中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)(中考題型整理,突破提升)

1、10、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）101.如圖，ABC內(nèi)接于OO,BC=2,AB=AC，點D為ac上的動點，且COSB=求AB的長度；在點D運動的過程中，弦AD的延長線交BC的延長線于點E,問ADAE的值是否變化?若不變，請求出ADAE的值；若變化，請說明理由.在點D的運動過程中，過A點作AH丄BD，求證：BH=CD+DH.【答案】AB二10；AD-AE=10；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）過A作AF丄BC,垂足為F,交OO于G,由垂徑定理可得BF=1，再根據(jù)已知結(jié)合RtAAFB即可求得AB長；（2）連接DG,則可得AG為OO的直徑，繼而可證明DAG-FAE,根據(jù)相

2、似三角形的性質(zhì)可得ADAE二AFAG,連接BG,求得AF=3,FG=3，繼而即可求得ADAE的值;（3）連接CD,延長BD至點N,使DN=CD，連接AN,通過證明厶ADCADN,可得AC=AN,繼而可得AB=AN,再根據(jù)AH丄BN,即可證得BH=HD+CD.【詳解】（1）過A作AF丄BC，垂足為F,交OO于G,1AB=AC,AF丄BC,二BF=CF=BC=1,在RtAAFB在RtAAFB中，BF=1,10(2)連接DG,AF丄BC,BF=CF,二AG為OO的直徑，二ZADG=ZAFE=90,又:ZDAG=ZFAE,二DAGFAE,AD：AF=AG：AE,ADAE二AFAG,連接BG,則ZABG

3、=90,VBF丄AG,.BF2二AFFG,ArAB2BF2=3,FG二一,3=10；ADAE二AFAG二AF(AF+FG)=3x=10；3(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,ZADB=ZACB=ZABC,ZADC+ZABC=180,ZADN+ZADB=180,ZADC=ZADN,AD=AD,CD=ND,ADCADN,AC=AN,AB=AC,AB=AN,AH丄BN,.BH=HN=HD+CD.【點睛】本題考查了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.2.已知在平面直角坐標系中，點A(3,0),B(3,0),C

4、(3,8)，以線段BC為直徑作圓,圓心為E，直線AC交OE于點D，連接od.求證：直線OD是的切線；點F為x軸上任意一動點，連接CF交OE于點G,連接BG：當tanZACF=7時，求所有F點的坐標(直接寫出)；求BG求BGCF的最大值.BG1的最大值為廳CFBG1的最大值為廳CF2【答案】(1)見解析;Fl31，0)，尸2(5,0)【答案】(1)見解析;【解析】【分析】連接DE，證明ZEDO=90即可；分“F位于AB上和“F位于BA的延長線上結(jié)合相似三角形進行求解即可;BG1作GM丄BC于點M，證明AANF1AABC，得y，從而得解.CF2【詳解】(1)證明：連接DE，則:-BC為直徑.ZBD

5、C=90。.ZBDA=90-OA=OB.OD=OB=OA.ZOBD=ZODB-EB=EDZEBD=ZEDB.ZEBD+ZOBD=ZEDB+ZODB即：ZEBO=ZEDO/CB丄x軸.ZEBO=90.ZEDO=90直線OD為OE的切線.(2)如圖1,當F位于AB上時:/AANFAABCi設(shè)an_3x,則NF_4x,AF_5xii.CN_CA-AN_10-3xtanZACFtanZACF_FNCN110-3x7，解得：1031(43即F31，0如圖2,當如圖2,當F位于BA的延長線上時:AAMFAABC2設(shè)AM=3x,則MF二4x,AF二5x22.CM=CA+AM=10+3xtanZtanZACF

6、二F2MCM4x10+3x2解得：x5AF5x22OF3+252即F2（5,0）2如圖，作GM丄BC于點M,BC是直徑.ZCGBZCBF90。.ACBFACGB.BG_MG_MGCFBCIMG半徑=4BGMG41=0).當點行移動到點B時，求t的值；當G1，H1兩點中有一點移動到直線DE上時，請直接寫出此時正方形E1F1G1H1與厶APE重疊部分的面積.【答案】(1)EF=15；(2)10；【解析】【分析】求出P點坐標，進而求出F點坐標即可；(2)易求B(0,5),當點F1移動到點B時，t=1O*1010=10;F點移動到F的距離是10t,F垂直x軸方向移動的距離是t,當點H運動到直線DENF

7、1MH4上時，在RtAFNF中，nF=3，EM=NG=15-FN=15-3t,在RtADMH中，=3，451023PK1t=4,S=x(12+)x11=；當點G運動到直線DE上時，在RtAFPK中，=-,48FK3PKt-34PK=t-3,FK=3t-9，在RtAPKG中，=廳，t=7,S=15x(15-7)=120.KG153t+93【詳解】(1)設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)=kx+b,將點E(30,0),點D(0,40),j30k+b二0lb二40，43,b=40.4yi3x+40,直線AB與直線DE的交點P(21,12),由題意知F(30,15),EF15；(2)易求B(0,5),BF10帯

8、!0,當點F1移動到點B當點F1移動到點B時，t10近0十10；當點H運動到直線DE上時，F(xiàn)點移動到F的距離是辿:幣t,在RtAFNF中,NF1NF=3FNt,FN3t,1023810238TMH=FN=t,EM=NG=15-FN=15-3t,在RtADMH中，MH_4EM一3，.t_415-3t3，t=4,EM=3,MH=4,S=-X(12+45)x11二24PF=3、.T0,PF=t-310,在RtAFPK中，PK_1FK_3，PK=t-3,FK=3t-9,PKt-34在RfPKG中，kg=RtZ9=3t=7,S=15x(15-7)=120.【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)

9、；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準確確定陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點B坐標（-6,0）,點一、C在y軸正半軸上，且cosB=5，動點P從點C出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度向D點移動（P點到達D點時停止運動），移動時間為t秒，過點P作平行于y軸的直線/與菱形的其它邊交于點Q.（1）求點D坐標；（2）求厶OPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；3（3）在直線/移動過程中，是否存在t值，使S=S卄？若存在，求出t的值；若20菱形ABCD【答案】（1）點D的坐標

10、為（10，8）.（2）S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=4t(WW4)50L-212+竺t(4W10)，S的最大值為亍3或5+萬-33【解析】【分析】（1）在RtABOC中，求BCQC,根據(jù)菱形性質(zhì)再求D的坐標；（2）分兩種情況分析：當0t4時和當4t10時，根據(jù)面積公式列出解析式，再求函數(shù)的最值；（3）分兩220“種情況分析：當0t4時，4t=12，；當4t10時，12+t=12【詳解】解:(1)在解:(1)在RtABOC中，ZBOC=90，OB=6,cosB=:.BC=-2B=10cosB：OC=弋BC2OB2=8四邊形ABCD為菱形，CDIIx軸,點D的坐標為（10，8）.（2）TAB=BC=1

11、0，點B的坐標為（-6，0），點A的坐標為（4，0）.分兩種情況考慮，如圖1所示.當0t4時，PQ=OC=8,OQ=t,S=1S=PQOQ=4t，240,當t=4時，S取得最大值，最大值為16；TOC o 1-5 h z當4t10時，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(30),將A(4,0),D(10,8)代入y=kx+b，得：rk=44k+b=0k310k+b=8161b=一316.直線AD的解析式為y=4x-16,416當x=t時，y=t一，(4164PQ=8一-1=-(10-1)133丿3S=-PQOP=-12+卻t233S=-t+201=-3(t-5)2+50,-0.當t=5時，S取得最

12、大值，最大值為50T4t(0WW4)綜上所述：4t(0WW4)綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=v-12+201(4W10)3350S的最大值為丁.(3)S菱形cd=abC=80.當0t4時，4t=12，解得：t=3；220當4t10時，一12+t=12，解得：J=5-*7(舍去)，t2=5+7.綜上所述：在直線l移動過程中，存在t值，使S=20S菱形ABCD，t的值為3或5+訂.圖L圖L【點睛】考核知識點：一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題數(shù)形結(jié)合，分類討論是關(guān)鍵.6.在RtAABC中，ZACB=90,AB=f7,AC=2,過點B作直線mil人將厶ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到厶ABC(點A，B的對

13、應(yīng)點分別為A，B),射線CA,CB分別交直線m于點P，Q.如圖1,當P與A重合時，求ZACA的度數(shù)；如圖2,設(shè)AB與BC的交點為M,當M為AB的中點時，求線段PQ的長；mPB在旋轉(zhuǎn)過程中，當點P,Q分別在CA,CB的延長線上時，試探究四邊形PABQ的面積是否存在最小值若存在，求出四邊形PABQ的最小面積；若不存在，請說明理由.mPBX*F”丿/TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document mAmBQX*F”丿/ACHUACHUAC備用圖【答案】(1【答案】(1)60；(2)PQ2；(3)存在，S四邊形PABQ【解析】【分析】(1

14、)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=AC=2，進而得到BC=3，依據(jù)ZABC=90,可得TOC o 1-5 h zBC3COSZA=屁七，即可得到ZACB=30，ZAC；(2)根據(jù)M為AB的中點，即可得出ZA=ZA1CM，進而得到PB二3BC=2，依據(jù)224327tanZQ=tanZA=，即可得到BQ=BCx=2,進而得出PQ=PB+BQ=-；=S2V3=S(3)依據(jù)S四邊形pabq=Spcq-S、acb=spcq-昭，即可得到S四邊形卩咖最小，即S呻最3小，而S、PCQ=-PQxBC=PQ,利用幾何法即可得到S、PCQ的最小值=3,即可得到結(jié)2論.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A1C=2.TZACB=90

15、，AB=J7，AC=2，.BC=.TZACB=90,milAC,.ZA1BC=90,.cosZA1CB=_BC=丄,-ZA1CB=30。,AC2ZAC4=60；(2)TM為AB的中點，.ZA1CM=ZMAC,由旋轉(zhuǎn)可得：ZMA1C=ZA,ZA=ZA1CM,tanZPCB=tanZA=、?,-pbBC=222*vzBQC=ABCP=ZA,tanzBQC=tanZA=亙，.BQ=BCx=2,二PQ=PB+BQ=7；232（3）S四邊形PABQ=SPCQSACBSPCQ3，S四邊形PABQ取小，即耳PCQ最小,PQ,.PCQ二2PQXBC取PQ的中點GPQ,1vzPCQ=90。，.CG=-PQ,即P

16、Q=2CG，當CG最小時，PQ最小，二CG丄PQ,即CG與CB重合時，CB重合時，CG最小，.CGmin=、込，PQmin=3，二Spcq的最小值=3，S四邊形【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運用，解題時注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.7.在RtAABC中，ZACB=90,CD是AB邊的中線，DE丄BC于E,連結(jié)CD,點P在射線CB上（與B,C不重合）（1）如果ZA=30,如圖1,ZDCB等于多少度；如圖2,點P在線段CB上，連結(jié)DP,將線段DP繞點D逆時針

17、旋轉(zhuǎn)60,得到線段DF,連結(jié)BF,補全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖3,若點P在線段CB的延長線上，且ZA=a（0VaV90），連結(jié)DP，將線段DP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,連結(jié)BF,請直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）【答案】（1）ZDCB=60.結(jié)論：CP=BF.理由見解析；（2）結(jié)論：BF-BP=2DEtana.理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合ZA=30,只要證明厶CDB是等邊三角形即可；根據(jù)全等三角形的判定推出厶DCP竺DBF，根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP=BF,求出DC=DB=AD,DEIIAC,求出/FDB

18、=ZCDP=2a+ZPDB,DP=DF，根據(jù)全等三角形的判定得出厶DCPDBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtana即可.【詳解】(1)I上A=30,ZACB=90,ZB=60,TAD=DB,CD=AD=DB,.CDB是等邊三角形，.ZDCB=60.如圖1,結(jié)論：CP=BF.理由如下：TZACB=90,D是AB的中點，DE丄BC,ZDCB=60,.CDB為等邊三角形.ZCDB=60T線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段DF,TZPDF=60,DP=DF,ZFDB=ZCDP,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,.CP

19、=BF.(2)結(jié)論：BF-BP=2DEtana.理由：TZACB=90,D是AB的中點，DE丄BC,ZA=a,.DC=DB=AD,DEIIAC,.ZA=ZACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,.ZBDC=ZA+ZACD=2a,TZPDF=2a,.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,T線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,DP=DF,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,DP=DFDCP竺DBF,.CP=BF,而CP=BC+BP,.BF-BP=BC,在RtACDE中，ZDEC=90,CE.tanZCDE=,DE.CE=DEtana,.BC=2CE=2DEtana,即BF

20、-BP=2DEtana.【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出厶DCPDBF是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，證明過程類似.8小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30,AC長:米，釣竿AO的傾斜角是60,其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60,求浮漂B與河堤下端C之間的距離（如圖）.【解析】試題分析：延長OA交BC于點D.先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出3；i7叮在RfACD中；來，CD=2AD=33B）_OD-OA+AD-3+-4-5米，再證明厶BOD是等邊三角形，得到米，然后根據(jù)BC=BD-CD即

21、可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離.試題解析：延長OA交BC于點D.AO的傾斜角是，ZODB-60LCAD-180a-LODB-ACD-902爭爭3ADAC-十滋口匚。JX在Rt3CD中，；（米）,.CD=2AD=3米，又.j-Ti.BOD是等邊三角形，3BD-OD-OA+AD-34-4.5.-（米），.BC=BD-CD=4.5-3=1.5（米）.答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為1.5米.9.如圖，在平行四邊形ABCD中，卞平分，交川于點，!-,：平分，交汕于點與：交于點：，連接：，；：；：(1)求證：四邊形是菱形；【答案】(1)證明見解析=打【答案】(1)證明見解析=打，求f的值.百【解析】試題分析：(1)根據(jù)AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得AF=AB=BE,從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知AP的長及ZPAF=60,過點P作PH丄AD