同濟第六版《高等數(shù)學》教案word版-第06章定積分的應用

1、第六章 定積分的應用教學目的1、懂得元素法的基本思想；2、把握用定積分表達和運算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的 體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）；3、把握用定積分表達和運算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）；教學重點：1、運算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積；2、運算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等；教學難點：1、 截面面積為已知的立體體積；2、引力； 6 1 定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積 設 yf x0 xa b 假如說積分是以 a b為底的曲邊梯形的面積Ab afxdx就積分上限

2、函數(shù)xftdtAx a就是以 a x為底的曲邊梯形的面積而微分 dAxf xdx 表示點 x 處以 dx 為寬的小曲邊梯形面積的近似值Af xdxf xdx 稱為曲邊梯形的面積元素fxdx 為被積表達式以以 a b為底的曲邊梯形的面積A 就是以面積元素a b為積分區(qū)間的定積分表示Abfxdxa一般情形下為求某一量U 先將此量分布在某一區(qū)間a b上 分布在 a x上的量用函數(shù)Ux再求這一量的元素dUx 設 dUxuxdx 然后以 uxdx 為被積表達式以 a b為積分區(qū)間求定積分即得U 用這一方法求一量的值的方法稱為微元法bfx dxa或元素法 6 2 定積分在幾何上的應用一、平面圖形的面積1直

3、角坐標情形設平面圖形由上下兩條曲線yf上x與 yf下x及左右兩條直線xa 與 xb 所圍成就面積元素為 f上x f下xdx 于是平面圖形的面積為Sb a f 上x f下x dxyd 與 yc 所圍成設平面圖形的面積為類似地由左右兩條曲線x左y與 x右y及上下兩條直線Sd右y 左y dyc例 1 運算拋物線y2x、yx 2 所圍成的圖形的面積解 1畫圖2確定在 x 軸上的投影區(qū)間,: 0 1x23確定上下曲線f上x xf 下 x4運算積分S1xx2 dx2 3x3 21 3x3 101 30例 2 運算拋物線y22x 與直線 yx4 所圍成的圖形的面積解 1畫圖2確定在 y 軸上的投影區(qū)間y:

4、2 4yy43確定左右曲線左y 1 22,右4運算積分S42y41 2y2dy1 2y24y1 6y3 42182 ab 2橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影例 3 求橢圓x2y21所圍成的圖形的面積2b2a解 設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍區(qū)間為 0 a 由于面積元素為ydx所以S4aydx0橢圓的參數(shù)方程為:xa cos tyb sin t于是S4aydx40bsintd acos t02ab4 ab0 2sin2tdt2 ab2 1cos2 t dt02極坐標情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素dS由曲線 及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積元素為1 22d曲邊扇形的面積為

5、S1 22d例 4. 運算阿基米德螺線a a 0上相應于從0 變到 2 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積解 : S21 a22 d1 2a2 1 33 204 3a 230例 5. 運算心形線a1cos a0 所圍成的圖形的面積解 : S201 2a 1cos2da 201 22cos1 2cos2da2 3 22sin1 4sin2 03 2a 2二、體積1旋轉體的體積 旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體 這直線叫做旋轉軸常見的旋轉體 圓柱、圓錐、圓臺、球體旋轉體都可以看作是由連續(xù)曲線 yf x、直線 xa 、ab 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉 一周而成

6、的立體設過區(qū)間 a b內(nèi)點 x 且垂直于 x 軸的平面左側的旋轉體的體積為V x 當平面左右平移dx后 體積的增量近似為Vf x2dx于是體積元素為dVf x2dx旋轉體的體積為Vbfx2dx將它繞 x 軸a例 1 連接坐標原點O 及點 Ph r的直線、 直線 xh 及 x 軸圍成一個直角三角形旋轉構成一個底半徑為r、高為 h 的圓錐體運算這圓錐體的體積解 : 直角三角形斜邊的直線方程為yrxh所求圓錐體的體積為Vhrx2dxxr21 3x3h1 hr 32x 軸旋轉而成的旋轉體旋轉橢球體 的體積020hh例 2 運算由橢圓2y21所成的圖形繞2b2a解 : 這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢

7、圓yba2x2體積元素為a及 x 軸圍成的圖形繞x 軸旋轉而成的立體dV y 2dx于是所求旋轉橢球體的體積為例 3 Vab2 a2x2 dxb2a2x1x3aa4 ab 32x 軸、 y 軸旋轉而a22aa3運算由擺線xatsin t ya1cos t的一拱直線 y0 所圍成的圖形分別繞成的旋轉體的體積解所給圖形繞2x 軸旋轉而成的旋轉體的體積為tdtVx2aydx2a2 1cost2a 1cos00a32 13cost3cos2tcos3tdt05 2a 3所給圖形繞y 軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差設曲線左半邊為x=x1y、右半邊為 x=x2y 就Vy2ax2 2ydy2a

8、x2 1y dy 30a2 tsint2asintdt002a2ttsint2asintdtt232sinsintdt6 3aa02平行截面面積為已知的立體的體積設立體在x 軸的投影區(qū)間為a b 過點 x 且垂直于x 軸的平面與立體相截截面面積為Ax 就體積元素為Axdx立體的體積為并與底面交成角運算這平面截圓柱所得VbA xdxa例 4 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心立體的體積解 取這平面與圓柱體的底面的交線為 x軸 底面上過圓中心、 且垂直于 x 軸的直線為 y 軸 那么底圓的方程為 x 2y 2R 2 立體中過點 x 且垂直于 x 軸的截面是一個直角三角形 兩個直角邊分別為 R

9、2 x 2及 R 2 x 2 tan 因而截面積為A x 1 R 2 x 2 tan 于是所求的立體體積為2V RR 12 R 2x 2 tan dx 12 tan R 2x 13 x 3 RR 23 R 3tan例 5 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積解 : 取底圓所在的平面為 x O y 平面 圓心為原點 并使 x 軸與正劈錐的頂平行 底圓的方程為 x 2y 2R 2過 x 軸上的點 x Rx0相應于從 0 到 2 一段的弧長解弧長元素為dsa22a2da12d于是所求弧長為s2a12da2142ln214202 6 3 功水壓力和引力一、

10、變力沿直線所作的功例 1 把一個帶 q 電量的點電荷放在 r 軸上坐標原點 O 處 它產(chǎn)生一個電場 這個電場對四周的電荷有作用力 由物理學知道 假如有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點 O 為 r 的地方那么電場對它的作用力的大小為F kr q2 k 是常數(shù) 當這個單位正電荷在電場中從 ra 處沿 r 軸移動到 rbab處時 運算電場力 F 對它所作的功例 1 電量為 +q 的點電荷位于 r 軸的坐標原點 O 處它所產(chǎn)生的電場力使 r 軸上的一個單位正電荷從 r=a 處移動到 r=bab處求電場力對單位正電荷所作的功提示 : 由物理學知道在電量為 +q 的點電荷所產(chǎn)生的電場中距離點電荷r 處

11、的單位正電荷所受到的電場力的大小為Fkqk 是常數(shù) r2解 : 在 r 軸上 當單位正電荷從r 移動到 r+dr 時電場力對它所作的功近似為kqdrr2即功元素為dWkqdrr2于是所求的功為Wbkqdrkq 1b akq11把ar2rab例 2 在底面積為S 的圓柱形容器中盛有肯定量的氣體在等溫條件下由于氣體的膨脹容器中的一個活塞面積為 S從點 a 處推移到點b 處 運算在移動過程中氣體壓力所作的功解 取坐標系如圖活塞的位置可以用坐標x 來表示由物理學知道肯定量的氣體在等溫條件下壓強 p 與體積 V 的乘積是常數(shù)k即pVk 或pkV解 : 在點 x 處 由于 VxS 所以作在活塞上的力為Fp

12、SkSkxSx當活塞從x 移動到 xdx 時 變力所作的功近似為k xdx即功元素為dWkdxx于是所求的功為例 3 一圓柱形的貯水桶高為Wbkdxk lnx baklnb試問要把桶內(nèi)的水全部吸axa5m 底圓半徑為3m 桶內(nèi)盛滿了水出需作多少功解 作 x 軸如圖 取深度 x 為積分變量 它的變化區(qū)間為 0 5 相應于 0 5上任小區(qū)間 x xdx的一薄層水的高度為 dx 水的比重為 98kN/m3因此如 x 的單位為 m 這薄層水的重力為 983 2dx 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW882xdx此即功元素于是所求的功為W50 88 . 2xdx88. 2x 2 5088 . 225k

13、j 22二、水壓力從物理學知道在水深為 h 處的壓強為ph這里是水的比重假如有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h 處 那么 平板一側所受的水壓力為PpA假如這個平板鉛直放置在水中那么由于水深不同的點處壓強p 不相等所以平板所受水的壓力就不能用上述方法運算例 4 一個橫放著的圓柱形水桶桶內(nèi)盛有半桶水設桶的底半徑為R 水的比重為運算桶的一個端面上所受的壓力解 桶的一個端面是圓片 與水接觸的是下半圓 取坐標系如圖在水深 x 處于圓片上取一窄條 其寬為 dx 得壓力元素為dP2xR2x2dx所求壓力為2PR 023xR2x 2dxRR 2x21 2dR2x 20R 2x2R 02 R 3323三、

14、引力從物理學知道 質(zhì)量分別為 m 1、 m 2 相距為 r 的兩質(zhì)點間的引力的大小為F G mr 1 m2 2其中 G 為引力系數(shù) 引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向假如要運算一根細棒對一個質(zhì)點的引力 那么 由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的 就不能用上述公式來運算例 5 設有一長度為 l 、線密度為的勻稱細直棒 在其中垂線上距棒 a 單位處有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點 M 試運算該棒對質(zhì)點 M 的引力例 5 求長度為 l、線密度為的勻稱細直棒對其中垂線上距棒 a 單位處質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M 的引力解 取坐標系如圖 使棒位于 y 軸上 質(zhì)點 M 位于 x 軸上 棒的中點為原