數(shù)列-2019年新課標(biāo)全國(guó)卷(1、2、3卷)理科數(shù)學(xué)備考寶典

1、aa14d=24-3i=T0,故選B20佃年新課標(biāo)全國(guó)卷(1、2、3卷)理科數(shù)學(xué)備考寶典10.數(shù)列一、2018年考試大綱二、新課標(biāo)全國(guó)卷命題分析三、典型高考試題講評(píng)20112018年新課標(biāo)全國(guó)(1卷、2卷、3卷)理科數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編一一10.數(shù)列一、考試大綱數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù).等差數(shù)列、等比數(shù)列理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題(4)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系二、

2、新課標(biāo)全國(guó)卷命題分析數(shù)列屬于高考必考考點(diǎn)，一般占10分或12分，即兩道小題或一道大題，其中必有一道小題屬于基礎(chǔ)題，一道中檔偏上題或壓軸題，大題在17題出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題型，高考所占分值較大，在高中教學(xué)中列為重點(diǎn)講解內(nèi)容，也是大部分學(xué)生的難點(diǎn)，主要是平時(shí)教學(xué)題型難度嚴(yán)重偏離高考考試難度，以及研究題型偏離命題方向，希望能引起注意；考試主線非常明晰：(1)等差數(shù)列通向公式an及其前n項(xiàng)和;(2)等比數(shù)列通向公式an及其前n項(xiàng)和Sn；(3)錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和等等.數(shù)列在大學(xué)中有著特殊位置，微積分中的無(wú)窮級(jí)數(shù)，數(shù)論中擴(kuò)展的數(shù)列都有涉獵，數(shù)列還是比較重要的知識(shí)今年沒(méi)有出等比數(shù)列的知識(shí)，

3、是比較不足的地方，望考生從等比數(shù)列和等差數(shù)列兩方面出題，2019年若是在出數(shù)列，有可能出現(xiàn)“錯(cuò)位相減法求和”，因?yàn)榭疾閷W(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題，考查考生的內(nèi)在數(shù)學(xué)涵養(yǎng)。三、典型高考試題講評(píng)題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量例1(2018新課標(biāo)I,理4)記Sn為等差數(shù)列可？的前n項(xiàng)和，若3S-S2S4,a2，則()A.-12B.-10C.10D.12解析：；3SS2S4且Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.二3(3+H)=2a+d+4a+6d即卩3a2d=0，又寫(xiě)a2，仁d=3,【解題技巧】等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及到五個(gè)量，a1,an,d或q,n,Sn，知道其中三個(gè)就可以求另

4、外兩個(gè)，體現(xiàn)方程的思想，在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，使用ai，d或q建立方程是基本方法。題型2等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例2.(2015全國(guó)n,理4)等比數(shù)列何？滿足a=3,a1a3a21，則a3a5a()A.21B.42C.63D.84解析：由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由&a3a21得，a1-a1q2a1q21.又因?yàn)閍3,42222所以qq-6=0.解得q=2或q=-3(舍去)，所以a3a5a6*3*5q=212=42.S為等差數(shù)列;n故選B.【解題技巧】(1)等比數(shù)列中常用的性質(zhì)：qumg；若m+n二s+t，則aman=asat.(2)等差數(shù)列中常用的性質(zhì)：d=am一也；若mn二st，則am

5、a.=a$q.mn(3)在等差數(shù)列中,s為其前n項(xiàng)和，則:數(shù)列Sm,S2m-Sm,Qm-S2m，也是等差數(shù)列;務(wù)二n(&an)二二n(ana.J；S2n=(2n-1)an；若Sn,Tn分別是等差數(shù)列:bn?的前n項(xiàng)和，則S2nT2ndbn題型3證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列例3(2016新課標(biāo)川，理17)已知數(shù)列f的前n項(xiàng)和S=1+入n，其中入工0(1)證明fan是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式;31(2)若S5煌，求解析：(1)：Sn=1an，八=0,-an=0當(dāng)n_2時(shí)，an=ShSn1=1aT-01=込一乜2，即汎TanWan4,:-0,a.廠0,一咒一仁O即-1，即旦，n_2,ani扎一1fan；

6、是等比數(shù)列，公比當(dāng)n=1時(shí)，1即印=1一1幾題型4數(shù)列求通項(xiàng)與數(shù)列求和例4.（2015全國(guó)1理17）Sn為數(shù)列4的前n項(xiàng)和，已知an0,a2-2a4Sn3.1（1）求3的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)0，求數(shù)列也匚的前n項(xiàng)和.anan卅解析（1）由a2-2a4Sn3可得a2+1-2an+1=4Sn+13式式得anan+1an+1-an-2=0又因?yàn)閍n0,所以an+1-an=2.當(dāng)n=1時(shí)，af-2=403，即a：-2aj-3=0，解得印=3或a-1（舍去），所以G是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=2n1.(2)由an=2n1可得bn二1anan12n12n31122n1亠2n3記數(shù)列：bn

7、前n項(xiàng)和為T(mén)n,則人=bjbn=1=n32n332n311.丄一丄=12557792n12n31是否S,n=1【解題技巧】（1）利用S.與an的關(guān)系an二求數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證n二-Sn亠n二2滿足；（2）裂項(xiàng)相消法求和是一種常見(jiàn)的數(shù)列求和方法，將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些拆開(kāi)1n(n1)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，從而達(dá)到求和的目的。常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消的方式有:1人丄匚)：1】(1n1n(nk)knnk(2n-1)(2n1)22n-12n1題型5數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合例5(2014新課標(biāo)H,17)已知數(shù)列an滿足ai=1,an+i=3an+1.(I)證明耳+夕是等比數(shù)列，并求an的

8、通項(xiàng)公式；(n)證明：丄丄1,3.a1a?an2解析：(I)證明：/On3an1，二Ond-an1an12p12=3，又a-i-122312an23是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列23n_1(n)證明：由(I)知an213門(mén)n13n-an-3即an=2221231n4nn(nN*),an3-1331丄丄叮an3n-I(1)nb3，232故:aa：an3S4,q=2，則a（）B.10C.10D.12（2017新課標(biāo)I,4）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4a24,&=48，則an的公差為（）（2017新課標(biāo)I,12）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

9、他們推出了解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是2,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22，依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕那么該款軟件的激活碼是（A.440B.330C.220D.110算法統(tǒng)宗，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座則塔的頂層共有燈（B.3盞（2017新課標(biāo)n,3）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著共燈三百八十是上一層燈數(shù)的2倍，A.1盞中有如下問(wèn)題:7層塔共掛了“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,381盞燈，且相鄰兩層中的下

10、一層燈數(shù)C.5盞D.9盞（2017新課標(biāo)川,等差數(shù)列Sn的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列，則：a前6項(xiàng)的和為（）A.-24B.-3C.（2016新課標(biāo)I,已知等差數(shù)列a*前9項(xiàng)的和為27,a10=8,貝Va100-()A.100B.99C.98D.97（2016新課標(biāo)川,12）定義規(guī)范01數(shù)列01如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k0,a2an=4Sn，3.（i）求訂鳥(niǎo)的通項(xiàng)公式；（n）設(shè)bn，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(2014新課標(biāo)i,17)已知數(shù)列a*的前n項(xiàng)和為Sn,ai=1,a*=0,ana*1=，Sn-1，其中為常數(shù)(i)證明：an2-an=；(n)

11、是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由(2014新課標(biāo)n,17)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(i)證明a,1是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(n)證明：丄-1：-?.2印a?珀2(2011新課標(biāo)l、n,17)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1，3a2=1,a32=9a2a6.(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)0=log3a-log3a2|lllog3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.bn2011年一2018年新課標(biāo)全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編10.數(shù)列（解析版）一、選擇題TOC o 1-5 h z（2018新課標(biāo)I,理4）記Sn為等差數(shù)列G的前n項(xiàng)和，若3S3=S2，S4,a2，

12、則a5（）A.-12B.-10C.10D.12【答案】B解析：幕3S3二S2S4且Sn為等差數(shù)列昂涵前n項(xiàng)和.33a-i3d=2ad4a-i6d，即32d=0，又a1=2,d=-3,.a54d=2=-10,故選B（2017新課標(biāo)I,4）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a24,=48，則內(nèi)的公差為（）A.1B.2C.4D.86x5#a1+7d=24【答案】C解析：a4a5=a!3da424,&=6qd=48，聯(lián)立求得2、6a1+15d=483得21-15d=24,6d=24,/d=4，選C；（2017新課標(biāo)I,12）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他

13、們推出了解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是2,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕那么該款軟件的激活碼是（）A.440B.330C.220D.110【答案】A解析：設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來(lái)兩項(xiàng)為第2組，再接下來(lái)三項(xiàng)為第3組，以此類(lèi)推.n（1+n）nf1+n）設(shè)第n組的項(xiàng)數(shù)為n,則n組的項(xiàng)數(shù)和為，由題，NJ00，令100-n14且n二N*22即N岀現(xiàn)在第13組之后，第n組的和為2n1,

14、1-2n組總共的和為4“2Jn，12nf1+n若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕，則N項(xiàng)的和2k-1應(yīng)與-2-n互為相反數(shù),2即2k-1=2nkN*,n14,k=log2n3,n=29,k=5，則N=29：295二440,故選A;（2017新課標(biāo)n,3）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞TOC o 1-5 h z【答案】B解析：一座7層塔共掛了381盞燈，即Sy=381;相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層

15、燈數(shù)的2倍,a/1qa1（1_2X即q=2，塔的頂層為ai；由等比前n項(xiàng)和=q=1可知：Sy-381，1_q*1-2（2017新課標(biāo)川，9）等差數(shù)列；屛的首項(xiàng)為1，公差不為0若a2,a,a6成等比數(shù)列，項(xiàng)的和為（）A-24B-3C.3D8【答案】A解析：因?yàn)镕為等差數(shù)列，且a2,a3,a6成等比數(shù)列，設(shè)公差為d.貝Uaf=a2a6，即a12d=a1da15d,又因?yàn)?=1，代入上式可得d22d=0又d=0，則d=-2,所以民=6印65d=16-2-24.故選A.22f（2016新課標(biāo)I,3）已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a10=8，則a100=（）A.100B.99C.98D.97甌=8，

16、因此1，且對(duì)任意）【答案】C解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：S9=9印二生全=9a5=27，故a3，而22公差d二也冬才.印。二090d二98故選C.10-5（2016新課標(biāo)川，12）定義規(guī)范01數(shù)列On如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為kW2,a1,a2,，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m=4，則不同的規(guī)范01數(shù)列共有（A.18個(gè)16個(gè)14個(gè)12個(gè)【答案】C解析:（2015新課標(biāo)n.0t11110t111001L，共14個(gè)，故選C.0T111T0l1T01，一J卩T1110*0T111T0gUT01：0T111T01；011T0c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=2Sn為

17、遞減數(shù)列S2n-1為遞增數(shù)列，Sn為遞減數(shù)列an,bn,cn,AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,.右b1Cn+1=邑更，貝V().2B.Sn為遞增數(shù)列D.S2n-1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列【答案】B解析:（2013新課標(biāo)n.3）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，已知S3=a2，10a1,a5=9,則a1=(1A.3【答案】C解析:a5=a1q4=9，即解析:B.81a1=9, HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 11C.-39由S3=a2+10a1，得,a1=1.9D.-19a什a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即2a1q=9a

18、1,解得q2=9.（2012新課標(biāo)I,5）已知an為等比數(shù)列,9497則3|-%【答案】D解析:因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以由已知得a4a?=2a4&7=-8a4，解得a?=4d=4a7=_2所以F；j2二-2a-8或31，因此印a。=q(1q9)=-7,故選擇D.2(2012新課標(biāo)n,5)已知為為等比數(shù)列，a4+a7=2,a5a6=8，則a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7【答案】D解析：a4a7=2,asOjnaqa?_-8,a4,a?_-2或a_2,a4,a1,a4,a7,a10成等比數(shù)列，a1a10=_7.【答案】解析：二、填空題（2018新課標(biāo)I,理14）14.記Sn為數(shù)列a.

19、的前n項(xiàng)和，若=2an1.則S6=【答案】-63解析：n=1時(shí)，Si=2ai1，即ai=2&1，解得ai=_1；當(dāng)na2時(shí)，an=Si-Sn丄=2an：1-2an-1=2爲(wèi)-2an，所以an=2an(n2);.數(shù)列an是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,6(-1)(1-2)1-2-63.n1(2017新課標(biāo)n,15)等差數(shù)列曲的前n項(xiàng)和為s,a3=3,S4=10,則ySka2a3二5a3二3,.a2二2/.an二n,2n【答案】，n：=N解析：tS4=10,a2aai-a4,n+1S.a1-anS.=丄2丄一丄Snnn1nn1=211-2nn1n1n12nz,nNi土n1（2017新課標(biāo)川，1

20、4）設(shè)等比數(shù)列牯滿足a+a2=,a1-a3=3則a4=【答案】-8解析：因?yàn)閍:為等比數(shù)列，設(shè)公比為q.a1a2a1_a3=-1Iaaq=-1二，即1，顯然計(jì),5,得1十3，即2，代入式可得心,所以a4=a1q3=1，i2=-8.（2016新課標(biāo)i,15）設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a3=10,a25，則a1a2.an的最大值為【答案】64解析：由于是等比數(shù)列，設(shè)an二aq,其中d是首項(xiàng)，q是公比.二81.故qra12a1a310a1a1q103，解得：a2a4=5a1qay=517249_百尸當(dāng)心3或4時(shí)，珈吃丿2卜749ann_?21n1八=2，a1a2.&二-乎取到最小值七，此時(shí)27491Ch

21、廠4諏到最大值26.所以a1a2.an的最大值為64.（2015新課標(biāo)n,16）設(shè)Sn是數(shù)列an的前項(xiàng)和，且1【答案】解析：由已知得an*=Snt-q二Sn彳n數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，則Sna1-T,an1=SnSn.1，則Sn=.11Sn，兩邊同時(shí)除以SnSn，得1,故Sn十Sn HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 111-(nT)-n，所以Sn：Snn(2013新課標(biāo)I,14）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn士21、01-，則an的通項(xiàng)公式是an=33【答案】（_2）一，得a21解析：/Snan，332a|afam，即亠=-2,3a

22、nj當(dāng)n支時(shí)，Sn1an是以1為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列，21-a1=Sj=a0,00,a；22a4Sn3.A（I）求1的通項(xiàng)公式；（n）設(shè)bn=,anan卅求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：(I)當(dāng)n=1時(shí)，a22ai=4S3=4ai+3,因?yàn)閍n0，所以a,=3,當(dāng)n._2時(shí)，a；an-a；an=4Sn3-4Sn-3=4an，即(anan)(an-an)=2(anan,因?yàn)閍n0，所以an-a.=2,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，且an=2n，1.1），則數(shù)列bn前n項(xiàng)和為111(n)由(【)知，bn=(-(2n+1)(2n+3)22n+12n+3111111aJHbn=-(-)(MH(235571一，111)=1-2n12n364n6（2014新課標(biāo)I,17）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,=0,ana二5-1，其中為常數(shù).（I）證明：a*2-an=;（n）是否存在，使得a*為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.解析：（I）由題設(shè)anan1=ST,an1an2=Sn1-1，兩式相減an1an2_anan1，由于an-0，所以an.2-an=6分(n)由題設(shè)ai=1,a2-S|-1，可得a=1-1，由(i)知a3_1假設(shè)an為等差