函數(shù)的基本性質(zhì)知識點總結

1、函數(shù)的基本性質(zhì)基礎知識：1.奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則x也 一定

2、是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 確定f(x)與f(x)的關系； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點成中心對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件

3、是它的圖象關于y軸成軸對稱；設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.單調(diào)性（1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)。（2）如果

4、函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設復合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區(qū)間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

5、= 1 * GB3 * MERGEFORMAT 任取x1，x2D，且x1x2； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 作差f(x1)f(x2)； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 變形（通常是因式分解和配方）； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； = 5 * GB3 * MERGEFORMAT 下結論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（5）簡單性質(zhì)奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)； 減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；

6、減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.3.函數(shù)的周期性如果函數(shù)yf(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0的常數(shù)T，使得f(xT)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期.性質(zhì)：如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(kN)也是f(x)的周期.若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則（）是周期函數(shù)，且周期為。 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 若,則函數(shù)的圖象關于點對稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).例題：1.的遞減區(qū)間是 ；的單調(diào)遞增區(qū)間是 。2.函數(shù)的圖象（ ）A.關于軸對稱 B. 關于軸

7、對稱 C. 關于原點對稱 D. 關于直線對稱3.設是定義在上的奇函數(shù)，若當時，則 。4.定義在上的偶函數(shù)滿足，若在上遞增，則（ ）A. B C D以上都不對5.討論函數(shù)的單調(diào)性。6.已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實數(shù) 的取值范圍。7.已知函數(shù)的定義域為N，且對任意正整數(shù)，都有。若，求。習題：題型一：判斷函數(shù)的奇偶性1.以下函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），(6)；其中奇函數(shù)是 ，偶函數(shù)是 ，非奇非偶函數(shù)是 。2.已知函數(shù)=,那么是( ) A.奇函數(shù)而非偶函數(shù) B. 偶函數(shù)而非奇函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)題型二：奇偶性的應用1.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)的

8、定義域都是(-4,4),它們在上的圖像分別如圖（2-3）所示，則關于的不等式的解集是_。2.已知，其中為常數(shù)，若，則_ 3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）A. B. C. D.4.已知函數(shù)在R是奇函數(shù)，且當時，則時，的解析式為 。5.若是偶函數(shù),且當時, ,則的解集是（ ） A. B. C. D. 題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性1.判斷并證明在上的單調(diào)性2.判斷在上的單調(diào)性題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.3.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D.4.下列函數(shù)中，在(0，2)上為增函數(shù)的是(

9、 ) A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y= D.y=x2-4x+35.函數(shù)y=的遞增區(qū)間是( ) A.(-，-2) B.-5，-2 C.-2，1 D.1，+)題型五：單調(diào)性的應用1.函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-，4)上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是( ) A.3，+ ) B.(-，-3 C.-3 D.(-，5 2.已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3，當x(-2，+)時是增函數(shù)，當x(-，-2)時是減函數(shù)，則f(1)等于( ) A.-3 B.13 C.7 D.由m而決定的常數(shù)3.若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a, b一定滿足的條件是（ ） A B.CD4.函數(shù)恒成

10、立，則b的最小值為 。5.已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。題型六：周期問題1.奇函數(shù)以3為最小正周期，則為( )A.3 B.6 C.-3 D.-62.設f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且y=f(x)的圖象關于直線x =3對稱，則下面正確的結論是( ) A.f(1.5)f(3.5)f(6.5)B.f(3.5)f(1.5)f(6.5) C.f(6.5)f(3.5)f(1.5)D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)3.已知為偶函數(shù),且,當時,則（ ） A2006 B4 C D4.設是上的奇函數(shù)，當時，則等于_