自動(dòng)控制原理課件-第3章-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法概要

1、第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法 在經(jīng)典控制理論中，分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性常見方法有： 時(shí)域分析法、根軌跡法和頻域分析法。3-1線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)一、系統(tǒng)對(duì)典型信號(hào)輸入的響應(yīng)過程 動(dòng)態(tài)過程：又稱過渡過程或暫態(tài)過程，指在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。 穩(wěn)態(tài)過程：在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法二、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：在單位階躍輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程隨時(shí)間變化的指標(biāo)。二、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)常用動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：延遲時(shí)間td 指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到系統(tǒng)終值一半所需時(shí)間

2、。上升時(shí)間tr 指響應(yīng)從終值10%上升到終值90%所需時(shí)間。峰值時(shí)間tp 指響應(yīng)超過終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間ts 指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5%（或2%）內(nèi)所需時(shí)間。超調(diào)量% 指系統(tǒng)響應(yīng)的峰值相對(duì)終值的偏移占系統(tǒng)終值大小的百分比。 有振蕩周期、振蕩次數(shù)、衰減率等。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：常用穩(wěn)態(tài)誤差表示。常用動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：3-2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)即為慣性環(huán)節(jié)，有 自動(dòng)控制原理課件-第3章-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法概要一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍 ， 則 因此有 （t0） 響應(yīng)特點(diǎn)：1、初始斜率為1/；2、系統(tǒng)無超調(diào),無峰值； 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： td=0.69 tr=2.2

3、0 tS=3一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二、單位脈沖響應(yīng) 則響應(yīng)特點(diǎn)：為單調(diào)下降曲線，響應(yīng)幅度為1/， 初始變化率為 ，tS=3。自動(dòng)控制原理課件-第3章-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法概要三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)有特點(diǎn)：響應(yīng)初始斜率為0，響應(yīng)的位置誤差由小變大，最后趨于；響應(yīng)的速度誤差由大變小，最后趨于0，速度響應(yīng)的指標(biāo)與對(duì)應(yīng)階躍響應(yīng)指示一致。三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)四、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 有結(jié)論：跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直到無窮，不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度的跟蹤。四、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)3-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 二階系統(tǒng)可用如下框圖表示，開環(huán)傳函為慣性環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的

4、串聯(lián)。 標(biāo)準(zhǔn)形式系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)，并有： 令 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)：3-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析閉環(huán)極點(diǎn)分布規(guī)律：閉環(huán)極點(diǎn)分布規(guī)律：二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)與有關(guān) (1) 01 （欠阻尼情況） 有其中則響應(yīng)為 （t0, 00，則 為衰減分量，令 ，稱為衰減系數(shù)。 二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)欠阻尼下單位階躍響應(yīng)曲線欠阻尼下單位階躍響應(yīng)曲線（2）=1 （臨界阻尼情況） 有 系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升曲線。 （3）1 （過阻尼情況） 系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升曲線。 （4）=0 （零阻尼情況） h(t)=1-cosnt（2）=1 （臨界阻尼情況）（5）-

5、10有兩共軛復(fù)根，實(shí)部大于0。討論：由于0，則隨時(shí)間的推移而無限增長(zhǎng)，因此系統(tǒng)輸出為發(fā)散的正弦振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（6）當(dāng)=-1時(shí) 有 系統(tǒng)發(fā)散，但無振蕩。（7）-1 時(shí)，系統(tǒng)響發(fā)散，但無振蕩。（5）-10三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析特征根特性如圖所示： 衰減系數(shù)：閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸間的距離；阻尼振蕩頻率d: 閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸間的距離；自然角頻率n：閉環(huán)極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離；阻尼比：閉環(huán)極點(diǎn)與原點(diǎn)間連線相對(duì)負(fù)實(shí)軸的夾角的余弦即 =cos，稱為阻尼角；三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析(1) 延遲時(shí)間td 令h(td)=0.5 可得ntd與間為隱函數(shù)關(guān)系，利用曲線擬合法，可得如下近似公式：當(dāng)01時(shí)，

6、可簡(jiǎn)化為 (1) 延遲時(shí)間td(2)上升時(shí)間tr的計(jì)算由于欠阻尼時(shí)，系統(tǒng)存在超調(diào)，且開始為單調(diào)上升，上升時(shí)間定義為輸出從0到穩(wěn)態(tài)值時(shí)間。令h(tr)=1 得 推得結(jié)論：當(dāng)（或）一定時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度與n成正比（上升時(shí)間與n成反比）；當(dāng)n一定時(shí)，越小，上升時(shí)間越短。(3) 峰值時(shí)間tp的計(jì)算將輸出響應(yīng)對(duì)t求導(dǎo)，并令其為0，則有整理得：由于 ，則dtp=0，2，3, 等，應(yīng)取dtp=，得：結(jié)論：峰值時(shí)間tp等于阻尼振蕩周期的一半，與閉環(huán)極的虛部數(shù)值成反比。(2)上升時(shí)間tr的計(jì)算(4) 超調(diào)量%的計(jì)算由于 ，則有： 考慮到 , 求得：結(jié)論：超調(diào)量%僅是阻尼比的函數(shù)，與自然角頻率n無關(guān)。%與間的關(guān)系

7、曲線如圖所示，一般取=0.4-0.8時(shí)，%介于1.5%-25.4%之間。(4) 超調(diào)量%的計(jì)算(5) 調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算 響應(yīng)曲線在兩指數(shù)曲線 之間 為對(duì)稱于 的包絡(luò)線，如圖所示為=0.707時(shí)的輸出響應(yīng)。令為實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出的誤差，則有顯然上式的右邊如果進(jìn)入了誤差帶，則輸出響應(yīng)一定進(jìn)入了誤差帶。由 可得： （當(dāng)=0.05, 0.8時(shí)） （當(dāng)=0.02,0.8時(shí)）結(jié)論：調(diào)節(jié)時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值成反比。(5) 調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算 總結(jié)：1、2、3、4、5、 （當(dāng)=0.05, 0.8時(shí)） （當(dāng)=0.02,T2。 輸入為單位階躍時(shí)，有 階躍響應(yīng)： （t0）采用曲線擬合法求取系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)（1）

8、（2）（3）ts的求取采用圖表方法，根據(jù)ts/T1 與T1/T2 間的關(guān)系曲線求得。 如圖所示，圖中值可由下式求得： 四、過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析五、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 閉環(huán)系統(tǒng)輸出的拉氏變換（1）欠阻尼單位斜坡響應(yīng) （t0）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為 暫態(tài)分量為 系統(tǒng)的誤差響應(yīng)為 五、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 對(duì)e(t)求導(dǎo)并令其為零, 可得誤差響應(yīng)的峰值時(shí)間為 (與階躍響應(yīng)的上升時(shí)間相同)誤差響應(yīng)的峰值為令誤差響應(yīng)相對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的相對(duì)偏移為d(t) 則有由上式可求得當(dāng)d(t)進(jìn)入誤差帶(5%)時(shí)的調(diào)節(jié)時(shí)間為自動(dòng)控制原理課件-第3章-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法概要（2）臨界阻尼單位

9、斜坡響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)誤差為 可求得5%誤差帶調(diào)節(jié)時(shí)間為 （2）過阻尼單位斜坡響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)誤差為 （2）臨界阻尼單位斜坡響應(yīng)六、二階系統(tǒng)性能的改善（1）部分分式法的討論設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)無重根，表示為則單位階躍響應(yīng)的拉斯變換為：得輸出響應(yīng)為：其中： （取模）六、二階系統(tǒng)性能的改善另外輸出響應(yīng)也可改為如下形式：其中 自動(dòng)控制原理課件-第3章-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法概要（2）比例微分控制 則開環(huán)傳函為 令z=1/Td 則閉環(huán)傳函為： 由此看出，閉環(huán)傳函中增加了一閉環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)阻尼比增大。求得單位階躍響應(yīng)為： 其中 由于 , 因此 令 則有（2）比例微分控制1、峰值時(shí)間tP對(duì)輸出響應(yīng)h(t)求導(dǎo)，并令其等于零，有

10、由于0，) 則有當(dāng)z趨于無窮大（即無零點(diǎn)）時(shí)，=0，則與無零點(diǎn)時(shí)公式一致。2、超調(diào)量% 將tP代入輸出響應(yīng)，得從而有：3、上升時(shí)間tr 由h(tr)=1, 得4、調(diào)整時(shí)間tS 由等式 確定， 結(jié)論：比例微分控制可以增大二階系統(tǒng)的阻尼，使階躍響應(yīng)超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，且不影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)自然角頻率。1、峰值時(shí)間tP（3）測(cè)速反饋控制改善二階系統(tǒng)特性方法如圖所示，引入速度負(fù)反饋?？汕蟮脙?nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)（即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)） 令 則 框圖簡(jiǎn)化為 結(jié)論：與不加速度反饋比較，系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加，開環(huán)增益降低 （由 降 為），系統(tǒng)的自然角頻率不變。由于開環(huán)增益降低， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差增大，在

11、實(shí)際設(shè)計(jì)中，可預(yù)先適當(dāng)增大原被控對(duì)象的開環(huán)增益，達(dá)到減小或消除此影響。（3）測(cè)速反饋控制改善二階系統(tǒng)特性方法3-4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)無重根單位階躍響應(yīng)的拉斯變換：輸出響應(yīng)：結(jié)論：1、閉環(huán)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部絕對(duì)值越大，則其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量衰減越快；2、極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)由閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布決定；3、如果一對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)相距很近時(shí)，則極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)很小，一般可以忽略； 在工程實(shí)際中，常常忽略遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)、及附近有閉環(huán)零點(diǎn)存在的極點(diǎn)，從而把高階系統(tǒng)簡(jiǎn)化為低階系統(tǒng)，并以此估算高階系統(tǒng)的性能指標(biāo)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其它閉

12、環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸（實(shí)部數(shù)值大5倍以上），則系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)常為共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。一般用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)來估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。3-4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性：若線性系統(tǒng)在干擾影響下偏離平衡狀態(tài)，當(dāng)干擾消失后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（平衡狀態(tài)），則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的固有特性決定，與外界因素?zé)o關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均左半s平面。一、胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（1）穩(wěn)定性的初步判別

13、系統(tǒng)特征方程： （ ）系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正且不缺項(xiàng)。特征方程變?yōu)椋河捎?因此，上式展開后的各項(xiàng)系數(shù)均大于零。3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（2）胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)所構(gòu)成的主行列式及其順序主子式 （i=1,2,3,n-1)全部為正。 -規(guī)律: 對(duì)角線由a1,a2,an組成。以對(duì)角線元素為標(biāo)準(zhǔn)，在各列上，從上到下系數(shù)序號(hào)遞減，直到a0; 從下到上系數(shù)序號(hào)遞增，直到an; 其它空白項(xiàng)為零。（2）胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（3）勞斯穩(wěn)定性判據(jù)將系統(tǒng)特征方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： （ ）并將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表：表中的系數(shù)關(guān)系為： 直到其余

14、的b值全部等于0為止。 規(guī)律：表中的第一行由特征方程的1、3、5、項(xiàng)系數(shù)組成，第二行由特征方程的2、4、6、項(xiàng)系數(shù)組成；計(jì)算表中某行系數(shù)時(shí)，分母為上一行第一列的值，分子為上兩行第一列和上兩行的待求系數(shù)后一列構(gòu)成的2階行列式乘以-1；勞斯表中的空白項(xiàng)看成0值。計(jì)算中各行可同乘以任一正數(shù)，不影響判定結(jié)果。（3）勞斯穩(wěn)定性判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞斯表中第一列各值嚴(yán)格為正。如果勞斯表第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)，代表特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。例：特征方程為解： 系統(tǒng)勞斯表為第一列有兩次變號(hào)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞斯表中第

15、一列各值嚴(yán)格為正。勞斯表穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況：1、勞斯表中某行的第一列為0，而其余各項(xiàng)不全為0。 當(dāng)計(jì)算下一行時(shí)，將出現(xiàn)無窮大數(shù)，從而無法進(jìn)行判定。解決辦法：方法1：在原特征方程中乘以（s+a)因子，構(gòu)成新的特征方程，其中a為大于0的正數(shù)，再對(duì)新的特征方程進(jìn)行勞斯表判定。例：系統(tǒng)統(tǒng)特征方程： 則有原方和乘（s+1)，得第1列中的各項(xiàng)數(shù)值的符號(hào)改變了兩次，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。勞斯表穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況：方法2：用一個(gè)有限小的變量代替第一列為零的那一項(xiàng)，然后按通常方法計(jì)算其余各項(xiàng)。如果的上、下兩項(xiàng)符號(hào)不同，則表明有一次符號(hào)變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：上面的例子可如下計(jì)算：當(dāng)趨于0時(shí)， 是一個(gè)很大的負(fù)值，則第

16、1列的數(shù)值的符號(hào)改變了兩次，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2、勞斯表中出現(xiàn)全0行解決辦法：用全0行的上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，并對(duì)輔助方程求導(dǎo)，所得系數(shù)取代全0行的各項(xiàng)。輔助方程的根為特征方程的共軛虛根。方法2：用一個(gè)有限小的變量代替第一列為零的那一項(xiàng)，然后按通例：系統(tǒng)的特征方程為：勞斯表為：作輔助方程 則 新的勞斯表為勞斯表中第一列無符號(hào)改變，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例：系統(tǒng)的特征方程為：3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、穩(wěn)態(tài)誤差 指對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間存在的誤差。如圖所示，對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的期望值為R(s)，實(shí)際輸出為C(s)， 誤差為： 穩(wěn)態(tài)誤差為 ， 根據(jù)拉斯變換的終值定理

17、，有 3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差非單位反饋系統(tǒng)，如圖所示， 此時(shí)誤差可以在輸入端定義也可在輸出端定義。在輸入端：系統(tǒng)輸入量與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的反饋測(cè)量值之差。在實(shí)際系統(tǒng)中可測(cè)量。在輸出端：系統(tǒng)期望的輸出值與實(shí)際穩(wěn)態(tài)輸出值之差。在實(shí)際系統(tǒng)中常無法測(cè)量。 約定：實(shí)際采用輸入端定義誤差方法。 有： 則穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有關(guān)。自動(dòng)控制原理課件-第3章-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法概要二、系統(tǒng)類型 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為表示開環(huán)傳函中s平面上原點(diǎn)上的極點(diǎn)重根數(shù)（串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目）。為分析方便，令則有由于 ， 可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由系統(tǒng)開環(huán)增益K、 及R(s)決定。根據(jù)的取

18、值不同把系統(tǒng)分為如下類型系統(tǒng)： 0 型系統(tǒng)： =0 型系統(tǒng)： =1 型系統(tǒng)： =2 型系統(tǒng)： =3二、系統(tǒng)類型三、參考信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差 1、階躍響應(yīng) 設(shè)輸入信號(hào) , 則 由穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式得 令 ，稱為位置誤差系數(shù)， 且有 穩(wěn)態(tài)誤差為： 2、斜坡響應(yīng) 設(shè)輸入信號(hào)為 , 則 令 ，稱為速度誤差系數(shù)，且 穩(wěn)態(tài)誤差為： 三、參考信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差 3、加速度響應(yīng) 設(shè)輸入信號(hào)為 , 則 令 ，稱為速度誤差系數(shù)，且有 穩(wěn)態(tài)誤差為： 3、加速度響應(yīng)參考輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類型誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差KpKvKa階躍輸入斜坡輸入加速度輸入0K00IK00IIK00III000系統(tǒng)類型誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差KpKvKa階躍輸入斜坡輸入加速度輸如果輸入信號(hào)是典型信號(hào)的組合，如 則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，穩(wěn)態(tài)誤差為各典型信號(hào)誤差的和。 有：4、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法 (1) 提高系統(tǒng)的類型，增加積分環(huán)節(jié)的數(shù)目； (2) 提高系統(tǒng)的開環(huán)增益；