二章極限與連續(xù)

1、二章極限與連續(xù)二章極限與連續(xù)第2頁，共28頁幻燈片。第2頁，共28頁幻燈片。 從以上幾例可以看出, 隨著 n 逐漸增大時, 數(shù)列有著各自的變化趨勢. 當 n 無限增大時 , 數(shù)列(1)、(5) “無限接近”數(shù) 0; 數(shù)列(2)、(6)、(7) “無限接近” 數(shù)1; 數(shù)列(3) “無限增大”; 數(shù)列(4) 在數(shù) 0和 1間擺動.在幾何上, an 表示數(shù)軸上一列點,也可以把(n ,an ) 看成平面上的點. o1數(shù)列on1第3頁，共28頁幻燈片。 從以上幾例可以看出, 隨著 n 逐漸增大時,no11數(shù) 列on112 11oo 第4頁，共28頁幻燈片。no11數(shù) 列on112 結(jié)論 當 n 無限增大

2、時 ,數(shù)列的變化趨勢有三種情形： an 無限增大; an 的變化趨勢不定; an“無限接近”某個常數(shù) A . 此時我們說數(shù)列 an 當 n 無限增大時, 以常數(shù) A 為極限.這便是數(shù)列極限的直觀描述.on11數(shù)列0 1第5頁，共28頁幻燈片。結(jié)論 當 n 無限增大時 ,數(shù)列的變(二)、數(shù)列極限的直觀描述1.直觀描述:對于數(shù)列，如果當n 無限增大時,無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱數(shù)列收斂于，或稱當趨于無窮大時，數(shù)列以為極限。記作 否則，稱數(shù)列發(fā)散。2. 上面數(shù)列(1), (5)和 (6) 收斂于 0; 數(shù)列(2), (7)收斂于1; 數(shù)列(3), (4)發(fā)散.第6頁，共28頁幻燈片。(二)、數(shù)列

3、極限的直觀描述1.直觀描述:對于數(shù)列，如果當n 3、舉例例1 判斷下列數(shù)列極限 2、 3、 4、解：1、 2、 3、不存在 不存在4 、第7頁，共28頁幻燈片。3、舉例 2、 3、 4、解：注意: (1)關(guān)于”n”無限增大”，所謂無限增大當然是想要多大就有多大，因此有限數(shù)列沒有極限；另外，無限增大我們還很在乎“增大”，例如1，2，100000，1/100000，2/100000，3/100000，.1，1，1，1，.1001，1002，1003，1004，不管前面的有限項如何，只看后面的無窮項。即不管給一個多么大的N或多么小的N，只要nN后，有f(n)與A無限接近就行了 (2)關(guān)于“無限接近”

4、：當然是指an 與的距離是越來越小，都成立要有多小就有多小，換句話說，隨便給一個多么小的正數(shù)，(3) “一個確定的常數(shù)” 表明數(shù)列的極限是唯一的.第8頁，共28頁幻燈片。注意: (1)關(guān)于”n”無限增大”，所謂無限增大當然是想(三)、數(shù)列極限的N定義 通過上面的討論，我們可以用數(shù)學語言把它敘述出來：，如果任意給定的正數(shù)，時， 恒成立，則稱數(shù)列當趨于無窮大時，以常數(shù)為極限。定義2.2: 對于數(shù)列也稱數(shù)列收斂于A.記 否則，稱數(shù)列發(fā)散。總存在一個正整數(shù)N，當?shù)?頁，共28頁幻燈片。(三)、數(shù)列極限的N定義 通過上面的討論，我因不等式 |an-A| N)可改寫成 A-an N), 則幾何意義若把 a

5、n 看成數(shù)軸上的點, 在數(shù)軸上任意取定A的 鄰域, aN 以后的所有點都落在 A 的 鄰域內(nèi). A+AA第10頁，共28頁幻燈片。因不等式 |an-A| N)可改寫成 A- N時, 所有點 (n,an)都落在兩直線所形成的帶形區(qū)域內(nèi).如圖AA+ANno第11頁，共28頁幻燈片。(2) 若把 (n,an) 看成平面上的點, 在平面上取例2 利用定義證明 證明：要使，只須 故：任給，總存在，當時，恒成立，因此 得證。第12頁，共28頁幻燈片。例2 利用定義證明 證明：要使，只須 例3 證明 事實上： 任給 恒成立得證。(C為常數(shù))故第13頁，共28頁幻燈片。例3 證明 事實上： 任給 恒成立得證。

6、(C為常 數(shù)列極限是考察數(shù)列在n 這一過程中的變化總趨勢(即有無極限). 而對于函數(shù)y=(x), 當考察它的變化總趨勢時, 因自變量的連續(xù)變化過程有許多情況, 如x, x -, x 0, x x0+, x x0- 等.二.函數(shù)的極限如圖ooxxyy第14頁，共28頁幻燈片。 數(shù)列極限是考察數(shù)列在n 這一過程中的變化ooxxy 由以上幾例可看得出, 同一個函數(shù)的自變量在不同的變化過程中, 相應的函數(shù)變化趨勢不一樣, 因而有必要分情況考察.(一). x 時函數(shù)(x)的極限 1.直觀描述：對函數(shù)(x), 當x取正值無限增大時(即x ), 如果(x)無限接近某常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)(x)當 x 時的極

7、限.第15頁，共28頁幻燈片。ooxxy 由以上幾例可看得出, 同一個函數(shù)的注：函數(shù)y =(x)當 x+ 時有極限與數(shù)列極限的不同點在于自變量一個是連續(xù)遞增的, 一個是取自然數(shù)遞增的(是函數(shù)極限的特殊情形). 2.函數(shù)(“M”)定義仿數(shù)列“N”定義有如果對于任意給定的正數(shù)，總存在一個正數(shù)，當時恒成立，則稱當時，函數(shù)的極限為。 例如記作 不存在第16頁，共28頁幻燈片。注：函數(shù)y =(x)當 x+ 時有極限與數(shù)列極限的不同及y =A+.則總存在區(qū)(M,+) ,可作兩條直線y=A幾何意義oxyA+AAMy=(x)當 時，對應的函數(shù)曲線介于這兩條直線之間(二)、時f(x)的極限第17頁，共28頁幻燈

8、片。及y =A+.則總存在區(qū)(M,+) ,可作兩條直線y=A1.直觀描述: 對函數(shù) (x), 當x取負值而絕對值無限增大時(即x),如果(x)無限接近某常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)(x)當x 時的極限.2.函數(shù) (“M”)定義 設函數(shù)(x), 當xa時有定義. 使得當xM時,|(x)A|a時有定義. 對 當|x|M 時, |(x)A| 恒成立. 則稱函數(shù)(x)當 x 時以A為極限. 記為又有是否有呢？ (三). x 時函數(shù)(x)的極限 第19頁，共28頁幻燈片。問題：如果既有1.定理.函數(shù)y =(x)當x 時極限存幾何意義如右圖.oxyA+AAMMy=(x)第20頁，共28頁幻燈片。幾何意義如右圖.

9、oxyA+AAMMy=(x)第20(四). xx0 時函數(shù)(x)的極限當x從大于1和小于1的方向趨于1即當x 1時,函數(shù)(x)無限接近于1.oxy11 y = x(1,1)首先,考察 函數(shù) y =(x) = x (如右圖)1、直觀描述：設函數(shù)在的附近有定義，如果當無限接近于但不等于時，無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱當時函數(shù)以為極限. 記作第21頁，共28頁幻燈片。(四). xx0 時函數(shù)(x)的極限當x從大于1和2、分析定義： 無限接近于一個確定的常數(shù),與前面的無限接近于時”，即當與的距離很小當有一個很小的正數(shù)，時. 又不等于，即 亦即當有一個正數(shù),時. 2). “當1).意義一樣.很小時,亦

10、即當很小很小時，換句話說，第22頁，共28頁幻燈片。2、分析定義： 無限接近于一個確定的常數(shù),與前面的無限接近于3.精確定義(“”) 函數(shù)(x)在x0 的某鄰域內(nèi)(可去心)有定義. 恒有| (x) A | 成立.則稱函數(shù)(x)當 xx0 時以A為極限.記為第23頁，共28頁幻燈片。3.精確定義(“”) 恒有| (x) A |幾何意義即在該去心鄰域內(nèi)對應的函數(shù)曲線一步y(tǒng)=f(x)介于這兩條直線之間, 如下圖.oxyA+AAy=(x)可作兩條直線 y = A及 y=A+. 則在x軸上總存在以 x為心, 為半徑的去心鄰域第24頁，共28頁幻燈片。幾何意義即在該去心鄰域內(nèi)對應的函數(shù)曲線一步y(tǒng)=f(x)

11、介于這中所討論的xx0 即x可從 x0 的左右如4. 函數(shù)(x)的左、右極限(1).左極限的直觀描述及精確定義(“”) 當x 從 x0 左側(cè)(小于)趨于x0 時 , (x)以A為極限. 則 A是(x)在 x0處的左極限. 記為“”定義則只能考察 x 從 0 的右側(cè)趨于0 時的極限. 因而必須引進左、右極限的概念.兩側(cè)趨于x0 . 但有時可考察 x 僅從x0 的左側(cè)或右側(cè)趨近時函數(shù)(特別是分段函數(shù)在分段點處)的極限. 或當時，恒成立.第25頁，共28頁幻燈片。中所討論的xx0 即x可從 x0 的左右如4. 函數(shù)(x(2).右極限的直觀描述及精確定義(“”) 當x從 x0 右側(cè)(大于)趨于x0 時 , (x)以A為極限. 則 A是(x)在 x0 處的右極限. 記為“”定義(3).左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.它們之間有如下關(guān)系:定理2.1 函數(shù)y = (x)當 xx0 時極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y = (x)的左極限和右極限都存在且等于A. 即 或當時，恒成