北京師大附中2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)隨機(jī)變量，若，則（ ）ABCD2已知不等式x-balnx(a0)對(duì)任意x(0,+)恒成立，則A1-ln2B1-ln33中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)的播出引發(fā)了全民讀書(shū)熱，某學(xué)校語(yǔ)文老師在班里開(kāi)展了一次詩(shī)詞默寫(xiě)比賽，班里40名學(xué)生得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖如右

2、圖，若規(guī)定得分不低于85分的學(xué)生得到“詩(shī)詞達(dá)人”的稱(chēng)號(hào)，低于85分且不低于70分的學(xué)生得到“詩(shī)詞能手”的稱(chēng)號(hào)，其他學(xué)生得到“詩(shī)詞愛(ài)好者”的稱(chēng)號(hào).根據(jù)該次比賽的成績(jī)按照稱(chēng)號(hào)的不同進(jìn)行分層抽樣抽選10名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得“詩(shī)詞能手”稱(chēng)號(hào)的人數(shù)為（）A6B5C4D24甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為0.6,0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率是()A0.45B0.6C0.65D0.755在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說(shuō)：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說(shuō)：“你做對(duì)了！”丙說(shuō)：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f(shuō)：“

3、你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了，有且只有一人說(shuō)對(duì)了.”請(qǐng)問(wèn)下列說(shuō)法正確的是（ ）A乙做對(duì)了B甲說(shuō)對(duì)了C乙說(shuō)對(duì)了D甲做對(duì)了6函數(shù)有極值的充要條件是 （ ）ABCD7已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形的半徑為（ ）A7B6C5D48已知命題，總有，則為（）A 使得B 使得C 總有D,總有9已知n，下面哪一個(gè)等式是恒成立的（）ABCD10變量與的回歸模型中，它們對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的值如下，其中擬合效果最好的模型是（ ）模型12340.480.150.960.30A模型1B模型2C模型3D模型411下列說(shuō)法：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差也變?yōu)樵瓉?lái)的倍；設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位

4、時(shí)，平均減少個(gè)單位；線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，若位于區(qū)域的概率為，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為 在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D412下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）命題“若，則”；命題“且為真，則有且只有一個(gè)為真命題”；命題“所有冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)”；命題“已知是的充分不必要條件”.A1B2C3D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在西非“埃博拉病毒的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試

5、驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：感染未感染合計(jì)服用104050未服用203050合計(jì)3070100附：0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635根據(jù)上表，有_的把握認(rèn)為“小動(dòng)物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.14已知，則_15已知，N*，滿足，則所有數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是_16不等式的解集是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）現(xiàn)從某高中隨機(jī)抽取部分高二學(xué)生,調(diào)査其到校所需的時(shí)間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時(shí)間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學(xué)生到校所需時(shí)間不少于1小時(shí),則可申

6、請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿.若該校錄取1200名新生,請(qǐng)估計(jì)高二新生中有多少人可以申請(qǐng)住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學(xué)校的高二新生中任選4名學(xué)生,用表示所選4名學(xué)生中“到校所需時(shí)間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望18（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（）求橢圓方程；（）記與的面積分別為和，求的最大值.19（12分）設(shè)，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.20（12分）若，求證：21（12分）已知二項(xiàng)式（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）設(shè)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為求的值。22（10分） 選修4-4

7、：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】， 即，所以，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵2、C【解析】構(gòu)造函數(shù)gx=x-alnx-b，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=gx的最小值，由gxmin0得出【詳解】構(gòu)造函數(shù)gx=x-alnx-b，由

8、題意知當(dāng)a0，gx0，此時(shí)，函數(shù)y=g當(dāng)x0時(shí)，gx-，此時(shí)，當(dāng)a0時(shí)，令gx=當(dāng)0 xa時(shí)，gxa所以，函數(shù)y=gx在x=a處取得極小值，亦即最小值，即gba-alna，構(gòu)造函數(shù)ha=1-lna-2令ha=0，得a=2。當(dāng)0a2時(shí)，ha此時(shí)，函數(shù)y=ha在a=2處取得極大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值為-ln2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用，滲透了分類(lèi)討論的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決函數(shù)不等式恒成立的常用方法，考查分析問(wèn)題的能力，屬于難題。3、C【解析】有莖葉圖，找出獲得“詩(shī)詞能手”的稱(chēng)號(hào)的學(xué)生人數(shù)，求得概率，再利用

9、分層抽樣求得答案.【詳解】由莖葉圖可得，低于85分且不低于70分的學(xué)生共有16人，所以獲得“詩(shī)詞能手”的稱(chēng)號(hào)的概率為： 所以分層抽樣抽選10名學(xué)生，獲得“詩(shī)詞能手”稱(chēng)號(hào)的人數(shù)為： 故選C【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖以及分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，則.目標(biāo)是被甲擊中的概率是故選D.5、B【解析】分三種情況討論：甲說(shuō)法對(duì)、乙說(shuō)法對(duì)、丙說(shuō)法對(duì)，通過(guò)題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【詳解】分以下三種情況討論：甲的說(shuō)法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；乙的說(shuō)法正確，則甲的說(shuō)法錯(cuò)

10、誤，則甲做對(duì)了，丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，矛盾；丙的說(shuō)法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類(lèi)討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.6、C【解析】因?yàn)?，所以，即，?yīng)選答案C7、B【解析】求得圓心角的弧度數(shù)，用求得扇形半徑.【詳解】依題意為，所以故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查角度制和弧度制轉(zhuǎn)化，考查扇形的弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】利用全稱(chēng)命題的否定解答即得解.【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題可知，p為x00，使得（x0+1）1，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱(chēng)命題的否定，

11、意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.9、B【解析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)可對(duì)各選項(xiàng)中的等式的正誤進(jìn)行判斷.【詳解】由組合數(shù)的定義可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由排列數(shù)的定義可知，B選項(xiàng)正確；由組合數(shù)的性質(zhì)可知，則C、D選項(xiàng)均錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)、組合數(shù)的定義以及組合數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查對(duì)這些公式與性質(zhì)的理解應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】分析：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，最大，則其擬合效果最好，進(jìn)行判斷即可詳解：線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大；越小，相關(guān)程度越小，模型3的相關(guān)系數(shù)最大，模擬效果最好，故選：A點(diǎn)睛：本題主要考查線性回歸系數(shù)的性質(zhì)，在線性回

12、歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大；越小，相關(guān)程度越小11、B【解析】逐個(gè)分析，判斷正誤將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的倍；設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位；線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；線性相關(guān)系數(shù)越接近于，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱；服從正態(tài)分布，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為；在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好【詳解】將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的倍，錯(cuò)誤；設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位，正確；線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；線性相關(guān)系數(shù)越接近于，

13、兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，錯(cuò)誤；服從正態(tài)分布，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為，錯(cuò)誤；在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好；正確故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有標(biāo)準(zhǔn)差，線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)，正態(tài)分布等，比較綜合，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】令，研究其單調(diào)性判斷.根據(jù)“且”構(gòu)成的復(fù)合命題定義判斷.根據(jù)冪函數(shù)的圖象判斷.由，判斷充分性，取特殊值判斷必要性.【詳解】令，所以在上遞增所以，所以，故正確.若且為真，則都為真命題，故錯(cuò)誤.因?yàn)樗袃绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故正確.因?yàn)?，所以，故充分性成立，?dāng)時(shí)，推不出，所以不必要，故正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，還考查了理解辨析的能力，屬于

14、基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、95%【解析】先由題中數(shù)據(jù)求出，再由臨界值表，即可得出結(jié)果.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，根據(jù)臨界值表可得：犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.即有95%的把握認(rèn)為“小動(dòng)物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.故答案為95%【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的問(wèn)題，會(huì)由公式計(jì)算，能分析臨界值表即可，屬于常考題型.14、.【解析】分析：對(duì)函數(shù)的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而得到的值.詳解：因?yàn)?，所?，令，得到，解得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，運(yùn)用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)

15、題.15、4；【解析】因?yàn)?，即，所以，因?yàn)橐阎?，N*，所以，繼而討論可得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)橐阎?，N*，所以，又，故有以下情況：若，得：，若得：，若得：，若得：，即的值共4個(gè)【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)論中的計(jì)數(shù)問(wèn)題，是創(chuàng)新型問(wèn)題，對(duì)綜合能力的考查要求較高16、【解析】分析：把不等式化為同底的不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解詳解：原不等式可以化為，所以，故或者，不等式的解集為，填點(diǎn)睛：一般地，對(duì)于不等式，（1）如果，則原不等式等價(jià)于 ；（2）如果，則原不等式等價(jià)于 .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)

16、頻率分布直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；（2）根據(jù)上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率估計(jì)住校人數(shù)；（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得出分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望.詳解：(1)由直方圖可得,.(2)新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為:,估計(jì)1200名新生中有180名學(xué)生可以申請(qǐng)住.(3)的可能取值為,有直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于40分鐘的概率為,則的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望.點(diǎn)睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.18、（）;（）.【解析】（）因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn)，所以，又，所以，所以橢圓方程為. （）當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí),此時(shí),. 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方

17、程為，設(shè)，直線與橢圓方程聯(lián)立得，消掉得，顯然，方程有根，且此時(shí). 上式，（時(shí)等號(hào)成立），所以的最大值為.19、（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知的極大值為；（2） ，就分類(lèi)討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導(dǎo)數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的極大值為.（2），若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；若，有唯一零點(diǎn)；若，令，得，在區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無(wú)零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（3）由已知得， 所以，故等價(jià)于即不妨設(shè)，令，則，在上為單調(diào)增

18、函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立點(diǎn)睛： 導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)說(shuō)明而要證明零點(diǎn)滿足的不等式，則需要根據(jù)零點(diǎn)滿足的等式構(gòu)建新的目標(biāo)等式，從而把要求證的不等式轉(zhuǎn)化為易證的不等式20、見(jiàn)解析【解析】引入函數(shù)，展開(kāi)，其中，是整數(shù)，注意說(shuō)明的唯一性，這樣有，然后計(jì)算即可.【詳解】證明：因?yàn)?，所以，由題意，首先證明對(duì)于固定的，滿足條件的是唯一的假設(shè)，則，而，矛盾。所以滿足條件的是唯一的下面我們求及的值：因?yàn)?，顯然又因?yàn)椋?，即所以令，則，又，所以【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，展開(kāi)，其中，是整數(shù)，于是可表示出.本題有一定的難度.21、（1）7920；（2）12.【解析】(1)直接利用展開(kāi)式通項(xiàng),取次數(shù)為0,解得答案.(2)通過(guò)展開(kāi)式通項(xiàng)最大項(xiàng)大于等于前一項(xiàng)和大于等于后一項(xiàng)得到不等式組,解得答案