積分方法總結(jié)

1、積分方法總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)化文件發(fā)布號：（9312EUATWWMWUBWUNNINNULDDQTYKII積分方法總結(jié)李利霞扌商要：微積分是大學(xué)一年級學(xué)的基礎(chǔ)課，而在以后的課程中，我們會(huì)慢 慢發(fā)現(xiàn)微積分兒乎隨處都用的到。所以，在這里對積分方法做一個(gè)簡單的總 結(jié)。關(guān)鍵字：二重積分三重積分曲面積分曲線積分散度旋度一:二重積分對于二重積分比較常用也比較簡單，我在這里給岀定限方法：如果是X 型，則將積分區(qū)域全部投影到X軸上，確定x的范圉；在x范圍內(nèi)取一點(diǎn)作平 行于y軸的射線，與區(qū)域的邊界的兩交點(diǎn)J則為對y積分的上下限。同 理，可得y型定限方法。對于極坐標(biāo)要定0, I的上下限。二重積分是積分問題 的基礎(chǔ)，以后提到的

2、各種積分方法最終都是通過某種方法換做二重積分。下面 給出二重積分的例子：1 = 口腫円砂；積分區(qū)域由y2=x與y = x-2圍成；將積分區(qū)域?qū)軸投影可得x的上下限為0,4。在0,1間，做平行與y軸 的射線得y軸的范圍-坂,低;在1,4間，同理得y的范圍x-2,仮。從而積 分式子可以寫作：同理，也可以對x先積分，將積分區(qū)域投影到y(tǒng)軸上，做平行于x的射線,定x的上下限為y2,y + 2； y的范圍-1,2對于極坐標(biāo)，應(yīng)先畫出在xy坐標(biāo)上的積分區(qū)域，把邊界值方程化為極坐標(biāo) 下的方程，定&與r,定r時(shí)同樣用發(fā)射法，從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)射。（以上方法簡稱 為投影發(fā)射法）。二：三重積分（1）在直坐標(biāo)系中定限法一

3、：將積分區(qū)域投影到其中的一個(gè)坐標(biāo)平面，如xoy面上，得到x,y的積分面范圍Dxy；做平行與z軸的射線，穿過積分區(qū)域時(shí)，進(jìn)入和出來所 經(jīng)過的面分別為M : z =乙心,y）,s2: z = eg對；從而三重積分可化為二重積分： f（x, y,zixdydz =y,。對 z 積分時(shí)將 x,y 看做常數(shù)。定限法二：“先二后一”；將積分區(qū)域在z軸投影得到z的取值范圍用平行與xoy面的平面去截積分區(qū)域得關(guān)于z的面區(qū)域D：。從而三 重積分可以化為y,zlxdydz = /（x, y,zxdy。在對x, y積分時(shí)將z看作常數(shù)。（2）柱坐標(biāo)計(jì)算柱坐標(biāo)可以看作是直坐標(biāo)系的一種特殊情況，同樣是對一個(gè)坐標(biāo)面投影，柱

4、坐標(biāo)選用xoy面，只不過得到的區(qū)域用極坐標(biāo)表示，而z坐標(biāo)不變。血 f （x, y, zWz =脅呵:二久cos rsin 0.訛（3）球坐標(biāo)計(jì)算首先給出點(diǎn)P的球坐標(biāo)(004)與直角坐標(biāo)(x,y,z)的關(guān)系:x = /?sincos& y = psinsin Z = pcos(p其中，0200/?z(t)at = J(7p nis = JJJ.fi(p)co如,x)+ y2(p)cos(H, y)+ 厶(p)co姻,z)/S ；適用于逐片光滑的有向曲面，以及封閉光滑曲面。列外，如果把曲面面積的微分元分別投影到。yz,ozx,oxy面上，并把垂直投影_次記為：dydzt.dzdx.dxdy;cos

5、(亓,x) = dydz.cos(亓,y) = dzjclx.cos(亓,z) = dxdy ； 可得：= J伉同=上齊加妙+ /2(必皿+辦(#加心。有時(shí)候我們會(huì)遇到的不完全形式，即缺省某一項(xiàng)時(shí)。當(dāng)n=(rzx-zyA)取正號時(shí)則為對曲面的上側(cè)積分，或者對封閉曲面的外側(cè)積分。將曲面對xoy軸投影，則式可以有另一種形式Jf(/z, -nlS = /；(兀)泌(3“一乙) + /2(x,y,z(x,y)XZy) + _A(x,”z(x,y)kdy 這將不熟悉的曲面積分換做我們熟悉的三重積分，最終再換做二重積分，從而得到積分結(jié)果。五：格林公式與斯托克斯公式1.格林公式對于閉合曲線的笫二型積分，若函

6、數(shù)7=(/2)在圍線I (單一圍線或者復(fù)合圍線)圍成的有界閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微分，則我們可以用格林公式f7(/) = f/iyVx+fiyy=J| 去_食 M。其中 d 是閉合曲線/圍成的閉區(qū)域。通過格林公式可以將曲線積分轉(zhuǎn)換成閉區(qū)域的二重積分，從而起到化簡的作用。值得強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)必須在指定區(qū)域連續(xù)可微分，否則就要用補(bǔ)圍線的方 法，把函數(shù)不滿足條件的點(diǎn)剔除，訃算時(shí)再將其補(bǔ)上。如閆站立編的微積分第二版中的一個(gè)例子：設(shè)/為不通過原點(diǎn)(0,0) 的簡單閉曲線，求曲線積分r罟?jié)h可知除了原點(diǎn)外函數(shù)匚二)在圍線所圍區(qū)域有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。所以需要補(bǔ)曲線。為 X + )廣足夠小的圓(疋+尸二刊使c”完全含在/內(nèi)，貝艸

7、與J構(gòu)成一個(gè)復(fù)合圍線。從而r竺申彳 竺M出 竺=；從而利用格林公式計(jì)算第二項(xiàng)結(jié) x2 + y2 兒 x2 + y2 x2 + y2果為0,所以/ =進(jìn)_??；用極坐標(biāo)可得積分結(jié)果為2龍。Jz ；r+y 比+ y2 斯托克斯公式設(shè)S是以簡單閉曲線/(自身不相交的光滑或者逐段光滑的閉曲線)為邊界的光滑或者逐片光滑的雙側(cè)曲面，并且指定的一側(cè)與邊界曲線/的方向是一致的(符合右手定則)。若函數(shù)7(x,y,z) = (/(x,y,z f2(xty9z), f3(x,y,z)在包含 S的某個(gè)(空間)區(qū)域上連續(xù)可微分，則有斯托克斯公式:dxdycos（n,x）cos（亓,y）cos（亓,z）d或ffdddclS

8、6z=JJvoxAfldydz dz,dx“dx+M+m 訕 暑z 厶六：旋度與散度1打7(”)莎曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件有：(1)存在閉合曲線/使得打()曲=0；(2)存在位勢函數(shù)/心,y)使得du = idxf,dy或者grad u = f,即u的導(dǎo)數(shù)；(3)乞=魚在閉合曲線所圍 dy dx區(qū)域處處成立。只需滿足以上條件中的一個(gè)就可以得到函數(shù)積分與路徑無關(guān)。2關(guān)于空間向量場 f(Az)= (/(x,”z), f2(x,”z),/3(x,y,z)eQc=R-,它為 保守場的條件與上述大致相同，存在函數(shù)W=z/(xOz)，du = fdx+f2dy + f3dz,； 或者在區(qū)域。內(nèi)有魚=魚

9、，魚=魚,螢=螢。定義 dy dx dy dz, dz dx旋度 rotf , rot/* =k 8 一比/3丿 6 -勿/2:所以斯托克斯公式可以記為仃(“)(=鬭(P).亓(#)/s。環(huán)量(循環(huán)量)即是沿。內(nèi)一閉曲線的曲線積分值p-6/r = r/；表示在區(qū) 域內(nèi)某點(diǎn)處有一個(gè)“旋渦”，對于旋度為0的向量場函數(shù)為無旋場，即保守 場。3.奧-高公式設(shè)CUR是以光滑或逐片光滑曲面S圍成的有界閉區(qū)域。若函數(shù)f (x, y, z) = (/ (x, y, z), f2 (x, y, z),y, z)及其偏導(dǎo)數(shù)嬰，雲(yún)李在閉區(qū)域Q上OX 6 OZ連續(xù)，貝IJ= /i(P)cos(，x)+/2(P)cos

10、(*，y)+/3(P)cosOi,z)0S我(和ms=fdydz + f.dz.dx + fydxdy歷是S上點(diǎn)P處的外法線方向的單位向量。3.定義向量函數(shù)的通量，從曲面S另一側(cè)穿過曲面到單位法向量指向的一 側(cè)的通量即為曲面積分= jp(p)亦訂步(“)站S。所以把向量場/()穿過封閉曲面S的通量與S包圍的立體體積v之比 = 17(/?).J5稱為通量密度。當(dāng)S包圉的立體收縮到點(diǎn)M時(shí)的極限 忸丄払/()亦于伽/(M),稱為向量場在點(diǎn)M的散度。在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)奧-高公式和三重積分的中值定理可得：癒佃)=啊灌+魯+魯=灌嚼罔;奧一高公式向量 形式為：ndivf (Mxdydz = sf(p) -dS。根據(jù)定義，散度為通量變化率，通量大于0表示從曲面S流出的量大于流 入的。如果通量改變?yōu)?, =斥=0,則向量場/為無源場，其滿足的充要條件是Jh/(p) = 0,(peQ)o七：總結(jié)算符 V = -7 + A