迭代最近點(diǎn)算法綜述

1、迭代最近點(diǎn)算法綜述摘要：三維點(diǎn)集配準(zhǔn)問題是計(jì)算機(jī)技術(shù)中的一個(gè)極其重要的問題，作為解決三維點(diǎn)集配準(zhǔn)問題的一個(gè)應(yīng)用 較為廣泛的算法，ICP算法得到了研究者的關(guān)注，本文以一種全新的思路從配準(zhǔn)元素的選擇、配準(zhǔn)策 略的確定和誤差函數(shù)的求解等3個(gè)方面對三維點(diǎn)集配準(zhǔn)的ICP算法的各種改進(jìn)和優(yōu)化進(jìn)行了分類和總 結(jié)。關(guān)鍵詞：三維點(diǎn)集；迭代最近點(diǎn)；配準(zhǔn)1引言在計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，三維點(diǎn)集配準(zhǔn)是一個(gè)非常重要的中間步驟，它在表面重建、三維物 體識別、相機(jī)定位等問題中有著極其重要的應(yīng)用1。對于三維點(diǎn)集配準(zhǔn)問題，研究者提出了 很多解決方案，如點(diǎn)標(biāo)記法、自旋圖像、主曲率方法、遺傳算法、隨機(jī)采樣一致性算法等等， 這些算法各有特色

2、，在許多特定的情況下能夠解決配準(zhǔn)的問題。但是應(yīng)用最廣泛的，影響最 大的還是由Besl和Mckay在1992年提出的迭代最近點(diǎn)算法(Iterative Closest Point，ICP)， 它是基于純粹幾何模型的三維物體對準(zhǔn)算法，由于它的強(qiáng)大功能以及高的精確度，很快就成 為了曲面配準(zhǔn)中的主流算法。隨著ICP算法的廣泛應(yīng)用，許多研究者對ICP算法做了詳細(xì)的研究，分析了該算法的 缺陷和特點(diǎn)，提出了許多有價(jià)值的改進(jìn)，推動了這一重要算法的發(fā)展。本文著眼于ICP算 法的發(fā)展歷程，詳細(xì)介紹了 ICP算法的基本原理，總結(jié)其發(fā)展和改進(jìn)的過程，對于該算法 的各個(gè)階段的發(fā)展和變化做了簡單的論述。2 ICP算法原理

3、2.1 ICP算法原理ICP算法主要用于三維物體的配準(zhǔn)問題，可以理解為：給定兩個(gè)來至不同坐標(biāo)系的三維 數(shù)據(jù)點(diǎn)集，找出兩個(gè)點(diǎn)集的空間變換，以便它們能進(jìn)行空間匹配。假定用三：二】： 表示空間第一個(gè)點(diǎn)集，第二個(gè)點(diǎn)集的對齊匹配變換為使下式的目標(biāo)函數(shù)最小3N(RR + D = miH(i)i=iICP算法的實(shí)質(zhì)是基于最小二乘法的最優(yōu)匹配算法，它重復(fù)進(jìn)行“確定對應(yīng)關(guān)系點(diǎn)集一 計(jì)算最優(yōu)剛體變換”的過程，直到某個(gè)表示正確匹配的收斂準(zhǔn)則得到滿足。ICP算法的母的 是找到目標(biāo)點(diǎn)集與參考點(diǎn)之間的旋轉(zhuǎn)R和平移T變換，使得兩匹配數(shù)據(jù)中間滿足某種程度 度量準(zhǔn)則下的最優(yōu)匹配。假設(shè)目標(biāo)點(diǎn)集P的坐標(biāo)為=： = 】：，及參考點(diǎn)集

4、Q的坐標(biāo)為:二】：，在第k次迭代中計(jì)算與點(diǎn)集 P的坐標(biāo)相對應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為 = - - ，計(jì)算P與 之間的變換矩陣并對原變換進(jìn)行更新，直到數(shù)據(jù)間平均距離小于給定值T，即滿足式（1）最小。具體步驟4：（1） 在目標(biāo)點(diǎn)集P中取點(diǎn)集*；（2）計(jì)算參考點(diǎn)集Q中對應(yīng)點(diǎn) 勺，使 三-三=；（3）計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣與平移向量，使得 三R.W-* - 一 二；（4）計(jì)算=三-二注”一心，注；計(jì)算 二（6） 如果 不小于給定的T返回到（2），直到或迭代次數(shù)大于預(yù)設(shè)的最大的迭代次數(shù)為止。對于ICP的每次迭代，最小化對應(yīng)點(diǎn)的均方差使得點(diǎn)集 更接近 ，而 是在的 最近點(diǎn)。這樣，每一次迭代就使得 更接近于?；谶@樣的思想，B

5、esl等人證明了 ICP算 法的收斂性。2.2 ICP算法特性分析在三維點(diǎn)集配準(zhǔn)的各種應(yīng)用中，ICP算法的使用非常廣泛，這是由于ICP算法有以下優(yōu) 點(diǎn)：可以獲得非常精確的配準(zhǔn)效果；可以處理三維點(diǎn)集、參數(shù)曲面等多種形式表達(dá)的曲面，也就是說該算法對曲面表示 方法獨(dú)立5；不必對待處理的點(diǎn)集進(jìn)行分割和特征提取；在較好的初值情況下，可以得到很好的算法收斂性6。雖然其得到了廣泛的應(yīng)用，但是對于最初的ICP算法，存在很多的不足之處，主要表 現(xiàn)在：算法假設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)集是另一個(gè)點(diǎn)集的子集，也就是說，一個(gè)點(diǎn)集必須含在另一個(gè) 點(diǎn)集中，這一要求在很多時(shí)候難以滿足；該算法在搜索對應(yīng)點(diǎn)的過程中，計(jì)算代價(jià)非常的大；在基本的

6、ICP算法中，在尋找對應(yīng)點(diǎn)的時(shí)候，認(rèn)為歐氏距離最近的點(diǎn)就是對應(yīng)點(diǎn)， 這種假設(shè)是比較武斷的，它會產(chǎn)生一定數(shù)量的錯(cuò)誤對應(yīng)點(diǎn)7。針對上面的一些問題，許多研究者提出了 ICP算法的各種改進(jìn)版本。為了說明ICP算 法的不同改進(jìn)版本，有必要將ICP算法分成幾個(gè)階段來討論，在各個(gè)階段的劃分，國內(nèi)外 的研究學(xué)者也提出了自己的看法。主要的劃分方法有，在Rusinkiewicz8的文章中，將ICP 算法的進(jìn)行分成了六個(gè)階段，分別為：點(diǎn)集的選擇、對應(yīng)點(diǎn)對的配準(zhǔn)、點(diǎn)對的權(quán)重確定、特 定點(diǎn)對的剔除、誤差矩陣的建立、誤差矩陣最小化的求解；伍毅9則將其分為四個(gè)階段：重 采樣、空間查找及距離度量、目標(biāo)度量函數(shù)最小化和算法的迭

7、代；Nishinoi0認(rèn)為，不同的 改進(jìn)方法的差異不過體現(xiàn)在三個(gè)方面：配準(zhǔn)策略、配準(zhǔn)元素和誤差度量。通過比較國內(nèi)外學(xué)者提出的各種ICP算法的改進(jìn)算法，可以知道，Nishino的劃分方法 可以很好的反應(yīng)算法所做改變的各個(gè)階段。所以，在本文中將圍繞ICP算法配準(zhǔn)元素的選 擇、配準(zhǔn)策略的確定和誤差函數(shù)的求解等三個(gè)方面做的改進(jìn)來展開。3配準(zhǔn)元素的選擇在標(biāo)準(zhǔn)ICP算法中，選用點(diǎn)集中的所有點(diǎn)來計(jì)算對應(yīng)的點(diǎn)，但是通常用于配準(zhǔn)的點(diǎn)集 元素?cái)?shù)量都是非常巨大的，通過這些點(diǎn)集來計(jì)算，所消耗的時(shí)間也是很長的。所以在后來的 研究當(dāng)中，提出了各種各樣的方法來選擇配準(zhǔn)元素，這些算法的主要目的無一例外的是為了 減小點(diǎn)集元素的

8、數(shù)目，即對匹配點(diǎn)集進(jìn)行采樣。既然涉及到采樣，就有多種采樣方法被嘗試使用。 Turk使用了一致采樣方法ii， Masudam 使用的式隨機(jī)采樣方法，而且在每一的迭代過程中都要進(jìn)行隨機(jī)采樣獲取不同的 采樣點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。也有一些學(xué)者提出了一些新的采樣方法，這些方法主要特點(diǎn)是會利用點(diǎn)集的特征信息來 減少點(diǎn)的數(shù)目，運(yùn)用一些具有明顯特征的點(diǎn)集來進(jìn)行配準(zhǔn)。比如，Weik13 在文獻(xiàn)中提到的， 利用圖像的梯度信息來選擇符合要求的點(diǎn)，再用這些點(diǎn)來完成配準(zhǔn)。Sappa14則是采用了另 外一種策略，直接選取邊緣點(diǎn)作為配準(zhǔn)的選擇點(diǎn)，這樣就可以大大的減小配準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)目。通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，配準(zhǔn)元素的選擇的改進(jìn)，主要集中

9、在如何減小配準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)目 方面，即如何用最少的點(diǎn)來表征原始點(diǎn)集的全部特征信息。4配準(zhǔn)策略的確定上面介紹了 icp算法在配準(zhǔn)元素選擇方面做得一些改進(jìn)，而更多的改進(jìn)集中在配準(zhǔn)策 略方面。具體的配準(zhǔn)策略包括特征度量的選取和搜索策略的選取方面。特征度量的選取要尋找對應(yīng)點(diǎn)對，就必須尋找場景數(shù)據(jù)點(diǎn)和模型數(shù)據(jù)點(diǎn)的特征差異，這就需要對特征進(jìn) 行度量。在利用特征度量獲得對應(yīng)點(diǎn)以后，還需要利用特征度量建立迭代優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)， 為誤差函數(shù)的求解奠定基礎(chǔ)15。ICP算法被提出來時(shí)，采用的是歐氏距離作為特征度量，所以在這一階段的改進(jìn)方面， 主要是圍繞距離展開，很多研究者在這方面提出了自己的改進(jìn)想法，當(dāng)然有一些也并沒有采

10、用距離作為特征度量，在下面會做詳細(xì)的介紹。點(diǎn)到點(diǎn)的距離在標(biāo)準(zhǔn)ICP算法中，Besl和McKay直接采用的是點(diǎn)到點(diǎn)的歐氏距離。首先利用點(diǎn)到點(diǎn) 的最小歐氏距離得到點(diǎn)到集合的距離，從而尋找到對應(yīng)點(diǎn)，再對這些對應(yīng)點(diǎn)到集合的距離進(jìn) 行求和得到求解剛體變換的目標(biāo)函數(shù)，如(1)式所示。簡而言之，標(biāo)準(zhǔn)ICP算法使用的是點(diǎn) 到點(diǎn)(point-to-point)的距離。點(diǎn)到平面的距離Chen16 利用的是場景點(diǎn)集中的點(diǎn)的法線與模型點(diǎn)集合的交點(diǎn)來確定對應(yīng)點(diǎn)，得到對應(yīng) 點(diǎn)后，目標(biāo)函數(shù)則采用的是點(diǎn)到面(point-to-plane)的距離，點(diǎn)到面的距離是指，場景數(shù)據(jù)集中的點(diǎn)到模型數(shù)據(jù)集合中的經(jīng)過對應(yīng)點(diǎn)的切平面的距離，如

11、圖l所示。場景點(diǎn)P中的點(diǎn)， 它的法線與模型點(diǎn)集X的交點(diǎn) 就被選擇為 的對應(yīng)點(diǎn)。在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，使用的并不是到 的距離，而是 到模型點(diǎn)集X過 的切平面的距離。圖1點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離減少了迭代次數(shù)，能夠以更快的速度收斂到給定的閾值。Pulli對點(diǎn)到 點(diǎn)的方法和點(diǎn)到面的方法進(jìn)行了對比討論17，他們指出與點(diǎn)到點(diǎn)的ICP算法相比，運(yùn)用點(diǎn) 到平面的距離的方法大大減少了計(jì)算量以及迭代次數(shù)，但是該方法的魯棒性并不是太好。與上面的度量標(biāo)準(zhǔn)相類似的還有點(diǎn)到三角形的距離，它運(yùn)用點(diǎn)與點(diǎn)之間的鄰接信息，將 三維點(diǎn)集三角化，以點(diǎn)到三角形表面的距離作為特征度量，與點(diǎn)到面的距離有一些相似，主 要由張鴻賓和謝豐在文

12、獻(xiàn)中提出18。豪斯多夫(Hausdorff)距離Hausdorff距離19作為一種距離測度，常用于衡量兩個(gè)點(diǎn)集之間的相似程度。由于使用 Hausdorff距離作為距離測度時(shí)無需考慮兩個(gè)點(diǎn)集中的點(diǎn)與點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系，因此可以有 效解決當(dāng)圖像中存在噪聲和目標(biāo)被部分遮擋時(shí)的識別問題。Ezras研究了使用Hausdorff距 離在ICP中的一些理論結(jié)果，還沒有進(jìn)行配準(zhǔn)的實(shí)際應(yīng)用。幾何特征嚴(yán)格的說，距離也是一種幾何特征，這里指的幾何特征是指除距離以外的幾何特征。主 要有法相量21、曲率等特征。加入幾何特征更多的是為了在確定點(diǎn)對時(shí)加入限制條件，盡量減小誤差點(diǎn)的數(shù)目。Pulli 在文獻(xiàn)中就加入了給定點(diǎn)對的限

13、制條件，其中一個(gè)是每個(gè)點(diǎn)對對應(yīng)的法向矢量差不能超過 45度，而Godina則是通過曲率來構(gòu)造候選兼容點(diǎn)集。圖2就是通過原始ICP算法和加入 法相限制條件后獲取的點(diǎn)對情況，其中空心箭頭表示法相矢量方向，黑色箭頭表示找到的對 應(yīng)點(diǎn)對。(a)(b)圖2對應(yīng)點(diǎn)對(a)通過傳統(tǒng)ICP方法獲得(b)中加入了法矢限制條件通過加入幾何特征的限制條件，可以進(jìn)一步的降低找到錯(cuò)誤點(diǎn)對的概率，同時(shí)加入幾何 特征后，可以非常迅速的確定候選點(diǎn)集，可以大大的提高搜索速度。4.2 搜索策略在對應(yīng)點(diǎn)的選取，也就是構(gòu)造各對應(yīng)點(diǎn)的過程中，需要進(jìn)行大量的搜索過程，這是傳統(tǒng) ICP算法的瓶頸，為了提高ICP算法的效率，提高搜索速度是很

14、有必要的，所以如何改進(jìn)搜 索策略也是ICP算法研究的熱點(diǎn)。Zhang在其論文中采用了多維二元搜索樹23(K-D Tree)，該算法可以自動的踢出異常 值，可以處理非完全對應(yīng)的點(diǎn)集合。Greenspan分析了該樹的特性，提出了近似多維二元搜 索樹24(AK-D Tree)，達(dá)到了近似的效果，并提高了效率。另一種方法是依靠金字塔原理提出來的分級收縮算法25，大大加快了搜索速度。該方法 通過評估目標(biāo)區(qū)域距離值的方差和均勻拓?fù)溆成鋪磉x擇區(qū)域，在點(diǎn)集中進(jìn)行逐級的收縮，先 進(jìn)行粗略定位，最后獲取準(zhǔn)確地對應(yīng)點(diǎn)，對于搜索效率有很大的提高。投影的方法也被應(yīng)用到ICP算法中來，Blais和Neugbeuaer采用

15、反向定標(biāo)26(Reverse Calibration)技術(shù)，就是使用的投影搜索算法。Benjemaa】27 則采用了具有多個(gè)投影平面的 Z-buffer方法進(jìn)行投影搜索。5誤差函數(shù)求解誤差函數(shù)的求解，也就是目標(biāo)函數(shù)的最小化，是ICP算法的最后一個(gè)階段。在求得目 標(biāo)函數(shù)后應(yīng)該采用什么樣的方法來求解目標(biāo)函數(shù)，使其值能最快最準(zhǔn)的的收斂到最小，也是 一個(gè)比較重要的問題。傳統(tǒng)的ICP算法的目標(biāo)函數(shù)是通過點(diǎn)對點(diǎn)的距離建立的，其求解方 法有基于奇異值分解的方法、四元數(shù)方法、正交矩陣法28和雙四元數(shù)方法29。 Eggerts 評估了上述四種方法的精確性和穩(wěn)定性，并且說明了這些方法存在的差 異。由于基于奇異值分

16、解的方法和四元數(shù)方法應(yīng)用的更加廣泛，所以，在下面將 對這兩種方法的實(shí)現(xiàn)方式做具體的介紹。5.1基于奇異值分解的方法用奇異值分解法(SVD方法)來求解ICP算法過程中的幾何參數(shù)最初是由ARUN31等 提出來的，其并沒有建立目標(biāo)函數(shù)等式，而是通過矩陣變換的相關(guān)性質(zhì)，直接求解出最優(yōu)的 參數(shù)解。該方法實(shí)現(xiàn)起來比較簡單，而且計(jì)算結(jié)果也比較準(zhǔn)確，下面就對相關(guān)原理進(jìn)行論述。在運(yùn)用SVD方法之前，我們默認(rèn)已經(jīng)通過了點(diǎn)對的搜索環(huán)節(jié)，而且已經(jīng)準(zhǔn)確的找了各 個(gè)對應(yīng)點(diǎn)對。我們認(rèn)為有兩組點(diǎn)，模型點(diǎn)和采集到的點(diǎn)，模型點(diǎn)定義為己，二3、K,n為點(diǎn)的數(shù)目。假設(shè)要求的旋轉(zhuǎn)矩陣是R，平移矩陣是T，理想情況下通過三變換得到的對應(yīng)

17、點(diǎn)位，有下面的等式：P； = RR+T + 虬R變換的旋轉(zhuǎn)角度值;T變換的平移值；Ni噪聲。對于這N個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在我們已經(jīng)找到每個(gè)點(diǎn)對，對于每個(gè)點(diǎn)在變換前后的值都可以非常清楚地知道，根據(jù)式（1），可以得到下面的歐氏距離和。= lift- = lift- (RR+T) IF(2)由ICP算法的原理可知，歐氏距離最小的點(diǎn)就是采集點(diǎn)在模型中的對應(yīng)的點(diǎn)，所以基 本ICP算法就是求解上面的代數(shù)式，使代數(shù)式的值最小的R和T就是要求的旋轉(zhuǎn)角度和平 移值。而對上面的歐氏距離和，我們可以進(jìn)行化簡。先計(jì)算模板點(diǎn)和數(shù)據(jù)點(diǎn)的重心P蒼1=1顯然有p = R * p + T(3)令：二3 -二q：=1 -如，代入式（2），則

18、有X2 =111 q-Rq.il2對于（3）式右邊進(jìn)行分解，可以得到下式。宵頊疽Rq】（q/ 晌）=罌SW + y - q/tRqi - q/R房）=為產(chǎn)購 i）通過上面的等式，我們可以發(fā)現(xiàn)，要使的值達(dá)到最大，等價(jià)于使下式最大。F =:一:云一:=二 3 ：一 ：一 ：=Trace（RH）其中，H=Sl1qLq；t什么樣的情況下Trace（RH）才能最大呢？這是接下來要討論的問題。假設(shè)二二是一個(gè)正定矩陣，B為正交矩陣，&是A中的第i列，則有Trace（BA） = TracefA） = （Ba,）由施瓦茨不等式可以得到，a/B%)三。區(qū)蝕乂若耶哄)=既碼所以有，TracefBAA12) Trac

19、s(BXH)通過上式，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)R取XH時(shí)，F(xiàn)將達(dá)到最大值。所以可以求出R。則SVD 方法進(jìn)行的步驟可以歸納如下。1、通過，計(jì)算，以及 和 ?？?蔻如技P=jQi Pl Pq： = P： P,2、計(jì)算矩陣H，通過式h= y叫咔3、對H進(jìn)行SVD分解。H = UAVt4、求解旋轉(zhuǎn)矩陣。R = VU5、計(jì)算平移矩陣T。T = p 一 R * p該算法不適合運(yùn)用于線性的和有奇異點(diǎn)的數(shù)據(jù)集。5.2 四元數(shù)方法Horn等32提出了基于單位四元數(shù)的計(jì)算運(yùn)動參數(shù)的方法。旋轉(zhuǎn)矩陣R用一個(gè)單位四元 數(shù)q來表示：R=R（q），其中設(shè)單位四元數(shù)=,其中:上一二一:上一:上=-,而且 -,則有這個(gè)單位四元數(shù)產(chǎn)生

20、的旋轉(zhuǎn)矩陣為33：(5)(5)定義平移向量為：二二1二二：；,并由二.和：二組成一個(gè)配準(zhǔn)狀態(tài)向量二一-。點(diǎn)集的重心分別為p和；，則兩點(diǎn)集的協(xié)方差如下:龍如，=龍如，=彩！imRp）（Qi ）（6）根據(jù)L萬得出一個(gè)反對稱矩陣A，其元素為一二 J -L.-，由A的三個(gè)循環(huán)元素又組成了一個(gè)列向量-=:：。最后，由以上矩陣和向量組成對稱矩陣（7（7）其中為3X3單位矩陣。求解對稱矩陣二.J）的特征值和特征向量，所得最大特征值所對應(yīng)的特征向量即為旋轉(zhuǎn)四元數(shù).? = :：/0計(jì)算平移向量.7 =: -三如，最終生成一個(gè)配準(zhǔn)向量乙6總結(jié)本文從配準(zhǔn)元素的選擇、配準(zhǔn)策略的確定和誤差函數(shù)的求解等三個(gè)方面對ICP算

21、法的 各種改進(jìn)和優(yōu)化進(jìn)行了分類和總結(jié)。通過文中的分析可以發(fā)現(xiàn)，ICP在這些年的發(fā)展過程中， 將各種技術(shù)吸收進(jìn)來，這一方面說明了 ICP算法以其本身的優(yōu)勢獲得了研究者的關(guān)注，另 一方面也說明研究者在對ICP算法改進(jìn)上付出了不懈的努力但是ICP算法的研究還沒有停止，因?yàn)檫@種算法還不能解決所有的配準(zhǔn)問題，也將還 會有人繼續(xù)對這種算法展開研究，讓其變得更加完美。參考文獻(xiàn)羅綱，羅斌.圖象特征點(diǎn)集配準(zhǔn)的加權(quán)相關(guān)迭代算法J.中國圖象圖形學(xué)報(bào).2000(09): 47-50.Besl P J, Mckay H D. A method for registration of 3-D shapesJ. Patte

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