高一數(shù)學必修復習：第二章函數(shù)知識點總結(jié)

1、第二章 函數(shù)知識點歸納總論：知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖一、函數(shù)的概念與圖像設(shè)是一個非空的實數(shù)集，如果有一個對應規(guī)則，對每一個，都能對應唯一的一個實數(shù)，則這個對應規(guī)則稱為定義在上的一個函數(shù)，記以，稱為函數(shù)的自變量，為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，稱為函數(shù)的定義域，并把實數(shù)集 稱為函數(shù)的值域。注意點： = 1 * GB3 定義域 = 2 * GB3 對應規(guī)則 = 3 * GB3 所謂同一函數(shù)必須要定義域和對應規(guī)則完全一致。1、求定義域的主要依據(jù)：（1）若函數(shù)為整式，則定義域為實數(shù)集R；（2）分式的分母不為零；（3）偶次方根的被開方數(shù)不小于零；（4）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（5）若函數(shù)由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，定義

2、域為使各個式子有意義的實數(shù)的集合的交集；（6）如果函數(shù)由解決實際問題列出，定義域為符合實際意義的實數(shù)集。例1、下列各對函數(shù)中，相同的是（ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，例2、給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（ ）A、 0個 B、 1個 C、 2個 D、3個xxxx1211122211112222yyyy3OOOO例3、（05江蘇卷）函數(shù)的定義域為_2、求函數(shù)值域的主要方法：（1）直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數(shù)；（2）換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；（3）利用對勾函數(shù)；（4）分

3、離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時要畫圖）；（5）單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；（6）幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)例1、 ； 例2、例3、例4、 ；例5、例6、3、重要函數(shù)圖像（1）一次函數(shù)（正比例函數(shù)）圖像及其性質(zhì)：（2）反比函數(shù)圖像及其性質(zhì)：（3）二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)： = 1 * GB3 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標 = 2 * GB3 二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系： = 3 * GB3 閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題：是分類討論，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化思想的四個數(shù)學思想的集中體現(xiàn)一元二次函數(shù)的

4、區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論。一般來說首先考慮開口方向。設(shè)，求在上的最大值與最小值。將配方，得頂點為、對稱軸為 當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在m，n上的最值：最小值：對稱軸與區(qū)間端點大小比較進行分類討論（1）當時，的最小值是當時，（2）若，由在上是增函數(shù)則的最小值是；（3）若，由在上是減函數(shù)則的最小值是。最大值：對稱軸與區(qū)間中點比較進行分類討論（1）當時，的最大值是；（2）當時，的最大值是； 當時，可類比得結(jié)論。例1、設(shè)求函數(shù)的最小值的解析式。例2、已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)a的值。例3、已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3最大值是3，求

5、，的值 = 4 * GB3 二次方程根分布問題：點撥：從三個方面進行分析：（1）（有不等實數(shù)根）；（2）對稱軸；（3）端點的函數(shù)值例1、已知方程有兩個不等正實根，求實數(shù)的取值范圍.例2、方程有一根大于1，另一根小于1，求實根m的取值范圍是例3、已知關(guān)于x的方程至少有一個根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.（4）對勾函數(shù)圖像：二、函數(shù)的表示方法與表達形式1、函數(shù)表示的三大方法：列表法、解析法、圖像法例1、購買某種筆支，所需花元，若每支筆需2元，試分別用解析法、列表法、圖像法將表示成（）的函數(shù)，并指出函數(shù)的值域。2、函數(shù)的表達形式：（1）一般表達形式：（2）分段函數(shù)：如果自變量在定義域內(nèi)不

6、同的值，函數(shù)不能用同一個表達式表示，而要用兩個或兩個以上的表達式來表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。 例如 （3）復合函數(shù)：設(shè) 定義域， 定義域，值域。 如果，則是定義在上的一個復合函數(shù)。其中稱為中間變量。例2、已知，求例3、練習： = 1 * GB3 。 = 2 * GB3 設(shè)，則的定義域為_三、函數(shù)的簡單性質(zhì)1、函數(shù)表示法的“無關(guān)性”：函數(shù)的表示法只與定義域和對應規(guī)則有關(guān)，而與用什么字母表示無關(guān)，即 fx=ft=fu=，簡稱函數(shù)表示法的“無關(guān)性”。例1、 與 是否為同一函數(shù)？ 2、函數(shù)的單調(diào)性：如果對于某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1x2時都有f(x1)f(x2).那么就說f(x

7、)在 這個區(qū)間上是增函數(shù)。如果對于某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1x2時都有f(x1)f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。注意點：設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。例1、證明函數(shù)的單調(diào)性例2、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_例3、已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D）3、函數(shù)的奇偶性：設(shè)區(qū)間關(guān)于原點對稱，若對，都有，則稱在上是奇函數(shù)；若對，都有，則稱在上是偶函數(shù)。重要性質(zhì)：（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱； （2）若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(0)=0 （3）奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇 判斷函數(shù)奇偶性的主要方