可靠度,極限狀態(tài)和重要性抽樣

1、可靠性，極限狀態(tài)和重要性抽樣概率分析的應(yīng)用主要是確定事件發(fā)生的概率。通常這個(gè)事件是個(gè)故障，因此，它與系統(tǒng)的可靠性有關(guān)可靠性=R三1-P故障假設(shè)故障與下面的條件有關(guān)：如果x滿足：T(x)T,則能推出x丘故障。limit這里x是輸入的隨機(jī)向量。不失一般性，我們可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：g(x)=T(x)-Tlimitlimit則有：當(dāng)g(x)0時(shí)，故障發(fā)生了。假設(shè)我們有一個(gè)2維的輸入系統(tǒng)，則輸入數(shù)據(jù)在對應(yīng)平面上被分成安全和故障兩個(gè)區(qū)域：故障0狀態(tài)0然而事情并不總是那么容易，故障區(qū)域往往具有非常復(fù)雜的形狀，例如下圖所示：故障安全例：更復(fù)雜當(dāng)然，情況還可能更糟，會包括多個(gè)安全和（或）故障區(qū)域，例如下圖所示：丨

2、y故障乂0例:多重故障區(qū)域蒙特卡羅可靠性分析蒙特卡羅方法利用隨機(jī)抽樣和無偏概率估計(jì)來計(jì)算故障發(fā)生的概率：在這里：N是樣本的總數(shù)N對應(yīng)g(x)0的樣本數(shù)量故障就像前面討論的，如果故障發(fā)生的概率很低，這種方法的效率就會很低，得不償失。重要性抽樣重要性抽樣是在進(jìn)行概率模擬時(shí)為減小估計(jì)結(jié)果的方差而普遍采取的一種技巧。換句話說，如果重要性抽樣起作用，我們對確定的樣本進(jìn)行估計(jì)的不確定性就會降低，或者說對于達(dá)到同樣的不確定性，所需要的樣本數(shù)會減少。總之，重要性抽樣是非常有用的在對小概率事件的有效估計(jì)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。我們先來看看它的工作原理，然后再應(yīng)用它來估計(jì)均值和可靠性。給定：x為輸入的隨機(jī)向量fx

3、)為聯(lián)合概率密度hy是我們感興趣的模擬的輸出E(y(x)=Jy(x)f(x)dxallx簡單的蒙特卡羅方法(亦即：隨機(jī)抽樣)給出y=N為y(xn)沁E(y)n=1標(biāo)準(zhǔn)誤差為：假如我們定義一個(gè)新的概率密度函數(shù)h(x)，它需要滿足：Jh(x)dx=10h(x)1allx把h(x)帶入Jy(x)f(x)dx，得：Jy(x)Wh(x)dxh由于h(x)是一個(gè)有效的分布，則有:E(y)=E(藝)h利用蒙特卡羅方法可以求出E(辛)hpq=1工y(勸)f(xn)沁E(W)=E(y)Ih丿Nh(xn)hn=1其標(biāo)準(zhǔn)誤差為：G2所以，如果我們可以選擇h(x)使得o0我們還可以定義：P(故障)=Jy(x)f(x)

4、dx=E(y)allx這里，y(x)=卩，g(x)口01,g(x)0現(xiàn)在我們就可以應(yīng)用重要性抽樣，我們欲使h(x)=ay(x)f(x)y(x)t0如果g(x)0由于我們要用一些近似的模型來構(gòu)造y(x)(例如：t(x)極限狀態(tài)的響應(yīng)面)，所以最好不要使y(x)在逼近極限處有急劇的下降。一維熱傳導(dǎo)的例子假設(shè)只有兩個(gè)隨機(jī)變量輸入T和h，其他的6gasgas個(gè)都保持不變：第一步建立T(x)的響應(yīng)面T(x)=a+ax+axmhmh01122第二步構(gòu)造一個(gè)平滑地逼近y(x)的函數(shù)y(x),這兒有個(gè)簡單的選擇：y(x)=12T(x)-Tmhlim+maxT-T_mhlim_第三步確定h(x)h(x)=ay(x)f(x)a=E(y)=i力(兀)tim+