高中數(shù)學 人教版 選修 數(shù)學史選講 四 中國古代數(shù)學家部優(yōu)課件

1、一場跨越一千多年的數(shù)學文化探索之旅 中國古代數(shù)學家 主講人：宜昌市三峽高級中學 楊莉普通高中課程標準試驗教科書 . 數(shù)學選修3-1 劉徽，中國古代數(shù)學理論的奠基人，撰寫了世界數(shù)學經(jīng)典名著九章算術(shù)注.他的主要貢獻有：創(chuàng)造了“割圓術(shù)”，運用樸素的極限思想計算圓面積及圓周率；建立了重差術(shù)；重視邏輯推理，同時又注意幾何直觀的作用.劉徽的重要貢獻 劉徽（魏晉年間人）他是繼希臘泰勒斯后，世界論證數(shù)學的杰出代表之一.劉徽的“割圓術(shù)”九章算術(shù)中關(guān)于圓面積的求法采用的是古法的“周三徑一”，這是不夠精確的.劉徽在方田章的“圓田術(shù)”中用割圓術(shù)計算圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學發(fā)展史上圓周率研究的新紀元.九章算術(shù)“方田”章：

2、半周半徑相乘得積步，周徑相乘，四而一 割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.劉徽的“割圓術(shù)”：極限思想和無窮小分割以1尺為半徑作圓，再作圓內(nèi)接正六邊形，然后逐漸倍增邊數(shù)，依次算出這些正多邊形的周長和面積.當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不能再加時，圓內(nèi)接正多邊形面積的極限就是圓面積.劉徽的“割圓術(shù)”:以曲代直，無限逼近，內(nèi)外夾逼若夫觚之細者與圓合體，則表無余徑.表無余徑,則冪不外出矣.動手試一試2.59807533.1058283.1326243.1393443.141024設圓的半徑為1，用圓內(nèi)接正n邊形的面積作為圓面積的近似值，估算圓周率.西方:古希臘的窮竭法古希臘的科學

3、泰斗阿基米德發(fā)明的窮竭法與古代中國的割圓術(shù)極相似.根據(jù)記載，阿基米德也曾研究過求解圓周率的問題，他是通過圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形從正六邊形開始加倍的進行，雙向逼近圓.中國古代:劉徽的割圓術(shù)劉徽的割圓術(shù)雖然比古希臘晚幾百年，但他獨辟蹊徑，利用已有的結(jié)果來表示圓面積的上限，巧妙避開了對圓外切正多邊形的計算，在計算圓面積的過程中收到了事半功倍的效果，劉徽割圓術(shù)的完備性與數(shù)學研究過程中所要求的嚴密性相符.建立微積分的先驅(qū)人物阿基米德和劉徽劉徽曰: 然此意非也。何以驗之?取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸，規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸，又復橫圓之，則其形有似牟合方蓋矣.劉徽論體積九章算術(shù)的少

4、廣章“開立圓術(shù)” ： 置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑.牟合方蓋牟合方蓋問題1：正方體的內(nèi)切球與它的兩個內(nèi)切圓柱是什么關(guān)系？問題2：正方體的內(nèi)切球與牟合方蓋是什么關(guān)系？牟合方蓋包含正方體的內(nèi)切球，并與它相切.兩個圓柱都包含正方體的內(nèi)切球，并與它相切.問題3：用一個水平面去截牟合方蓋和它的內(nèi)切球，它們的截面是什么形狀？具有怎樣的位置關(guān)系？截面為正方形和它的內(nèi)切圓.劉徽用截面法研究牟合方蓋問題4：截面圓與其外切正方形的面積之比為多少？問題5：牟合方蓋的內(nèi)切球與牟合方蓋的體積之比為多少？ 劉徽論體積如何計算牟合方蓋的體積呢？劉徽：觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩，判合

5、總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理. 敢不闕疑，以俟能言者.祖沖之的“祖率”是一項史無前例的創(chuàng)舉 祖沖之(429-500)中國南北朝時期杰出的數(shù)學家、天文學家和機械制造專家.祖沖之更開密法，以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。 - 隋書律歷志 圓周率數(shù)值的上下限：欲陋形措意，懼失正理.敢不闕疑，以俟能言者祖暅，祖沖之的兒子杰出的數(shù)學家和天文學家，修補、編輯了祖沖之的綴術(shù)這個正確結(jié)果記載在九章算術(shù)“開立圓術(shù)”之李淳風注中，稱為“祖暅之

6、開立圓術(shù)”.曾經(jīng)困擾劉徽的球體積問題到祖沖之時代獲得了突破。觀立方之內(nèi)，合蓋之外先取牟合方蓋的八分之一及它的外切正方體祖暅之開立圓術(shù)的分解觀立方之內(nèi)，合蓋之外牟合方蓋八分之一及它的外切正方體，再把這個正方體又分出三個小立體，牟合方蓋的八分之一部分稱為“內(nèi)棋”，三個小立體稱為“外棋”.祖暅之開立圓術(shù)的分解牟合方蓋八分之一及它的外切正方體，再把這個正方體又分出三個小立體，牟合方蓋的八分之一部分稱為“內(nèi)棋”，三個小立體稱為“外棋”.祖暅之開立圓術(shù)的分解外三棋內(nèi)棋祖氏原理：冪勢既同，則積不容異 高面積夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么

7、這兩個幾何體的體積相等。祖氏原理在西方稱為“卡瓦列利原理”祖暅之開立圓術(shù)的分解問題1：內(nèi)棋的截面面積為多少？問題2：外三棋的截面面積為多少？問題3：外三棋截面面積的數(shù)值可以看成哪個常見平面圖形的面積？由此你能聯(lián)想學過的哪個幾何體的截面正好是這個平面圖形？rrOSNPMhhrr可以看成正方形的面積，聯(lián)想到倒立的正四棱錐，它的截面正好也是正方形祖暅之開立圓術(shù)的分解rrOSNPMhhrr問題4：外三棋的體積是多少？問題5：八分之一牟合方蓋的體積是多少？牟合方蓋的內(nèi)切球體積是多少？1994年哈佛大學主編的微積分收錄該方法課堂小結(jié)1.極限思想和微積分思想 2.轉(zhuǎn)化思想 3. 構(gòu)造法思想思考2.從中國古代數(shù)學家們的身上我們應該繼承和學習他們的哪些精神呢？1. 富于批判精神2.注意尋求數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系3.注意把數(shù)學的邏輯性和直觀性結(jié)合起來思想方法：1.通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？數(shù)學史料：1.圓周率的發(fā)展歷程 2.球體體積公式的推證過程3.認識了牟合方蓋及其體積