導數(shù)及其應用考點梳理講解總結(jié),導數(shù)及其應用的高考題型解析及答案

1、考點43導數(shù)及幾何意義、導數(shù)的運算【命題解讀】 導數(shù)及幾何意義、導數(shù)的運算是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的知識點，在高考中常以選擇或者填空的形式出現(xiàn)，整體難度以中檔為主，偶爾在解答題中出現(xiàn)導數(shù)的幾何意義，求解切線，重點還是考查計算能力?！久}預測】預計2021年的高考導數(shù)的幾何意義還是必考知識點，復習中要注重知識點的相互聯(lián)系，在導數(shù)的運算方面要加強計算能力?！緩土暯ㄗh】 1.掌握導數(shù)的概念及幾何意義；2.會計算函數(shù)的導數(shù)以及運用導數(shù)求切線方程?？枷蛞粚?shù)的概念及幾何意義1.導數(shù)的概念(1)在點x0處的導數(shù)limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù),記

2、為f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x(2) 區(qū)間(a,b)上的導數(shù)當x(a,b)時,f(x)=limx0yx=limx0f(x+x)-f(x)x叫作函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導數(shù)f(x0)就是函數(shù)圖像在該點處切線的斜率.曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).1.【2020全國高三課時練習（理）】函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（ ）ABCD【答案】B【解析】，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.2. 【2020山東高三其他】已知函數(shù)

3、的圖象在點處的切線經(jīng)過坐標原點，則（ ）ABCD【答案】A【解析】，切點為，所以，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，解得，故選A.考向二 導數(shù)的運算1.常用導數(shù)公式（1） C=0(C為常數(shù))（2）(xn)= nxn-1 (nZ)（3） (sin x)= cos x (cos x)= -sin x（4）(ax)= axln a (a0,且a1)（5） (logax)= 1xlna (a0,且a1)（6） (ex)=ex（7） (ln x)=1x,(ln|x|)=1x2.導數(shù)的運算法則f(x)g(x)= f(x)g(x) f(x)g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x)f(

4、x)g(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)g(x)2復合函數(shù)y=fg(x)的導數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)之間具有關系yx= yuux這個關系用語言表達就是“y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積”1. 【2020全國高三課時練習（理）】已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則等于（）A1BCD【答案】B【解析】，所以，得，故選B.2. 【2020河南高三其他（理）】已知函數(shù)，則_.【答案】1【解析】由，得，則，解得.故答案為：1.題組一（真題在線）1. 【2020年高考全國卷理數(shù)】函數(shù)的圖像在點處的切線方程為ABCD2. 【2020年高考全國III卷理數(shù)】若直線l與曲線y=

5、和x2+y2=都相切，則l的方程為Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+3. 【2020年高考北京】為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水摔放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論：在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強其中所有正確結(jié)論的序號是_4. 【2019年高考全國卷理數(shù)】已知曲

6、線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A Ba=e，b=1C D，5. 【2019年高考全國卷理數(shù)】曲線在點處的切線方程為_6. 【2020年高考北京】已知函數(shù)（）求曲線的斜率等于的切線方程；（）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值題組二1. 【2020陜西西安高三二模（理）】已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）ABCD2. 【2020全國高三課時練習（理）】若曲線與曲線在交點處有公切線，則（ ）AB0C2D13. 【2020邢臺市第二中學高二期末】已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（ ）ABCD4. 【2020陜西西安高三三?！亢瘮?shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（

7、）ABCD5. 【2020山東師范大學附中高二月考】已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則等于（ ）ABCD16. 【2020全國高三課時練習（理）】函數(shù)在點(0，f(0)處的切線方程是_. 7. 【2020福建高三其他（理）】設曲線在處的切線與直線平行，則實數(shù)a的值為_.8. 【2020山東萊陽一中高三月考】已知，則_9. 【2020河南開封高三二模（理）】已知函數(shù)則函數(shù)在處的切線方程為_10. 【2019山東聊城】如圖，是可導函數(shù),直線l是曲線在處的切線，令，則_.題組一1.B【解析】，因此，所求切線的方程為，即.故選：B2.D【解析】設直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，設直線

8、的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D3. 【解析】表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù)，在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；正確；甲企業(yè)在這三段時間中，甲企業(yè)在這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；正確；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；正確；故答案為：4. D【解析】切線的斜率，將代入，得.故選D5. 【解析】所以切線的斜

9、率，則曲線在點處的切線方程為，即6. 見解析【解析】（）因為，所以，設切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程：，即.（）顯然，因為在點處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設時，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為.題組二1.D【解析】，將代入得，故選D2.D【解析】由曲線，得，則，由曲線，得，則，因為曲線與曲線在交點出有公切線，所以，解得，又由，即交點為，將代入曲線，得，所以，故選D3.D【解析】切點在切線上，得，又切線斜率，.故選：D4.B【解析】，則，則傾斜角為故選：B5.B【解析】,令，則，解得，故選：B6. 【解

10、析】，, f(0)0,函數(shù)f(x)的圖像在點(0,0)處的切線方程為y01(x0)，即yx.故答案為：7. C【解析】 ，所以的虛部為4.故選：C8. 2【解析】因為所以所以又因為曲線在處的切線與直線平行，所以故答案為：9. 【解析】，故切線方程為：，即故答案為：10. 【解析】由圖像可知，切線過、，求導故答案為：考點44導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【命題解讀】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的熱點問題，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)的是含參數(shù)的函數(shù)的導數(shù)求解問題，難度以中高難度為主，主要出現(xiàn)在解答題中，命題形式靈活多變，主要考查分析能力和解答計算能力，對數(shù)學思維要求高。【命題預測】預計2021年的高考利用導數(shù)研究函

11、數(shù)單調(diào)性是熱點知識點，命題形式更加靈活，新穎，對分析能力和計算能力要求更高?！緩土暯ㄗh】 1.借助圖象理解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性?？枷蛞焕脤?shù)研究函數(shù)的單調(diào)性導數(shù)到單調(diào)性單調(diào)遞增在區(qū)間(a,b)上,若f(x)0,則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增單調(diào)遞減在區(qū)間(a,b)上,若f(x)0，則當時，；當時，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a0，則當時，；當時，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）滿足題設條件的a，b存在.（i）當a0時，由（1）知，在0，1單調(diào)遞增，所以在區(qū)間0，l的最小值為，最大值為.此時a，b滿足題設條件當且僅當，即a=0，（ii）

12、當a3時，由（1）知，在0，1單調(diào)遞減，所以在區(qū)間0，1的最大值為，最小值為此時a，b滿足題設條件當且僅當，b=1，即a=4，b=1（iii）當0a3時，由（1）知，在0，1的最小值為，最大值為b或若，b=1，則，與0a3矛盾.若，則或或a=0，與0a3矛盾綜上，當且僅當a=0，或a=4，b=1時，在0，1的最小值為-1，最大值為13. 見解析【解析】（）由已知，有因此，當時，有，得，則單調(diào)遞減；當時，有，得，則單調(diào)遞增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為（）證明：記依題意及（），有，從而當時，故因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而所以，當時，（）證明：依題意，即記，則，且由及（），得由（）知，當時

13、，所以在上為減函數(shù)，因此又由（）知，故所以，4. 見解析【解析】（1）當a=1時，f（x）=ex+x2x，則=ex+2x1故當x（，0）時，0所以f（x）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增（2）等價于.設函數(shù)，則.（i）若2a+10，即，則當x（0，2）時，0.所以g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，而g（0）=1，故當x（0，2）時，g（x）1，不合題意.（ii）若02a+12，即，則當x(0，2a+1)(2，+)時，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)單調(diào)遞減，在(2a+1，2)單調(diào)遞增.由于g(0)=1，所以g(x)1當且僅當g(2)=(74a)e21，即a.所以當時，

14、g(x)1.（iii）若2a+12，即，則g(x).由于，故由（ii）可得1.故當時，g(x)1.綜上，a的取值范圍是.5. 見解析【解析】（1）當時，；當時，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減（2）因為，由（1）知，在區(qū)間的最大值為，最小值為而是周期為的周期函數(shù)，故（3）由于，所以題組二1.C【解析】因為的定義域為，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.2.D【解析】構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選D.3.A【解析】設，代入點，則，解得，則，令，解得，函數(shù)的遞增區(qū)間為.故選：A.4. C【解析】f(x)2

15、ax4aeq f(1,x)eq f(2ax24ax1,x)，若f(x)在(1，3)上不單調(diào)，令g(x)2ax24ax1，則函數(shù)g(x)2ax24ax1與x軸在(1，3)有交點，a0時，顯然不成立；a0時，只需eq blcrc (avs4alco1(16a28a0，,g1g30)解得aeq f(1,2).故選：C5. 【解析】，其中，令，則，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故答案為：6. 【解析】,解得在上恒成立,構造函數(shù),解得x=1, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,g(x)的最大值為g(1)=1, ,故填.7. 【解析】是上的奇函數(shù)，則在定義域內(nèi)為增函數(shù)，可變形為，將其看作關于的一次函數(shù)，可得當時，恒成立

16、，若，若，解得8. 見解析【解析】（1）當時，而時，時，在上單調(diào)遞增，時，在上單調(diào)遞減；綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2），令由知：，時，而知，使在上單調(diào)增，在上單調(diào)減；而，在上恒成立.當時，有恒成立.當時，有恒有，令即，上，而在上，令，即單調(diào)減，又，所以使，即上，單調(diào)增，上，單調(diào)減，綜上，使在上單調(diào)增，上單調(diào)減；又，1、時，在上單調(diào)減，上單調(diào)增，且，故此時不能保證恒成立；2、時，上恒成立；在上要使恒成立，令，有恒成立，所以只要單調(diào)遞增即可，有成立，即綜上，知：時不等式對任意恒成立，故.9. 見解析【解析】(1)ae，f(x)exex1，f(x)exe，f(1)1，f(1)0.當ae時，

17、函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程為y1.(2)f(x)exax1，f(x)exA當a0時，f(x)0，故f(x)在R上單調(diào)遞增；當a0時，由f(x)exa0，得xln a，當xln a時，f(x)eln aa0，當xln a時，f(x)eln aa0，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增綜上，當a0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當a0時，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增考點45導數(shù)與函數(shù)的極值、最值【命題解讀】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是高考必考的重點知識點，已經(jīng)是解決函數(shù)、不等式等問題的主要工具，在高考中常以各種題型出

18、現(xiàn)，對于函數(shù)問題中含參問題的研究是高考出現(xiàn)頻率較高的，試題難度比較大.【命題預測】預計2021年的高考利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值出題形式以新穎為主，靈活性較強，與函數(shù)、不等式等聯(lián)系比較密切，難度以高檔為主?！緩土暯ㄗh】 1.利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值；2.體會導數(shù)與函數(shù)極值、最值的關系?？枷蛞焕脤?shù)研究函數(shù)的極值1.函數(shù)的極小值:函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,f(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)f(x)0.則點a叫作函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫作函數(shù)y=f(x)的極小值.2.函數(shù)的極大值:函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b

19、)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,f(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0.則點b叫作函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫作函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.1. 【2020重慶期末】若定義在上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）.A函數(shù)有1個極大值，2個極小值B函數(shù)有2個極大值，3個極小值C函數(shù)有3個極大值，2個極小值D函數(shù)有4個極大值，3個極小值【答案】B【解析】只有一個極大值點當時，當時，當時，時，時，且，函數(shù)在，處取得極大值，處取得極小值故選：B2. 【2018廣東湛江期末】函數(shù)有極值的充分但不必要條件

20、是（ ）ABCD【答案】A【解析】因為，所以要使函數(shù)有極值，則需，解得，又由可推得，而由不能推得，所以函數(shù)有極值的充分但不必要條件是，故選：A考向二 利用導數(shù)研究函數(shù)的最值1.在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值.2.若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值, f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值, f(b)為函數(shù)的最小值.1. 【2020河北保定一?！恳阎瘮?shù)在處取得最大值，則下列選項正確的是（ ）ABCD【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，而，令，則在上單調(diào)遞減，且，使，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

21、在處取得最大值，.故選：A2. 【2019浙江金華高三期末】設的最大值為，則（ ）A當時，B當時，C當時，D當時，【答案】AB【解析】對于選項A，當時，在區(qū)間上遞減，所以，故選項A正確.對于選項B，當時，則，在區(qū)間上遞增，即，故選項B正確.對于選項C，當時，當時，恒成立，所以，所以，故選項C錯誤.對于選項D，當時，則，在區(qū)間上遞增，故選項D錯誤.故選：AB.題組一（真題在線）1. 【2019年高考天津理數(shù)】已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為ABCD2. 【2019年高考全國卷理數(shù)】已知函數(shù)，為的導數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點3. 【2019年高

22、考北京理數(shù)】已知函數(shù)（）求曲線的斜率為1的切線方程；（）當時，求證：；（）設，記在區(qū)間上的最大值為M（a）當M（a）最小時，求a的值4. 【2019年高考江蘇】設函數(shù)、為f（x）的導函數(shù)（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M5. 【2020年高考天津】已知函數(shù)，為的導函數(shù)（）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）當時，求證：對任意的，且，有6. 【2020年新高考全國卷】已知函數(shù)（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與兩坐標

23、軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）1，求a的取值范圍題組二1. 【2020全國月考（理）】函數(shù)的圖象大致是( )ABCD2. 【2020云南師大附中月考（理）】已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD3. 【2020霍邱縣第二中學開學考試】已知函數(shù)f(x)x(lnxax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是( )A(，0)BC(0,1)D(0，)4. 【2020江西省信豐中學月考】設函數(shù)，若是函數(shù)是極大值點，則函數(shù)的極小值為（ ）ABCD5. 【2019湖南師大附中期末】若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_6. 【2020北京期末】已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最小值為_. 7.

24、【2020江西省奉新縣第一中學月考（理）】若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最大值為_8. 【2020全國高三】已知函數(shù)給出下列結(jié)論：在上有最小值，無最大值；設則為偶函數(shù)；在上有兩個零點.其中正確結(jié)論的序號為_.（寫出所有正確結(jié)論的序號）9. 【2020福建其他】設函數(shù)（1）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于10. 【2020湖北荊門月考】已知函數(shù)，.（1）設的導函數(shù)為，求的最小值；（2）設，當時，若恒成立，求的取值范圍.題組一1.C【解析】當時，恒成立；當時，恒成立，令，則，當，即時取等號，則.當時，即恒成立，令，則，當時，函數(shù)單調(diào)遞增

25、，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，則時，取得最小值，綜上可知，的取值范圍是.故選C.2.見解析【解析】（1）設，則，.當時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設為.則當時，；當時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.（2）的定義域為.（i）當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當時，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點.（ii）當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以當時，.從而，在沒有零點.（iii）當時，所以在單調(diào)遞減.而，所以在有唯一零點.（iv）當時，所以0，從而在沒有零點.綜上，有且僅有

26、2個零點.3. 見解析【解析】（）由得.令，即，得或.又，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與.（）令.由得.令得或.的情況如下：所以的最小值為，最大值為.故，即.（）由（）知，當時，；當時，；當時，.綜上，當最小時，.4. 見解析【解析】（1）因為，所以因為，所以，解得（2）因為，所以，從而令，得或因為都在集合中，且，所以此時，令，得或列表如下：1+00+極大值極小值所以的極小值為（3）因為，所以，因為，所以，則有2個不同的零點，設為由，得列表如下： +00+極大值極小值所以的極大值解法一：因此解法二：因為，所以當時，令，則令，得列表如下：+0極大值所以當時，取得極大值，且是最大值，故所以

27、當時，因此5. 見解析【解析】（）（i）當時，故可得，所以曲線在點處的切線方程為，即（ii）依題意，從而可得，整理可得令，解得當變化時，的變化情況如下表：1-0+極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為，無極大值（）證明：由，得對任意的，且，令，則 令當時，由此可得在單調(diào)遞增，所以當時，即因為，所以， 由（）（ii）可知，當時，即，故 由可得所以，當時，對任意的，且，有6. 見解析【解析】的定義域為，（1）當時，曲線在點處的切線方程為，即直線在軸，軸上的截距分別為，因此所求三角形的面積為（2）當時，當時，當時，；當時，所以當時，取得最小值，最小值為，從而當時，綜上，的取值范

28、圍是題組二1.B【解析】函數(shù)，則，令，解得的兩個極值點為，故排除AD，且當時，恒為正，排除C，即只有B選項符合要求，故選：B.2.D【解析】要使函數(shù)有兩個極值點，求導得，則轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實根，即和在上有兩個交點，令，記，在上單調(diào)遞減，且，所以當時，所以在上單調(diào)遞增；當時，所以在上單調(diào)遞減，故當時，；當時，所以，當，即時，和在上有兩個交點，故選D3.B【解析】函數(shù)f（x）=x（lnxax），則f（x）=lnxax+x（a）=lnx2ax+1，令f（x）=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1，函數(shù)f（x）=x（lnxax）有兩個極值點，等價于f（x）=lnx2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax1的圖