數(shù)列知識點大全及經(jīng)典測試題

1、數(shù)列知識點回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1理解數(shù)列定義的四個要點數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強調(diào)有“次序”，而不強調(diào)有“規(guī)律”因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列在數(shù)列中同一個數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)項a與項數(shù)n是兩個根本不同的概念數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列2數(shù)列的通項公式一個數(shù)列 a的第n項a與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個公式a=來表示，就把這個公式叫做數(shù)列 a的通項公式。若給出數(shù)列 a的通項公式，則這個數(shù)列是已知的。若數(shù)列 a的前n項和記為S，則S與a的關(guān)系是：a

2、=。第二部分：等差數(shù)列1等差數(shù)列定義的幾個特點： 公差是從第一項起，每一項減去它前一項的差(同一常數(shù))，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，必須對任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式為：當(dāng)n2時，有aa= d (d為常數(shù))當(dāng)n時，有aa= d (d為常數(shù))當(dāng)n2時，有aa= aa成立若判斷數(shù)列 a不是等差數(shù)列，只需有aaaa即可2等差中項若a、A、b成等差數(shù)列，即A=，則A是a與b的等差中項；若A=，則a、A、b成等差數(shù)列，故A=是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于a=，所以，等差數(shù)列的每一項都是它前一項與后一項的等差中項。3

3、等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd若 a、 b為等差數(shù)列，則 ab與kab(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列對任何m、n，在等差數(shù)列 a中有：a= a+ (nm)d，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆為自然數(shù)，且l + k + p + = m + n + r + （兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等），那么當(dāng)a為等差數(shù)列時，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的

4、項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項數(shù)之差)如果 a是等差數(shù)列，公差為d，那么，a，a，a、a也是等差數(shù)列，其公差為d；在等差數(shù)列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差數(shù)列中，從第一項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當(dāng)d0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減??；d0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)設(shè)a，a，a為等差數(shù)列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（1），則a=4等差數(shù)列前n項和公式S=與S= na的比較前n項和公式公式適用范圍相同點S=用于已知等差數(shù)列的首項和末項都是等差數(shù)

5、列的前n項和公式S= na用于已知等差數(shù)列的首項和公差5等差數(shù)列前n項和公式S的基本性質(zhì)數(shù)列 a為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a的前n項和S可以寫成S= an+ bn的形式(其中a、b為常數(shù))在等差數(shù)列 a中，當(dāng)項數(shù)為2n (nN)時，SS= nd，=；當(dāng)項數(shù)為(2n1) (n)時，SS= a，=若數(shù)列 a為等差數(shù)列，則S，SS，SS，仍然成等差數(shù)列，公差為若兩個等差數(shù)列 a、 b的前n項和分別是S、T(n為奇數(shù))，則=在等差數(shù)列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)等差數(shù)列a中，是n的一次函數(shù)，且點（n，）均在直線y =x + (a)上記等差數(shù)列a的前n項和為S若a0，公差d0

6、，則當(dāng)a0且a0時，S最大；若a0 ，公差d0，則當(dāng)a0且a0時，S最小第三部分：等比數(shù)列1正確理解等比數(shù)列的含義q是指從第2項起每一項與前一項的比，順序不要錯，即q = (n)或q = (n2)由定義可知，等比數(shù)列的任意一項都不為0，因而公比q也不為0要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，必須對任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中項與等差中項的主要區(qū)別如果G是a與b的等比中項，那么=，即G= ab，G =所以，只要兩個同號的數(shù)才有等比中項，而且等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)；如果A是a與b的等差中項，那么等差中項A唯一地表示為A=，其中，a與b沒有同號的限制在這里，等差中項與等比中項既有數(shù)量

7、上的差異，又有限制條件的不同3等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q( m為等距離的項數(shù)之差)對任何m、n，在等比數(shù)列 a中有：a= a q，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等比數(shù)列的通項公式，此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆為自然數(shù)，且t + k，p，m + = m + n + r + (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等)，那么當(dāng)a為等比數(shù)列時，有：aaa = aaa 若 a是公比為q的等比數(shù)列，則| a|、a、ka、也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、q、q、如果 a是等比數(shù)列，公比為q，那么，

8、a，a，a，a，是以q為公比的等比數(shù)列如果 a是等比數(shù)列，那么對任意在n，都有aa= aq0兩個等比數(shù)列各對應(yīng)項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積當(dāng)q1且a0或0q1且a0時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a0且0q1或a0且q1時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q0時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列4等比數(shù)列前n項和公式S的基本性質(zhì)如果數(shù)列a是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項和公式是S=也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于

9、1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q1進(jìn)行討論當(dāng)已知a，q，n時，用公式S=；當(dāng)已知a，q，a時，用公式S=若S是以q為公比的等比數(shù)列，則有S= SqS若數(shù)列 a為等比數(shù)列，則S，SS，SS，仍然成等比數(shù)列若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q1)前n項和與前n項積分別為S與T，次n項和與次n項積分別為S與T，最后n項和與n項積分別為S與T，則S，S，S成等比數(shù)列，T，T，T亦成等比數(shù)列二、難點突破1并不是所有的數(shù)列都有通項公式，一個數(shù)列有通項公式在形式上也不一定唯一已知一個數(shù)列的前幾項，這個數(shù)列的通項公式更不是唯一的2等差(比)數(shù)列的定義中有兩個要點：一是“從第2項起”，二是“每一項與它前一項的差

10、(比)等于同一個常數(shù)”這里的“從第2項起”是為了使每一項與它前面一項都確實存在，而“同一個常數(shù)”則是保證至少含有3項所以，一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列的必要非充分條件是這個數(shù)列至少含有3項3數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個問題： a與a是不同的，前者表示數(shù)列a，a，a，而后者僅表示這個數(shù)列的第n項；數(shù)列a，a，a，與集合 a，a，a，不同，差別有兩點：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個有確定范圍的整體；數(shù)列的項有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性4注意設(shè)元的技巧時，等比數(shù)列的奇數(shù)個項與偶數(shù)個項有區(qū)別，即：對連續(xù)奇數(shù)個項的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， a，aq，aq，；對連續(xù)偶

11、數(shù)個項同號的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， aq，aq，5一個數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項均不為0，因此，在研究等比數(shù)列時，要注意a0，因為當(dāng)a= 0時，雖有a= a a成立，但a不是等比數(shù)列，即“b= a c”是a、b、 c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對比等差數(shù)列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數(shù)列的充要條件，這一點同學(xué)們要分清6由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項均不為0，因此，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意特殊情況“0”等比數(shù)列的前n項和公式蘊含著分類討論思想，需分分q = 1和q1進(jìn)行分類討論，在具體運用公式時，常常因考慮不周而出錯數(shù)列基礎(chǔ)知

12、識定時練習(xí)題 （滿分為100分+附加題20分，共120分；定時練習(xí)時間120分鐘）一、選擇題（本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1下列四個數(shù)中，哪一個是數(shù)列中的一項 （ ） （A）380 （B）39 （C）35 （D）232在等差數(shù)列中，公差，則的值為（ ） （A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3一套共7冊的書計劃每2年出一冊，若各冊書的出版年份數(shù)之和為13979，則出齊這套書的年份是（ ） （A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003 4一個項數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項的和是奇數(shù)項和的2倍，又它的首項

13、為1，且中間兩項的和為24，則此等比數(shù)列的項數(shù)為（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 5已知1是與的等比中項，又是與的等差中項，則的值是（ ） （A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或6首項為24的等差數(shù)列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）37如果-1，a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么（ ）（A）b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-98在等差數(shù)列a中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于（ ）A.40 B.42 C.43 D.459已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為

14、15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（ ）A.5 B.4 C. 3 D. 210若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則（ ）A4 B2 C2 D411在等比數(shù)列an中，a11，a103，則a2a3a4a5a6a7a8a9= （ ）A. 81 B. 27 C. D. 24312在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（ ）(A) (B) (C) (D)13設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D14設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）A B C D15設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若EQ f(SSdo(3),SSdo(6)EQ f(1,3)，則EQ f(SSdo(6),SSdo(12) （ ）（A）EQ f(3,10) （B）EQ f(1,3) （C）EQ f(1,8) （D）EQ f(1,9)二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.把答案填在題中橫線上）1在數(shù)列中，且，則2等比數(shù)列的前三項為，則3若數(shù)列滿足：，2，3.則.4設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，14，S1030，則S9.5在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項。三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）1已知為等比數(shù)列，求的通項式。2設(shè)等比