專題10 垂面模型

專題10垂面模型（解析版）一,解題技巧歸納總結(jié)垂面模型如圖1所示為四面體P-ABC，已知平面PAB±平面ABC，其外接球問題的步驟如下:(1)（2）（3）找出^PAB和MBC的外接圓圓心，分別記為。和。2.(1)（2）（3）分別過。和O作平面PAB和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.12過O作AB的垂線，垂足記為D，連接OD，則OD±AB.（4），1 2如圖2所示，底面四邊形DOGG^的四個頂點共在四棱錐A-DOOO中，（4），1 2如圖2所示，底面四邊形DOGG^的四個頂點共12二■典型例題例1.已知AABC是以BC為斜邊的直角三角形，P為平面ABC外一點，且平面PBC1平面ABC,BC=3,PB=2^2，PC=云，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.【解析】由題意知BC的中點O為AABC外接圓的圓心，且平面PBC1平面ABC過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面ABC內(nèi).根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線l上，、?球心O一定在平面PBC內(nèi)，且球心O也是APBC外接圓的圓心.在APBC中，由余弦定理得cosZPBC=PB2+B2-PC2=技，...$詛ZPBC=2，2PBBC 2 2由正弦定理得：竺^—=2R，解得R=、'°，sin匕PBC 2三棱錐的外接球的表面積=4兀R2=10兀.故答案為：10兀.例2.已知點A是以BC為直徑的圓O上異于B,C的動點，P為平面ABC外一點，且平面PBC1平面ABC,BC=3,PB=2^2,PC=<5，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.【解析】因為O為AABC外接圓的圓心，且平面PBC1平面ABC，過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線l，、?球心0]一定在面PBC內(nèi)，即球心0]也是kPBC外接圓的圓心，在APBC中，由余弦定理得cosB=PB"BC2-PC2=互，二sinB=^，2BPBC 2 2I由正弦定理得:PC=2R，解得R='1°，sinB 2三棱錐P-ABC外接球的表面積為s=4兀R2=10兀，故答案為：10兀.例3.在三棱錐P-ABC中，AB=AC=4，ZBAC=120°，PB=PC=4t3，平面PBC1平面ABC，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為—.【解析】如圖，設(shè)AABC的外接圓的圓心為01連接OC,OA,BCOA=H，連接PH.1 1 1由題意可得AH1BC，，且AH=-OA=2,BH=1BC=2、3.21 2因為平面PBC1平面ABC，且PB=PC,所以PH1平面ABC,且PH=q(4°3)2—(2板3)2=6.設(shè)O為三棱錐P—ABC外接球的球心，連接OO1,OP,OC，過O作OD1PH，垂足為D,則外接球的半徑R滿足R2=OO2+42=(6—OO1)2+qH2,艮POO;+16=(6—OO「2+4,解得OO1=2,從而R2=20，故三棱錐P—ABC外接球的表面積為4兀R2=80K.故答案為：80兀.Oi C例4.在菱形ABCD中，ZDAB=60。，將這個菱形沿對角線BD折起，使得平面DAB1平面BDC,若此時三棱錐A—BCD的外接球的表面積為5兀，則AB的長為—.【解析】取BD的中點H，連接AH,CH,在等邊三角形ABD中，AH=應(yīng)a,2在等邊三角形CBD中，CH —a，2由平面DAB1平面BDC,AH1BD，平面ABDn平面CBD=BD,可得AH1平面CBD，即有AH1CH,AACH為等腰直角三角形，設(shè)三棱錐A—BCD的外接球的球心為O，半徑設(shè)為R,底面BCD的中心為O'，面ADB的外心為M,

貝O'H=MH=——a,O'C=——a,TOC\o"1-5"\h\z6 3在直角三角形ACH中，OC=R=〈OO'2+O'C2=、，（匹）2+（匹）2=115a.6 3 6而4兀R2=5兀，解得R=--，則———，解得a=頊3,2 6 2故答案為：丙.故答案為：丙.三、配套練習(xí)1.在邊長為a菱形ABCD中，ZDAB=60。，將這個菱形沿對角線BD折起，使得平面DAB±平面BDC，若此時三棱錐A-BCD的外接球的表面積為5兀，則a=（ ）A. B.*3 C.者 D.3【解析】取BD的中點H，連接AH，CH，在等邊三角形ABD中，AH=—a，2在等邊三角形CBD中，CH=盤a，2由平面DAB±平面BDC，AH±BD，平面ABDn平面CBD=BD，可得AH±平面CBD，即有AH±CH，AACH為等腰直角三角形，3 '15+(—a)2= a，3 6設(shè)三棱錐A-BCD的外接球的球心為O，半徑設(shè)為R，底面BCD的中心為O'，在直角三角形ACH中，OC3 '15+(—a)2= a，3 6而4兀R2=5兀，解得R='旦，2貝^史5a=W，解得a=v3,6 2故選：B故選：B..在三棱錐P-.在三棱錐P-ABC中，平面PAB±平面ABC,AP=2言,AB=6,ZACB=-，且直線PA與平面ABC所3成角的正切值為2,則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）一 一52兀A.13兀 B.52兀 C.52也3【解析】如圖，過點P作PE±AB于E,D為AB的中點，52"盡3設(shè)AABC設(shè)AABC的外心是O，半徑是r，連接O1BOE，OD，1 1由正弦定理得2r=—AB—=4<3，sinZACB貝O1B=r=K，D為AB的中點，BD=AD=1AB=3，2OD±AB，所以O(shè)1D=JO1B2—BD2=J3，因為平面PAB±平面ABC，PE±AB于E，平面因為平面PAB±平面ABC，則PE±平面ABC，所以直線PA與平面ABC所成的角是ZPAE，則tanZPAE=^-=2，即PE=2AE，AE因為AP=、：PE2+AE2=注，所以PE=2AE=4，則DE=1，故OE=2，1設(shè)三棱錐P-ABC外接球球心是O，連接OO1，OB，OP，過O作OH±PE于H，則OO±平面ABC，于是OOJ/PE，從而OOHE是矩形，所以外接球半徑R滿足R2=OO12+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=<13.所以外接球的表面積為4兀R2=52兀.故選：B..已知在三棱錐C-ABD中，WD是等邊三角形，BC±CD，平面ABD±平面BCD，若該三棱錐的外接球表面積為4兀，則AC=( )A. B.. C.擋 D.I【解析】設(shè)外接球球心0，半徑R，由題意可得，4兀R2=4兀，解可得R=1，根據(jù)題意可得O為正三角形ABD的中心，因為OD=1，所以AO=1，OF=1，2所以正三角形ABD的邊長為&，由BC±CD可得CF=1BD=工3，2 2五因為平面ABD±平面BCD，所以ZAFC=—，2所以AC=<AF2+CF2=「3+-=、.&.4故選：C.

4.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PAD±平面ABCD,AD=2<2,PA=PD=AB=2,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為（ ）A.2兀 B.4兀 C.8兀 D.12?！窘馕觥咳D的中點E，連接PE,APAD中，PA=PD=2,AD=2<2,「.PA1PD,PEK,設(shè)ABCD的中心為O'，球心為0,則O'B=1BD=<3,2設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R2=d2+(*3)2=12+(克-d)2,d=0,R=3,四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4兀R2=12兀.故選：D.如圖所示，已知NEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60。,則多面體E-ABCD的外接球的表面積為（ ）'土。A.號 B.8兀 C.16兀 D.64兀【解析】設(shè)球心到平面ABCD的距離為d，貝AEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,ZAEB=60。,:.E到平面ABCD的距離為全3,2<4+9 3*'3R2=（ ）2+d2=12+（^^-d）2,22「.d=—,R2=4,2多面體E-ABCD的外接球的表面積為4兀R2=16兀.故選：C.在正方形ABCD中，AB=2,沿著對角線AC翻折，使得平面ABC±平面ACD，得到三棱錐B-ACD,TOC\o"1-5"\h\z若球O為三棱錐B-ACD的外接球，則球O的體積與三棱錐B-ACD的體積之比為（ ）A.2兀:1 B.3兀:1 C.2、云:1 D.4兀:1【解析】由題意，三棱錐B-ACD的外接球的球心為AC的中點，半徑為克，.?.球O的體積=4兀（插3=竺2兀.3 3三棱錐B-ACD的體積=1x-x2x2x*'2=2,32 3球O的體積與三棱錐B-ACD的體積之比為4兀:1.故選：D.已知四棱錐P一ABCD中，平面PAD±平面ABCD，其中ABCD為正方形，APAD為等腰直角三角形，PA=PD=伊，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為（ ）A.10兀 B.4兀 C.16兀 D.8兀【解析】取AD的中點E,?.平面PAD±平面ABC,其中ABCD為正方形，APAD為等腰直角三角形，四棱錐P-ABCD的外接球的球心為正方形ABCD的中心O，設(shè)半徑為R,則OE±AD,PE=1R=<1+T=還,四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為8兀.3則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A.24兀 B.48兀 C.64兀 D.96?！窘馕觥吭谌切蜛BC中，ABAC=-兀，AB=AC=2岳，由余弦定理可得

3BC=.'AB2+AC2—2ABACcos|n=6,而在三角形BCD中，BD=4,CD=2言，「.BD2+CD2=BC2，即ABCD為直角三角形，且BC為斜邊，??因為平面ABC1平面BCD，所以幾何體的外接球的球心為為三角形ABC的外接圓的圓心，設(shè)外接球的半徑為R，則2R=?；=4<3，即R=2*3，sin—n3所以外接球的表面積S=4nR2=48n，故選：B.9.在三棱錐A-BCD中，AABC和ABCD都是邊長為2石的等邊三角形，且平面ABC1平面BCD，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（ ）A.8n B.12n C.16n D.20n【解析】如圖，取BC中點E，連接EA，ED，???平面ABC1平面BCD，AABC和ABCD都是邊長為2據(jù)的等邊三角形，AE±平面BCD,:.AE1ED,設(shè)過平面ABC,平面BCD的中心M,N且與垂直二平面的直線交于O,可知O即為外接球球心，易知ON=1，DN=2，得OD=點，S球=4兀x5=20兀，在三棱錐P-ABC中，AC=2AB=2<2，BC=*布，ZAPC=90。，平面ABC1平面PAC，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（ ）A.4兀 B.5兀 C.8兀 D.10冗【解析】如下圖所示，.AC=2AB=2^2，AB=、2，又.BC=、、希，/.AB2+AC2=BC2，AB1AC，又?.平面ABC1平面PAC，平面ABCc平面PAC=AC，ABu平面ABC，/.AB1平面PAC.ZAPC=90。，所以，直角AAPC的外接圓直徑為AC，所以，三棱錐P-ABC的夕卜接球直徑為2R=<AB2+AC2=BC=<10.因此，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4兀R2=兀（2R）2=10兀.故選：D.已知三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD,AB±AC,BD±CD，且三棱錐A-BCD的外接球的表面積為32兀，則當平面ABC±平面BCD時，三棱錐A-BCD的表面積等于（ ）A.16+趴§B.32+16t3 C.8+8t3 D.16+16頊3【解析】如圖，取BC中點O，連接OA，OD，由AB=AC=BD=CD，AB±AC，BD1CD，可得OA=OB=OC=OD，即O為三棱錐A-BCD的外接球的球心，半徑為OA.由三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4兀OA2=32兀，得OA=蕓.貝當平面ABC1平面BCD時，S=S =1x4x4=8；wc岫2SABD=SACD=2x4x2右=.三棱錐A-BCD的表面積S=2x8+2x4吾=16+敞3.故選：A.在三棱錐A-BCD中，平面ABC1平面ADC，AD1AC，AD=AC，ZABC=-，若此三棱錐的外3接球表面積為28-，則三棱錐A-BCD體積的最大值為（ ）5^3A.7 B.12 C.6 D.A3【解析】根據(jù)題意，設(shè)三棱錐A-BCD外接球的半徑為R，三棱錐的外接球球心為O，AABC的外心為O1，AABC的外接圓半徑為r，取DC的中點為O2，過O2作O2E1AC，貝OO11平面ABC，OO21平面ADC，如圖，連結(jié)OA，OA，則OA=r，1 1設(shè)AD=AC=b，貝ljOO=O2E=|b，由S=4兀R2=28兀，解得R=E，在AABC中，由正弦正理得2r=—AC—，sin/ABC2r=—-—，解得b=<3r，?兀sin—3在RtAOAOi中，7=r2+(|b)2，解得r=2，b=2后，二AC=2而，若三棱錐A-BCD的體積最大，則只需AABC的面積最大，在AABC中，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos/ABC，12=AB2+BC2-ABBC2ABBC-ABBC，???解得ABBC12，z??S =1ABBCsin/ABC1x12x^3=3、/3，ABC.2 2 2三棱錐A-BCD的體積的最大值：???匕ABC=3S^BCad=3x3曲x2后=6.故選：C.如圖，AA，BB均垂直于平面ABC和平面ABC，/BAC=/ABC=90。，AC=AB=AA=BC=\2，1 1 111 111 1 11則多面體ABC-A1BR的外接球的表面積為（ ）【解析】由題意，多面體ABC-A1B1C1為棱長為M的正方體，切去一個角，多面體ABC-A1B1C1的外接球的直徑為百6，半徑為?6多面體ABC-A1BC的外接球的表面積為4兀R2=4兀（頂）2=6兀.故選：c.故選：c.14.已知三棱錐A-BCD中，^ABC是邊長為2點的正三角形，BD=CD=2，平面ABC±平面BCD，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為（ ）32兀D.332兀D.3A. 【解析】?.三棱錐A-BCD中，AABC是邊長為2、耳的正三角形BD=CD=2，平面ABC±平面BCD，4+4+4-12 1「.cosZBDC== 取BC取BC中點E，連結(jié)AE，DE，則AE=<12-3=3，DE=1，以E以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，則B（-后，0，0），C（*20，0），A（0，0，3），D(0,1,0),設(shè)球心O(x,y,z)，貝OA2=OB2=OC2=OD2=R2,/.X2+y2+(z-3)2=(X+43)2+y2+z2=(x-43)2+y2+z2=x2+(y-1)2=(x-43)解得x=0,y=-1,z=1,「.R=、、0+1+4=15,三棱錐A-BCD的外接球的體積:20、.'5 兀20、.'5 兀3V=兀R33故選：C.故選：C.15.在三棱錐A-BCD中，NBCD是等邊三角形，平面ABC±平面BCD.若該三棱錐外接球的表面積為6S,且球心到平面BCD的距離為*3,則三棱錐A-BCD的體積的最大值為（ ）A.3有 B.9板3 C.27 D.81【解析】如圖，BB.84兀取等邊三角形BCD的中心。，過G作三角形BCD的垂線GO,截去GO=。3.則O為三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R，由4兀R2=60^，得R2=15.即OD=\15,DG=<15-3=2*3.則DE=3、'3,可得BC=6，過O作OF±平面ABC,則F為三角形ABC的外心，連接DG并延長，角BC于E，則E為BC的中點，要使三棱錐A-BCD的體積最大，則AFE共線，即AABC為等邊三角形，此時三棱錐A-BCD的高為3寸3.三棱錐A-BCD的體積的最大值為V=-x-x6x3?hx3、日=27.故選：C.在四棱錐A-BCDE中，AABC是邊長為6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC±平面BCDE，則該四棱錐的外接球的體積為（ ）C.7、.?云【解析】四棱錐A-BCDE中，AABC是邊長為6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC±平面BCDE，如圖所示：AABC是邊長為6的正三角形，所以V=4x兀xG；21）3=28、云，所以V=gx兀xG；2i)3=28、云3故選：D.所以V=4x兀xG；21）3=28、云，所以V=gx兀xG；2i)3=28、云3故選：D.2 ?— —_一—一已知空間四邊形ABCD,ABAC=2兀,AB=AC=2吊,BD=10,CD=8,且平面ABC±平面BCD,3A.64兀B.112iC.A.64兀B.112iC.96兀D.128n故選：B.故選：B.【解析】如圖，取BC中點E，連接AE并延長至AABC的外心G,在AABC中，由ABAC=竺，AB=AC=2、5，可得BE=CE=3,3則BC=6，又BD=10,CD=8，則ABCD為以BD為斜邊的直角三角形，則BD中點F為ABCD的外心,平面ABC±平面BCD，過F作平面BCD的垂線，故G作平面ABC的垂線，兩垂線相交于O,?.?O為空間四邊形ABCD的外接球的球心.AB .一在AABC中，由 =2AG，得AG=2<3.sin—6EG=AG-AE=<3，貝OF=*3,空間四邊形ABCD的外接球的半徑R=OD=*2+（巨）2='赤.空間四邊形ABCD的外接球的表面積S=4兀x（38）2=112兀.

在邊長為2的菱形ABCD中,BD=2*3,將菱形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ABC1平面ACD,則所得三棱錐A-BCD的外接球表面積為（ ）A8兀 R14兀 r20兀A. B. C.【解析】?.在邊長為2的菱形ABCD中，BD=2%'3；如圖，由已知可得，AABC與^ACD均為等邊三角形，取AC中點G，連接BG，DG，則BG1AC，DG=偵3ncosZGDA=2nZGDA=-^ZADC=-；2 6 3?.二面角B-AC-D為直二面角，則BG1平面ACD，分別取ABCD與AABD的外心E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作兩面的垂線，相交于O，則O為三棱錐A-BCD的外接球的球心，由ABCA與AACD均為等邊三角形且邊長為2,— 1兵可得OE=OF=-DG=——33一一 2\'3...DE=DG-GE=——3...OD=<OE2+ED2=1（*2+（號）2=干.三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4-xR2=4-x（里也）2=迦.33故選：C.在三棱錐A-BCD中，AABC與ABCD都是正三角形，平面ABC1平面BCD，若該三棱錐的外接球的體積為20&5-，則AABC邊長為（ ）A.3^2 B.6<4 C.6*3 D.6【解析】三棱錐A-BCD中，過AABC的中心N作ON1平面ABC過ABCD的中心G作OG±平面BCD,ON、OG交于點O,則O是三棱錐A-BCD的外接球球心，連接OA，則OA是外接球的半徑;由該三棱錐的外接球體積為V=竺R3=20打魂,3R=\:15設(shè)AABC的邊長為a，TOC\o"1-5"\h\zCM1<3 v3ON=-x—a=—a,32 6AN=2x金a=^a、32 3:.ON2+AN2=R2,a2,1 5即 a2=—a2=15,123 12故選：D.A在三棱錐A-BCD中，AABC與ABCD都是邊長為6的正三角形，平面ABC±平面BCD，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）A.5,云 B.6S C.60、?面 D.20、?國【解析】取AD,BC中點分別為E,F，連接EF,AF,DF,，一, — 1 3v6由題意知AF±DF,AF=DF=3*3,/.EF=-AD=——,2 2易知三棱錐的外接球球心。在線段EF上，連接OA,OC,有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,R2=（3；6）2+OE2,R2=32+ -OE）2,R=司5,三棱錐的外接球的體積為4兀R3=20t面.3故選：D.把邊長為3的正方ABCD沿對角線AC對折，使得平面ABC±平面ADC,則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為( )A.32兀 B.27兀 C.18兀 D.9n【解析】將邊長為1的正方形ABCD，沿對角線AC把險CD折起，使平面ACD±平面ABC,則BC±CD,BA±AD；三棱錐C-ABD的外接球直徑為AC=3&,3<2外接球的表面積為4兀R2=4兀x( )2=18兀.2故選：C.已知空間四邊形ABCD,ABAC=竺，AB=AC=K,BD=CD=6，且平面ABC±平面BCD,3則空間四邊形ABCD的