二章極限與連續(xù)

1、二章極限與連續(xù)二章極限與連續(xù)第2頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。第2頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。 從以上幾例可以看出, 隨著 n 逐漸增大時(shí), 數(shù)列有著各自的變化趨勢(shì). 當(dāng) n 無限增大時(shí) , 數(shù)列(1)、(5) “無限接近”數(shù) 0; 數(shù)列(2)、(6)、(7) “無限接近” 數(shù)1; 數(shù)列(3) “無限增大”; 數(shù)列(4) 在數(shù) 0和 1間擺動(dòng).在幾何上, an 表示數(shù)軸上一列點(diǎn),也可以把(n ,an ) 看成平面上的點(diǎn). o1數(shù)列on1第3頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。 從以上幾例可以看出, 隨著 n 逐漸增大時(shí),no11數(shù) 列on112 11oo 第4頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。no11數(shù) 列on112 結(jié)論 當(dāng) n 無限增大

2、時(shí) ,數(shù)列的變化趨勢(shì)有三種情形： an 無限增大; an 的變化趨勢(shì)不定; an“無限接近”某個(gè)常數(shù) A . 此時(shí)我們說數(shù)列 an 當(dāng) n 無限增大時(shí), 以常數(shù) A 為極限.這便是數(shù)列極限的直觀描述.on11數(shù)列0 1第5頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。結(jié)論 當(dāng) n 無限增大時(shí) ,數(shù)列的變(二)、數(shù)列極限的直觀描述1.直觀描述:對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)n 無限增大時(shí),無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱數(shù)列收斂于，或稱當(dāng)趨于無窮大時(shí)，數(shù)列以為極限。記作 否則，稱數(shù)列發(fā)散。2. 上面數(shù)列(1), (5)和 (6) 收斂于 0; 數(shù)列(2), (7)收斂于1; 數(shù)列(3), (4)發(fā)散.第6頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。(二)、數(shù)列

3、極限的直觀描述1.直觀描述:對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)n 3、舉例例1 判斷下列數(shù)列極限 2、 3、 4、解：1、 2、 3、不存在 不存在4 、第7頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。3、舉例 2、 3、 4、解：注意: (1)關(guān)于”n”無限增大”，所謂無限增大當(dāng)然是想要多大就有多大，因此有限數(shù)列沒有極限；另外，無限增大我們還很在乎“增大”，例如1，2，100000，1/100000，2/100000，3/100000，.1，1，1，1，.1001，1002，1003，1004，不管前面的有限項(xiàng)如何，只看后面的無窮項(xiàng)。即不管給一個(gè)多么大的N或多么小的N，只要nN后，有f(n)與A無限接近就行了 (2)關(guān)于“無限接近”

4、：當(dāng)然是指an 與的距離是越來越小，都成立要有多小就有多小，換句話說，隨便給一個(gè)多么小的正數(shù)，(3) “一個(gè)確定的常數(shù)” 表明數(shù)列的極限是唯一的.第8頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。注意: (1)關(guān)于”n”無限增大”，所謂無限增大當(dāng)然是想(三)、數(shù)列極限的N定義 通過上面的討論，我們可以用數(shù)學(xué)語言把它敘述出來：，如果任意給定的正數(shù)，時(shí)， 恒成立，則稱數(shù)列當(dāng)趨于無窮大時(shí)，以常數(shù)為極限。定義2.2: 對(duì)于數(shù)列也稱數(shù)列收斂于A.記 否則，稱數(shù)列發(fā)散?？偞嬖谝粋€(gè)正整數(shù)N，當(dāng)?shù)?頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。(三)、數(shù)列極限的N定義 通過上面的討論，我因不等式 |an-A| N)可改寫成 A-an N), 則幾何意義若把 a

5、n 看成數(shù)軸上的點(diǎn), 在數(shù)軸上任意取定A的 鄰域, aN 以后的所有點(diǎn)都落在 A 的 鄰域內(nèi). A+AA第10頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。因不等式 |an-A| N)可改寫成 A- N時(shí), 所有點(diǎn) (n,an)都落在兩直線所形成的帶形區(qū)域內(nèi).如圖AA+ANno第11頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。(2) 若把 (n,an) 看成平面上的點(diǎn), 在平面上取例2 利用定義證明 證明：要使，只須 故：任給，總存在，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此 得證。第12頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。例2 利用定義證明 證明：要使，只須 例3 證明 事實(shí)上： 任給 恒成立得證。(C為常數(shù))故第13頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。例3 證明 事實(shí)上： 任給 恒成立得證。

6、(C為常 數(shù)列極限是考察數(shù)列在n 這一過程中的變化總趨勢(shì)(即有無極限). 而對(duì)于函數(shù)y=(x), 當(dāng)考察它的變化總趨勢(shì)時(shí), 因自變量的連續(xù)變化過程有許多情況, 如x, x -, x 0, x x0+, x x0- 等.二.函數(shù)的極限如圖ooxxyy第14頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。 數(shù)列極限是考察數(shù)列在n 這一過程中的變化ooxxy 由以上幾例可看得出, 同一個(gè)函數(shù)的自變量在不同的變化過程中, 相應(yīng)的函數(shù)變化趨勢(shì)不一樣, 因而有必要分情況考察.(一). x 時(shí)函數(shù)(x)的極限 1.直觀描述：對(duì)函數(shù)(x), 當(dāng)x取正值無限增大時(shí)(即x ), 如果(x)無限接近某常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)(x)當(dāng) x 時(shí)的極

7、限.第15頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。ooxxy 由以上幾例可看得出, 同一個(gè)函數(shù)的注：函數(shù)y =(x)當(dāng) x+ 時(shí)有極限與數(shù)列極限的不同點(diǎn)在于自變量一個(gè)是連續(xù)遞增的, 一個(gè)是取自然數(shù)遞增的(是函數(shù)極限的特殊情形). 2.函數(shù)(“M”)定義仿數(shù)列“N”定義有如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)恒成立，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限為。 例如記作 不存在第16頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。注：函數(shù)y =(x)當(dāng) x+ 時(shí)有極限與數(shù)列極限的不同及y =A+.則總存在區(qū)(M,+) ,可作兩條直線y=A幾何意義oxyA+AAMy=(x)當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線介于這兩條直線之間(二)、時(shí)f(x)的極限第17頁(yè)，共28頁(yè)幻燈

8、片。及y =A+.則總存在區(qū)(M,+) ,可作兩條直線y=A1.直觀描述: 對(duì)函數(shù) (x), 當(dāng)x取負(fù)值而絕對(duì)值無限增大時(shí)(即x),如果(x)無限接近某常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)(x)當(dāng)x 時(shí)的極限.2.函數(shù) (“M”)定義 設(shè)函數(shù)(x), 當(dāng)xa時(shí)有定義. 使得當(dāng)xM時(shí),|(x)A|a時(shí)有定義. 對(duì) 當(dāng)|x|M 時(shí), |(x)A| 恒成立. 則稱函數(shù)(x)當(dāng) x 時(shí)以A為極限. 記為又有是否有呢？ (三). x 時(shí)函數(shù)(x)的極限 第19頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。問題：如果既有1.定理.函數(shù)y =(x)當(dāng)x 時(shí)極限存幾何意義如右圖.oxyA+AAMMy=(x)第20頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。幾何意義如右圖.

9、oxyA+AAMMy=(x)第20(四). xx0 時(shí)函數(shù)(x)的極限當(dāng)x從大于1和小于1的方向趨于1即當(dāng)x 1時(shí),函數(shù)(x)無限接近于1.oxy11 y = x(1,1)首先,考察 函數(shù) y =(x) = x (如右圖)1、直觀描述：設(shè)函數(shù)在的附近有定義，如果當(dāng)無限接近于但不等于時(shí)，無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)函數(shù)以為極限. 記作第21頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。(四). xx0 時(shí)函數(shù)(x)的極限當(dāng)x從大于1和2、分析定義： 無限接近于一個(gè)確定的常數(shù),與前面的無限接近于時(shí)”，即當(dāng)與的距離很小當(dāng)有一個(gè)很小的正數(shù)，時(shí). 又不等于，即 亦即當(dāng)有一個(gè)正數(shù),時(shí). 2). “當(dāng)1).意義一樣.很小時(shí),亦

10、即當(dāng)很小很小時(shí)，換句話說，第22頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。2、分析定義： 無限接近于一個(gè)確定的常數(shù),與前面的無限接近于3.精確定義(“”) 函數(shù)(x)在x0 的某鄰域內(nèi)(可去心)有定義. 恒有| (x) A | 成立.則稱函數(shù)(x)當(dāng) xx0 時(shí)以A為極限.記為第23頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。3.精確定義(“”) 恒有| (x) A |幾何意義即在該去心鄰域內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線一步y(tǒng)=f(x)介于這兩條直線之間, 如下圖.oxyA+AAy=(x)可作兩條直線 y = A及 y=A+. 則在x軸上總存在以 x為心, 為半徑的去心鄰域第24頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。幾何意義即在該去心鄰域內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線一步y(tǒng)=f(x)

11、介于這中所討論的xx0 即x可從 x0 的左右如4. 函數(shù)(x)的左、右極限(1).左極限的直觀描述及精確定義(“”) 當(dāng)x 從 x0 左側(cè)(小于)趨于x0 時(shí) , (x)以A為極限. 則 A是(x)在 x0處的左極限. 記為“”定義則只能考察 x 從 0 的右側(cè)趨于0 時(shí)的極限. 因而必須引進(jìn)左、右極限的概念.兩側(cè)趨于x0 . 但有時(shí)可考察 x 僅從x0 的左側(cè)或右側(cè)趨近時(shí)函數(shù)(特別是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處)的極限. 或當(dāng)時(shí)，恒成立.第25頁(yè)，共28頁(yè)幻燈片。中所討論的xx0 即x可從 x0 的左右如4. 函數(shù)(x(2).右極限的直觀描述及精確定義(“”) 當(dāng)x從 x0 右側(cè)(大于)趨于x0 時(shí) , (x)以A為極限. 則 A是(x)在 x0 處的右極限. 記為“”定義(3).左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.它們之間有如下關(guān)系:定理2.1 函數(shù)y = (x)當(dāng) xx0 時(shí)極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y = (x)的左極限和右極限都存在且等于A. 即 或當(dāng)時(shí)，恒成