費馬數(shù)的教學(xué)設(shè)計

1、費馬數(shù)的教學(xué)設(shè)計近幾十年來，數(shù)論在代數(shù)編碼、密碼學(xué)、信號的數(shù)字處理、計算機科學(xué)、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)得到廣泛的應(yīng)用，尤其值得一提的是許多較深刻的結(jié)果都得到了應(yīng)用，并收到了意想不到的良好效果。注意到這些情形，教師在講授初等數(shù)論課程時，除了包含通常初等數(shù)論教科書所共同具有的最基本的內(nèi)容外，應(yīng)該適當(dāng)拓展新的內(nèi)容，以適應(yīng)不斷發(fā)展的理論和應(yīng)用方面的需要。在講解那些熟知的經(jīng)典結(jié)果的同時，也要注意介紹新的證明方法和近代的進展，并盡可能地提到它們的應(yīng)用，從而有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，這就是我們設(shè)計這堂課的主要意圖。費馬數(shù)是初等數(shù)論在介紹素數(shù)性質(zhì)時所給出的一個重要例子，本文以費馬數(shù)為例進行教學(xué)設(shè)計。二、趣味引入大家

2、都知道，核導(dǎo)彈爆炸的威力無疑是驚人的，因而核導(dǎo)彈的安全問題就顯得至關(guān)重要了。各個國家的核導(dǎo)彈都由安全性能極高的密碼系統(tǒng)所控制，而數(shù)論已成為控制成千上萬顆核導(dǎo)彈密碼系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。實踐證明，最好的密碼之一是利用大素數(shù)制造的，極難破譯。那么，什么是素數(shù)呢？如何快捷有效地產(chǎn)生一些大素數(shù)以用于密碼設(shè)計呢？就讓我們首先做一下知識回顧。三、知識回顧.素數(shù)及合數(shù)的定義：一個大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫做素數(shù)，否則就叫做合數(shù)。常見的素數(shù)，如2、3、5、7、11、13、17、19、23、27、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.算術(shù)

3、基本定理：任意一個大于1的正整數(shù)都可以表示成一些素數(shù)的乘積，而且如果把這些素因子按從小到大的順序排列后，表示方法是唯一的，如6936=23X3X172。從這個意義上講，如果研究清楚了素數(shù)的性質(zhì)，自然數(shù)的性質(zhì)從某種程度上講也就清楚了。早在古希臘時期的歐幾里德首先證明了有無窮多個素數(shù)。但是令人遺憾的是他并沒有找到素數(shù)的模型或產(chǎn)生素數(shù)的有效工具。要是有一個公式能夠表示出所有的素數(shù)，那該多好??！于是一場尋找素數(shù)公式的風(fēng)潮席卷數(shù)學(xué)界數(shù)百年的研究歷史。四、概念的表述截至2015年4月，人們也僅僅發(fā)現(xiàn)了區(qū)區(qū)280個費馬合數(shù)以及322個費馬數(shù)的素因子。這在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)達的21世紀，簡直是不可想象的！于是人們

4、更傾向于認為“從第6項開始，費馬數(shù)全部是合數(shù)”以及“存在無窮多個費馬合數(shù)”等結(jié)論，但遺憾的是至今都沒有嚴格的證明。而這些結(jié)論倘若與費馬當(dāng)初的猜想去比較的話，很容易會發(fā)現(xiàn)二者相去甚遠，這就不免讓人開始擔(dān)心這將會毀了費馬的一世英名。然而費馬素數(shù)后來鬼魅般的出現(xiàn)在了另一個古老而又著名的數(shù)學(xué)問題尺規(guī)作圖。五、應(yīng)用.簡單介紹尺規(guī)作圖的發(fā)展歷程：這里演示一下正5邊形的尺規(guī)作圖法。古希臘人對于用沒有刻度的直尺和圓規(guī)做正多邊形的方法十分感興趣：利用正3邊形，能做出具有3X2n個頂點的正多邊形；利用正4邊形，能做出具有4X2n個頂點的正多邊形；利用正5邊形，能做出具有5X2n個頂點的正多邊形；利用正15多邊形，

5、能做出15X2n個頂點的正多邊形。因此我們很自然的會問，是否所有的正n邊形，都可以尺規(guī)作圖？如果不能，哪些正n邊形可以，哪些不可以？.費馬素數(shù)與尺規(guī)作圖：1796年，年僅19歲的高斯證明了做出正17邊形的可能性，從而首次在這一兩千年來懸而未決的問題上做出了重大突破！5年后的1801年，高斯又給出了一個正n邊形可尺規(guī)作圖的充分條件：當(dāng)奇數(shù)n是一個費馬素數(shù)，或是若干個不同的費馬素數(shù)的乘積時，正n邊形才能尺規(guī)作圖。對奇數(shù)n,這一條件后來被證明也是必要的。費馬數(shù)居然不可思議地出現(xiàn)在了用直尺和圓規(guī)做正多邊形這樣一個完全不同的問題當(dāng)中。從這個定理的結(jié)果可以看出：正3邊形和正5邊形可以做出，因為3和5都是費

6、馬素數(shù)；但卻不能做出正7邊形，因為7不是費馬素數(shù)；也不能做出正9邊形，因為9=3X3是兩個相同的費馬素數(shù)的乘積；也不能做出正11邊形和正13邊形，因為11和13都不是費馬素數(shù)；但可以做出正15邊形，因為15=3X5是兩個不同的費馬素數(shù)的乘積；也可以做出正17邊形，因為17是費馬素數(shù)；然后能夠用直尺和圓規(guī)作圖的正多邊形依次是正51邊形、正85邊形、正255邊形、正257邊形等。這里需要指出的是高斯本人實際上并未給出正17邊形的具體作圖法，第一個真正的正17邊形尺規(guī)作圖法直到1825年才由約翰尼斯厄欽格(JohannesErchinger)給出。六、結(jié)論素數(shù)公式是能夠表示出所有素數(shù)的公式，具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。費馬數(shù)猜想是費馬試圖給出素數(shù)公式的重要嘗試，歷史發(fā)展證明了這是偉大的費馬在這一問題上所犯的一次美麗的“錯誤”，但是，同樣偉大的高斯卻出人意料地把它用于尺規(guī)作圖，從而從某種意義上“救贖”了費馬的“錯誤”，所以在課程設(shè)計時要重點讓學(xué)生理