機械可靠性設計分析方法

1、機械可靠性設計分析方法第1頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四4.3 一次二階矩方法求可靠度_工程方法第四章 機械可靠性設計分析方法 4.1干涉面積法4.2 分布代數(shù)4.4 蒙特卡洛模擬方法4.5 變異系數(shù)傳遞規(guī)律第2頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 從可靠度計算的普遍方程可以看出，對于應力和強度比較復雜的分布，由于積分困難，往往難以得出問題的解析解。因此如何采用一些較好的近似方法，能比較方便地求得滿足工程精度要求的零件可靠度的近似解，一直是人們探討的一個問題。 3-1應力和強度概率密度曲線的干涉面積Or, sf(s) g(r)s0= r0f(s)g

2、(r)a1a2應力和強度兩個概率密度函數(shù)的交叉區(qū)，即干涉區(qū)陰影面積的大小，反映了零件或結(jié)構(gòu)可靠度的高低。該面積越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。干涉面積的大小是由兩個概率密度函數(shù)平均值的相對位置及方差決定的?？煽慷瓤煞裢ㄟ^計算該面積的大小給出？第3頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四3-1應力和強度概率密度曲線的干涉面積Or, sf(s) g(r)s0= r0f(s)g(r)a1a24.1干涉面積法設應力、強度兩概率密度函數(shù)曲線的交點橫坐標為s0=r0，并令在應力s、強度r相互獨立的情況下，零件的失效概率(不可靠度)可表示為第4頁，共51頁，2022年，5月20日，2點4

3、8分，星期四第5頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四另一方面，零件的可靠度可表示為第6頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四即有可見，失效概率數(shù)值上不等于干涉區(qū)的陰影面積。 由于可靠度R(t)總是小于(1-a1a2)，所以(1-a1a2)可作為零件可靠度的上限，成為衡量可靠性的一種指標，稱為零件的非失效保證度。 若已知應力和強度的概率密度函數(shù)f(s)、g(r)，便可求出干涉面積a1和a2，由此便可估計出零件的可靠度。第7頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例4-1 設某一零件的強度r和作用在該零件上的應力s均為正態(tài)分布。強度的均值和標準

4、差分別為r =180 Mpa， r 8 Mpa，應力的均值和標準差分別為 s 150 Mpa，s 6 Mpa，試計算該零件的可靠度和非失效保證度。解：由于應力和強度均服從正態(tài)分布，所以有則可靠度為現(xiàn)用干涉面積法估算零件的可靠度，因s0=r0處有f(s0)=g(r0) 所以有第8頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四解得s0=r0=163.5 MPa，因此求得a1和a2分別為第9頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四可靠度的上限RU=0.9976比理論值高萬分之十一，同樣，可靠度下限所以有經(jīng)驗公式該式結(jié)果與理論值相比誤差約為0.14%，可見，干涉面積法得出的零

5、件可靠度近似值 ，精度還是比較高的。 該例應力與強度均為正態(tài)分布，是為了將近似值與理論值比較，該法對其他任何形式的應力和強度的分布均適用 第10頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 強度、應力和它們的干涉變量及其他許多隨機事件往往需要用兩個、三個或更多隨機變量的函數(shù)Z=f(x1, x2, , xn)來描述。 與實數(shù)代數(shù)一樣，隨機變量也可以通過一系列公式進行代數(shù)運算。 4.2 分布代數(shù) 當已知其中每一個隨機變量xi(il，2，n)的均值i和標準差i時，可以通過隨機變量的代數(shù)運算來確定函數(shù)Z=f(xi)的均值z和標準差z，從而運用聯(lián)結(jié)方程求得零件的可靠性系數(shù)和可靠度。第11頁，

6、共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四一、獨立隨機變量的加法 若已知隨機變量X的均值X和標準差X，隨機變量Y的均值Y和標準差Y，可以推導出隨機變量Z=X+Y的均值Z和標準差Z二、獨立隨機變量的減法同樣可以推導出隨機變量Z=X-Y的均值Z和標準差Z第12頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四三、獨立隨機變量的乘法積數(shù)（Z=XY)的均值Z和標準差Z四、獨立隨機變量的除法第13頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 有一含有n個隨機變量的函數(shù)Z=f(x1, x2, , xn)，如果每一個隨機變量的變異系數(shù)Cx=x/x0.1，以及這些隨機變量相互獨立，

7、且都不起主要控制作用，則有概率論的中心極限定理可知，這個多維函數(shù)Z=f(x1, x2, , xn)能夠滿意地服從正態(tài)分布。當已知其中每一個隨機變量的均值i及標準差i ，則可以運用以上隨機變量的代數(shù)運算公式，綜合成為一個含單一隨機變量的函數(shù)，即確定這個單一函數(shù)的均值z和標準差z。綜合方法：先綜合函數(shù)中兩個變量x1和 x2，確定已合成的變量的均值和標準差，接著把上面已得到的合成變量與下一個變量x3綜合起來，求出合成的均值和標準差。依此類推，直到所有的變量都被綜合到單一的變量中去，即求出函數(shù)的均值和標準差。第14頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例4-2 今有一受拉伸載荷的桿件

8、，已知載荷F(F, F )= F(80000, 1200)N， 拉桿直徑d(d, d )=d(40, 0.8)mm，拉桿長 l(l, l ) =l(6000, 60)mm，材料的彈性模量 E(E, E) =E(21104, 3150) Mpa，求在彈性變形范圍內(nèi)拉桿的伸長。解：由胡克定理知，的伸長為其中 設以上各參數(shù)均為相互獨立、服從正態(tài)分布的隨機變量，因此可根據(jù)正態(tài)隨機變量代數(shù)運算公式，對已知參數(shù)逐一合成。第15頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四1）求拉桿的截面面積A(A, A )因此 A(A, A )=A(1256,50.24)mm22）令G=Fl求變量G的均值G和標

9、準差G第16頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四3）令H=AE,求變量H的均值H和標準差H4）計算拉桿伸長的均值和標準差第17頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四即拉桿伸長 (, )= (1.83,0.084)mm 因為正態(tài)分布有一重要特性，即數(shù)據(jù)偏離三倍標準差的可能性很小(概率為0.27%)，幾乎可以忽略，所以在可靠性設計中一般可假設公差=3(為標準差)，即故拉桿伸長為第18頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 若隨機變量Y的函數(shù)比較復雜，計算Y的數(shù)學期望E(Y)和方差D(Y)可能很困難，往往不能簡單地運用它們的定義，把函數(shù)代入積分

10、公式而得出結(jié)果。 對于一個多維隨機變量Y=f(x1, x2, , xn)，用分布代數(shù)的方法，經(jīng)多次綜合求解函數(shù)的均值和方差，計算量很大，比較麻煩，這時可將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，求得近似解。4.3一次二階矩法泰勒級數(shù)近似求解法第19頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 當應力s和強度r均服從正態(tài)分布且相互獨立時，根據(jù)聯(lián)結(jié)方程可方便地求得可靠度系數(shù)，進而求得可靠度R(t)；但當應力s和強度r服從其它分布時，需要知道應力s和強度r或干涉變量Y進行積分。目前許多工程實際中尚缺乏足夠的資料來確定應力和強度的分布，且積分的計算也十分繁雜，當應力和強度的分布未知，僅有足夠的資料來確定它們的

11、一階矩和二階矩 （均值和方差）時，可以采用一次二階矩法來求可靠性指標4.3一次二階矩法泰勒級數(shù)近似求解法第20頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四一維隨機變量函數(shù)的近似求解設y=f(x)在x= （均值）處展開成一泰勒級數(shù)若D(x)很小第21頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例4-3 已知一桿件r的均值r=30mm，標準差r =1.5mm，求斷面面積A的均值A及標準差A。解：面積A=r2，則f(r)=2r， f”(r)=2，可得第22頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 對于一個多維隨機變量y=f(x1, x2, , xn)，獨立隨機

12、變量xi(il，2，n)均值和標準差為i和i 。多維隨機變量函數(shù)的近似求解若D(xi)很小y的數(shù)學期望y的方差因此可靠度系數(shù)：第23頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例4-4 一次二階矩方法求可靠度： 有一根A3鋼的圓形桿件，圓桿直徑d的均值為d = 30mm，標準差為d= 3mm，圓桿的屈服極限r(nóng)的均值 r=290N/mm2，標準差 r= 25N/mm2。 當桿件承受軸向拉力 P=105N（考慮為常量），試求桿件的可靠性指數(shù)和可靠度。解：以極限載荷表示的極限方程為函數(shù)Y的均值和標準差分別為第24頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例4-4解：若假設為

13、正態(tài)分布可靠度查表為：R=0.9906可靠性指數(shù)為：第25頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 習題：一桿受拉力作用，若外力的均值F = 2104 N，標準差為F= 2000N，斷面面積均值 A=1000mm2，標準差 A= 80mm2。 求應力s的均值s和標準差s 。（用矩法）第26頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 蒙待卡洛模擬法是通過隨機變量的統(tǒng)計試驗或隨機模擬，求解數(shù)學、物理和工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法，因此也稱為統(tǒng)計試驗法或隨機模擬法。 蒙特卡洛模擬法是用法國和意大利接境的一個著名賭城蒙特 卡洛(Monte Carlo)命名的。該方法開始應

14、用于40年代，集中研究 是在50年代。由于科學技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了許多復雜的問題，用傳統(tǒng)的數(shù)學方法或物理試驗進行處理有時難以解決，用蒙特卡洛方 法則可有效地解決問題。 4.4 蒙特卡洛模擬方法一、基本原理第27頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 蒙特卡洛模擬的理論基礎來自概率論中的兩個基本定理。 大數(shù)定理：設x1， x2， ， xn，是n個獨立的隨機變量，若它們來 自同一母體，有相同的分布，且具有相同的有限的均值和方差，分 別用和2 表示，則對于任意0有:第28頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四伯努利定理：若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A)，在n次獨立

15、試驗中，事件A發(fā)生的頻數(shù)為m，頻率為W(A)mn，則對于 任意 0有: 蒙特卡洛法從同一母體中抽出簡單子樣來做抽樣試驗，由上兩式知，當n足夠大時，頻率mn 以概率1收斂于P(A)。因此從理論上講，這種方法 的應用范圍幾乎沒有什么限制。第29頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 當用蒙特卡洛法求解某一事件發(fā)生的概率時，可以通過抽樣試驗的辦法得到該事件出現(xiàn)的頻率，作為問題的解。在應用蒙特卡洛方法時，需要進行大量的統(tǒng)計試驗，譬如說1000次，由 人工進行如此之多的試驗會有很多困難，但高速電子計算機的發(fā) 展，為蒙持卡洛模擬提供了強大的工具，使該方法得以用于工程實踐。即便是應用計算機

16、，如何在不影響結(jié)果精度的前提下，減少 計算時間，仍是應用蒙特卡洛法中的重要研究課題。 第30頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 (a)根據(jù)提出的問題確定各變量之間的確定性函數(shù)關(guān)系。 (b)根據(jù)提出的問題構(gòu)造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型，使問題的解對應于該模型中隨機變量的某些特征(例如概率、均值和方差等) 。 (c)根據(jù)模型中各個隨機變量的分布，在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)，實現(xiàn)一次模擬過程所需的足夠數(shù)量的隨機數(shù)。通常先產(chǎn)生均勻 分布的隨機數(shù)，然后生成服從某一分布的隨機數(shù)。二、蒙特卡洛模擬求解步驟:第31頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四(d) 根據(jù)概率

17、模型的特點和隨機變量的分布特性，設計和選取合適的抽樣方法，并對每個隨機變量進行隨機抽樣。這里的抽樣方法有直接抽樣、分層抽樣、相關(guān)抽樣、重要抽樣等。(e) 按所建立的模型進行仿真計算，求出問題的一個隨機解。(f) 統(tǒng)計分折模擬試驗結(jié)果，給出問題的概率解以及解的精度估計。 在可靠性分析和設計中，用蒙特卡洛方法可以確定復雜隨機 變量的概率分布和數(shù)字特征；可以通過隨機模擬估計系統(tǒng)和零件 的可靠度；也可以模擬隨機過程、尋求系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)等。二、蒙特卡洛模擬求解步驟:第32頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四分布名稱 密度函數(shù)f(x)或f(t) 或 0，1均勻分布 1 均勻分布 指數(shù)分布

18、 標準正態(tài)分布 正態(tài)分布 是標準正態(tài)分布抽樣 對數(shù)正態(tài)分布 常見分布函數(shù)隨機變量的隨機抽樣公式第33頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例4-5某鋁合金板的形狀如圖所示。受彎矩作用，其尺寸H、h、均服從正態(tài)分布，分布參數(shù)為：試確定理論應力集中系數(shù) 的分布類型及分布參數(shù)。MM受彎矩作用的鋁合金板三、蒙特卡洛模擬算例第34頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四蒙特卡洛模擬算例的程序框圖開始輸入H、h、 分布的類型及參數(shù);Nj=1分別從H、h和的分布中產(chǎn)生隨機數(shù)Hf , hf , f 計算 的隨機數(shù)j j=N進行分布類型判斷、估計分布參數(shù)輸出 的分布類型和分布參

19、數(shù)結(jié)束j=j+1第35頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四解：理論應立集中系數(shù)的計算公式為蒙特卡洛模擬算例第36頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四由于H、h、均服從正態(tài)分布，所以根據(jù)正態(tài)分布的抽樣公式以及 的計算公式編制計算機程序，上機運行。輸入?yún)?shù)為：模擬次數(shù)N=1000。輸出結(jié)果為： 服從正態(tài)分布，均值為：標準差：即：蒙特卡洛模擬算例第37頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四用蒙特卡洛仿真計算應力和強度為任意分布時的可靠度 任意分布的應力強度模型都可以用蒙特卡洛模擬法求可靠度的近似值，結(jié)果的精度隨模擬的次數(shù)的增多而增高。模擬程序

20、的流程圖如右圖所示。開始輸入應力和強度分布類型和參數(shù)，模擬次數(shù)N,置j=1對應力和強度各產(chǎn)生一個隨機數(shù)xsj和xSj比較xsj和xSj并記下xsjxSj的次數(shù)N1j=N ?輸出R=N1/N結(jié)束j=j+1第38頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四close all; clear all; clc;nsample=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL = normrnd(mu_YL,sig_YL, nsample 1 );mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD = normrnd(mu_QD,sig_QD, nsample 1 );n_OK=0

21、;for j=1:nsample x_YL=y_YL(j); if y_YL(j)y_QD(j); n_OK=n_OK+1; endendy_YLmuhat,y_YLsigmahat,muci,sigmaci = normfit(y_YL);y_QDmuhat,y_QDsigmahat,muci2,sigmaci2 = normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample第39頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四例31 已知某機器零件的應力s和強度S均為正態(tài)分布。其分布參數(shù)分別為s 362 Mpa，s 39 Mpa，r =500 Mpa，r 25 Mpa。試計算零件的

22、可靠度。解：例4-6用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：零件的可靠度：解析解 R0.9984蒙特卡洛方法: N=10000時，R0.9986Normal Vs Normal第40頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 已知應力為對數(shù)正態(tài)分布，應力s 1n(6.205，0.0998) Mpa ，強度為正態(tài)分布，rN(600，60)Mpa。 按圖18-10編制計算機程序，模擬次數(shù)10000。上機計算運行結(jié)果為及0.894。解：例4-7用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormal Vs. Normal第41頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 已知應力為指數(shù)分布，應力

23、s 151.0 Mpa，強度為正態(tài)分布，rN(600，60) Mpa。用蒙特卡洛法求可靠度。 模擬次數(shù)10000。上機計算結(jié)果為0.9399解：例4-8用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：Exp Vs Normal第42頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 已知應力為對數(shù)正態(tài)分布，應力s ln(6.2046，0.2699)，強度為對數(shù)正態(tài)分布， r ln(6.2046，0.2299) 。用蒙特卡洛法求可靠度。 模擬次數(shù)10000。上機計算結(jié)果為0.9225解：例4-9用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormal Vs. LogNormal第43頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四 已知應力為Weibull分布，應力s w(0.001，1.25)，強度為正態(tài)分布， rN(500，150)。用蒙特卡洛法求可靠度。 模擬次數(shù)10000。上機計算結(jié)果為0.8718。解：例4-10用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：Weibull Vs Normal第44頁，共51頁，2022年，5月20日，2點48分，星期四對于這樣一些復雜的多元函數(shù)的統(tǒng)計特征，特別是標準差，即使采用前面所介紹的多維隨機變量函數(shù)均值及標準差的近似解法，也相當繁瑣，