高中數學必修二 第八章 知識總結及測試（含答案）

1、第八章 知識總結及測試思維導圖單元測試一、單選題（每題5分，8題共40分）1（2020全國高一課時練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）A是棱臺B是圓臺C是四面體D不是棱柱【答案】C【解析】圖不是由棱錐截來的，所以不是棱臺；圖上、下兩個面不平行，所以不是圓臺；圖是四面體.圖前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以是棱柱.故選：C.2（2020全國高一課時練習）已知兩個平面相互垂直，下列命題一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面過一個平面內任意

2、一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題個數是（）A1B2C3D4【答案】A【解析】由題意，對于，當兩個平面垂直時，一個平面內的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內的任意一條直線，故錯誤； 對于，設平面平面=m，n，l， 平面平面， 當lm時，必有l(wèi)，而n， ln， 而在平面內與l平行的直線有無數條，這些直線均與n垂直，故一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線，即正確； 對于，當兩個平面垂直時，一個平面內的任一條直線不不一定垂直于另一個平面，故錯誤； 對于，當兩個平面垂直時，過一個平面內任意一點作交線的垂線，若該直線不在第一個平面內，則此直線不一定垂直于另一個平

3、面，故錯誤； 故選A3（2021全國高一）已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【解析】若,可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，所以，故D正確.故選:D4（2020全國高一課時練習）已知正三棱柱，為的外心，則異面直線與所成角的大小為（ ）A30B60C45D90【答案】D【解析】如圖，是等邊三角形，且為的外心，是的垂心，且平面，平面，平面，且平面，異面直線與所成角的大小為故選：D5（2020全國高一課時練習）已知三棱錐，面面，則三棱錐外接球的表面積（ ）ABCD【

4、答案】C【解析】如下圖所示，取的中點，連接、，為的中點，平面平面，交線為，平面，平面，,為外接圓圓心，則球心在直線上，設三棱錐外接球的半徑為，則，則，在中，由勾股定理得，即，解得，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.6（2020青銅峽市高級中學）如圖所示，AB是O的直徑，VA垂直于O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是（ ）AMNABBMN與BC所成的角為45COC平面VACD平面VAC平面VBC【答案】D【解析】M，N分別為VA，VC的中點，在中有，在面中，MN不與AB平行；，知：MN與BC所成的角為；因為面，與平面內交線都不

5、垂直，OC不與平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故選：D7（2020全國高一課時練習）已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為，設四面體的表面積為，則等于（ ）ABCD【答案】A【解析】如圖所示，正四面體四個面的中心分別為、，四面體也是正四面體連接并延長與交于點，連接并延長與交于點、分別為面的中心，又，面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為；故選：8（2020四川省資中縣第二中學）古希臘數學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數學發(fā)現(xiàn)，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中

6、，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為（ ）ABCD【答案】B【解析】設球的半徑為r，則由題意可得球的表面積為，所以r1，所以圓柱的底面半徑為1，高為2，所以最多可以注入的水的體積為.故選：B.二、多選題（每題不止一個選擇為正確答案，每題5分，4題共20分）9（2020廣東汕頭市金山中學）已知直三棱柱中，是的中點，為的中點.點是上的動點，則下列說法正確的是（ ）A當點運動到中點時，直線與平面所成的角的正切值為B無論點在上怎么運動，都有C當點運動到中點時，才有與相交于一點，記為，且D無論點在上怎么運動，直線

7、與所成角都不可能是30【答案】ABD【解析】直三棱柱中，選項A中，當點運動到中點時，有E為的中點，連接、，如下圖示即有面直線與平面所成的角的正切值：，故A正確選項B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示由題意知，為正方形，即有而且為直三棱柱，有面，面，又面，面，故同理可證：，又面，又面，即有，故B正確選項C中，點運動到中點時，即在中、均為中位線Q為中位線的交點根據中位線的性質有：，故C錯誤選項D中，由于，直線與所成角即為與所成角：結合下圖分析知：點在上運動時當在或上時，最大為45當在中點上時，最小為不可能是30，故D正確故選：ABD10（2020全國）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂

8、點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形是（ ）ABCD【答案】AD【解析】在A中，連接AC，則ACMN，由正方體性質得到平面MNP平面ABC，AB平面MNP，故A成立；對于B，若下底面中心為O，則NOAB，NO面MNPN，AB與面MNP不平行，故B不成立；對于C，過M作MEAB，則E是中點，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，AB與面MNP不平行，故C不成立；對于D，連接CE，則ABCE，NPCD，則ABPN，AB平面MNP，故D成立.故選：AD.11（2020平潭縣新世紀學校）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點，則下列選項中正確

9、的是（ ）AACB1EBB1C平面A1BDC三棱錐C1B1CE的體積為D異面直線B1C與BD所成的角為45【答案】AB【解析】如圖，ACBD，ACBB1，AC平面BB1D1D，又B1E平面BB1D1D，ACB1E，故A正確；B1CA1D，A1D平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD，故B正確；三棱錐C1B1CE的體積為，故C錯誤；BDB1D1，CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，又CB1D1是等邊三角形，異面直線B1C與BD所成的角為60，故D錯誤.故選：AB.12（2020全國高一課時練習）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE

10、，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（ ）AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEHDHG平面AEF【答案】BC【解析】由題意可得：AHHE，AHHF.AH平面EFH，而AG與平面EFH不垂直.B正確，A不正確.又HFHE，HF平面AHE，C正確.HG與AG不垂直，因此HG平面AEF不正確.D不正確.故選：BC.三、填空題（每題5分，4題共20分）13（2021山東高三專題練習）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體

11、積是_cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為： 14（2021浙江高一期末）如圖，點E是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結論正確的有_直線與直線始終是異面直線存在點，使得四面體的體積為定值當時，平面平面【答案】.【解析】對于：連接交于點，當點在點時直線與直線相交，故不正確，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的邊長為，則，對于：，假設存在點，使得，所以，解得，所以當時，故正確；對于：連接、交于點，因為點E是棱的中點，此時，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故正確；對于：當時，設平面的法向量為，由 令，可得，可得，設平面的法

12、向量為，由解得:，令 可得，所以，因為，所以平面平面，故正確；故答案為：.3（2021浙江紹興市高二期末）如圖，已知直四棱柱的所有棱長均相等，E是棱的中點，設平面經過直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_【答案】【解析】由直四棱柱的所有棱長均相等，所以是菱形，連接，且， 所以，因為平面，平面，所以，且，所以平面，取的中點，連接，連接交與，所以，且是的中點，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分別取的中點，連接交與點，即為的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因為，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以

13、，所以異面直線與所成的角即與所成的角，設，則直四棱柱的所有棱長均為2，由，所以，且，由余弦定理得.故答案為：.16（2021黑龍江哈爾濱市哈爾濱三中）已知四棱錐的底面是矩形，其中，側棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為_.【答案】【解析】如圖，因為，故或其補角為異面直線與所成的角，因為平面，平面，故，故為銳角，故，故，故.將該四棱錐補成如圖所示的長方體：則該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，故表面積為.故答案為：.四、解答題（第17題10分，其余每題12分，共70分）17（2020全國高一課時練習）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，PBPD，E，F(xiàn)分別

14、為AB和PD的中點.（1）求證：EF平面PBC；（2）求證：平面PBD平面PAC【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）取PC的中點G，連接FG，BG，如圖所示：F是PD的中點，F(xiàn)GCD，且，又底面ABCD是菱形，E是AB中點，BECD，且，BEFG，且BEFG，四邊形BEFG是平行四邊形，EFBG，又EF平面PBC，BG平面PBC，EF平面PBC；（2）設ACBDO，則O是BD中點，連接PO，底面ABCD是菱形，BDAC，又PBPD，O是BD中點，BDPO，又ACPOO，AC平面PAC，PO平面PAC，BD平面PAC，BD平面PBD，平面PBD平面PAC.18（202

15、0山東菏澤市菏澤一中高一月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面底面ABCD，M是PD的中點.（1）求證：平面PCD；（2）求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）在正方形ABCD中，又側面底面ABCD，側面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中點，所以，又，所以平面PCD.（2）取AD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，則，所以，又在正中，平面PEF，正方形ABCD中，平面PEF，是側面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，由平面PAD，平面PEF，平面PAD，

16、.設正方形ABCD的邊長，則，所以，所以,即側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為.3（2020盤錦市第二高級中學高二月考）如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC.（1）求證：平面平面PBC；（2）若，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）由題意，因為面ABC，面ABC，又，即，平面PAC，平面PBC，平面平面PBC.（2）取PC的中點D，連接AD，DM.由（1）知，平面PAC，又平面PAC，.而.平面PBC，所以DM是斜線AM在平面PBC上的射影，所以是AM與平面PBC所成角，且，設，則由M是PB中點得，所以，即AM與平面PBC所成

17、角的正切值為.20（2020全國高一課時練習）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點.（1）求證;（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）由題意，根據折疊前后，可得，又，所以平面，又由平面，所以（2）由（1）可知，平面，所以三棱錐的高，又折前為，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以，所以.21（2021浙江月考）已知四邊形，將沿翻折至.（）若，求證：；（）若二面角的余弦值為，求與面所成角的正弦值.【答案】（）證明見解析；（）.【解析】（）取的中點E，連接，不妨設，則，即因為，所以，則，又因為，所以，且，面，面，則.（）取的中點O，連接， 不妨設，則，即因為，則，又因為O為中點，E為的中點，則，所以，所以為二面角的平面角.因此以點O為坐標原點，以，分別為x，y，z軸建空間直角坐標系如圖：，設面的法向量為， 則，所以，令，則，所以面