

7、二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出的著名的組合發(fā)生器是組合同余發(fā)生器,該算法的具體步驟如下： 22第二十二張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2 .用第二個(gè)LCG產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù) ,要求 ;3. 令 ，然后再用第一個(gè)LCG產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù) ,令 ；置 ;4 .重復(fù)23，得隨機(jī)數(shù)列 ，即為組合同余發(fā)生器產(chǎn)生的數(shù)列。若第一個(gè)LCG的模為 ，令 ，則 為均勻隨機(jī)數(shù)。1.用第一個(gè)LCG產(chǎn)生 個(gè)隨機(jī)數(shù)，一般取 。這 個(gè)隨機(jī)數(shù)被順序地存放在矢量 中。置 ;23步驟：第二十三張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月檢驗(yàn)?zāi)康模簷z驗(yàn)均勻偽隨機(jī)數(shù)符合獨(dú)立同均

8、勻分布；兩種檢驗(yàn)方法統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：對(duì)生成的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)理論檢驗(yàn)：從理論上討論隨機(jī)數(shù)發(fā)生器性質(zhì)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)常用近似正態(tài)統(tǒng)計(jì)量和2統(tǒng)計(jì)量以下檢驗(yàn)方法一般假設(shè)用某發(fā)生器生成了均勻分布偽隨機(jī)數(shù)r1，r2，.，rn，來(lái)檢驗(yàn)這些生成的隨機(jī)數(shù)的各種統(tǒng)計(jì)量。 24第三節(jié) 隨機(jī)數(shù)檢驗(yàn)第二十四張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月251、特征量檢驗(yàn)（參數(shù)檢驗(yàn)） 第二十五張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月26第二十六張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月27注：若卡方值過(guò)大，則拒絕原假設(shè)（即分布不是均勻的）：檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)在（0,1）區(qū)間內(nèi)分布時(shí)均勻的（一）卡方檢驗(yàn)法：第二十七張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作

9、于2022年6月（二） Kolmogorov-Smirnov testK-S檢驗(yàn)是連續(xù)分布的擬合性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與總體的分布函數(shù)間的差異是否顯著。28第二十八張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月29注：R軟件檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)是否服從某一分布時(shí)，可采用這種檢驗(yàn)方法。第二十九張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3、獨(dú)立性檢驗(yàn)：自相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) 30 隨機(jī)數(shù)r1,r2,rn中的前后項(xiàng)是否是統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是否是顯著的。相關(guān)系數(shù)反映了數(shù)據(jù)間的線性相關(guān)程度，若獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)必為0（反之不一定）。 原假設(shè)H0：第三十張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月31第三十一張，PPT共四十二頁(yè)

10、，創(chuàng)作于2022年6月R require sample(1:100, 20)#從1到100中無(wú)重復(fù)抽取20個(gè)數(shù)；runif(n, min=0, max=1)#產(chǎn)生n個(gè)0-1的均勻分布隨機(jī)數(shù)；rnorm (n, mean = 0, sd = 1) #產(chǎn)生n個(gè)以0為均值，1為方差的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)；rexp： The Exponential Distribution (wiki link) (指數(shù)分布，獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔)rf：The F Distribution (wiki link) (F分布，兩個(gè)卡方分布除以各自自由度)rbeta： The Beta Distribution (wik

11、i link)rbinom： The Binomial Distribution (wiki link) (二項(xiàng)分布)rcauchy： The Cauchy Distribution (wiki link) (柯西分布，N階矩都不存在的分布.)rchisq： The (non-central) Chi-Squared Distribution (wiki link) (卡方分布，正態(tài)分布平方的分布)32第三十二張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月rgamma： The Gamma Distribution (wiki link) (伽瑪分布)rpois： The Poisson Dist

12、ribution (wiki link) (泊松分布，單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù))rgeom： The Geometric Distribution (wiki link) (幾何分布，在第n次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)k次才得到第一次成功的機(jī)率)rhyper： The Hypergeometric Distribution (wiki link) (超幾何分布)rlnorm： The Log Normal Distribution (wiki link) (對(duì)數(shù)正態(tài)分布，正態(tài)分布的指數(shù)的分布)rlogis： The Logistic Distribution (wiki link) (邏輯分布)r

13、multinom： The Multinomial Distribution (wiki link) (多變量正態(tài)分布)rnbinom： The Negative Binomial Distribution (wiki link) (負(fù)二項(xiàng)分布)33第三十三張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月R ks.test分布檢驗(yàn)ks.test(data, pnorm, mean(data), sd(data)34第三十四張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月35第三十五張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)檢驗(yàn)Matlab-require%M-file函數(shù)f的定義：判斷概率函數(shù)func

14、tion f=p_judge(A,alpha)% 判別所給數(shù)據(jù)源在置信率為0.05時(shí)的概率分布形式。A=A(:);%數(shù)據(jù)集A的形式為n1。randperm(n)%產(chǎn)生1到n的均勻分布隨機(jī)序列a=normrnd(0,1,1,6)%正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)36第三十六張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月正態(tài)分布mu,sigma=normfit(A);p1=normcdf(A,mu,sigma);H1,s1=kstest(A,A,p1,alpha)n=length(A); if H1=0disp(該數(shù)據(jù)源服從正態(tài)分布。)elsedisp(該數(shù)據(jù)源不服從正態(tài)分布。) end37第三十七張，PPT共四十二頁(yè)

15、，創(chuàng)作于2022年6月Gama分布phat=gamfit(A,alpha);p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2);H2,s2=kstest(A,A,p2,alpha) if H2=0disp(該數(shù)據(jù)源服從分布。)elsedisp(該數(shù)據(jù)源不服從分布。)end38第三十八張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月泊松分布lamda=poissfit(A,alpha);p3=poisscdf(A,lamda);H3,s3=kstest(A,A,p3,alpha)if H3=0disp(該數(shù)據(jù)源服從泊松分布。) elsedisp(該數(shù)據(jù)源不服從泊松分布。) end39第三十九張，PPT共四十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月指數(shù)分布mu=expfit(A,alpha);p4=expcdf(A,mu);H4,s4=kstest(A,A,p4,alpha)if H4=0disp(該數(shù)據(jù)源服從指數(shù)分布。) elsedisp(該數(shù)據(jù)源不服從指數(shù)分布。