2007-2008-2-復(fù)變函數(shù)論試卷-A卷答案

北方 交 通大 學(xué)2007-2008-2-《復(fù)變函數(shù)論》期末考試卷(A)答案一．填空題（本題滿(mǎn)分20分，每空2分）請(qǐng)把正確答案填在橫線(xiàn)上。2i11i的指數(shù)形式為

2e2e

2[cos()isin()]4 4112

，(2i)2

34i。3．e43i

e4(cos3isin ln2(2ki。1313z(z3z(z1)3(z5)24． 的支點(diǎn)，z0是 2007 級(jí)極點(diǎn)。z20085．設(shè)z0是sinz3(cosz41)的m級(jí)零點(diǎn)，則m 11 ，冪級(jí)數(shù)n0

(n1)(z3)n1的收斂半徑R 1 。1（2（3（1（2（3（4（5（6（7（8（）2i；）若f(z)在z點(diǎn)解析，則f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)；0 0）零的幅角為0；）cos(z)1（z為任意復(fù)數(shù)；）若f(z的可去奇點(diǎn)，那末Resf(z)0；） 1 dzi（C為平面內(nèi)任一條包含a的閉曲線(xiàn)；zaC）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn)；）若n0

cznz2z1i處一定收斂；n第1頁(yè)共3頁(yè)9（ ）f(zD內(nèi)解析，則f(z)D內(nèi)任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值；10（ ）tg1z0的某去心鄰域內(nèi)能展成羅朗級(jí)數(shù)。z33z)設(shè)f(z

，在將z平面適當(dāng)割開(kāi)后，f(z)被分出三個(gè)單值解析分支，求出在z2時(shí)取負(fù)值的那個(gè)分支在zi的值；解：c

argf(z)

1[3 5i

argzc

z)]

5 312f(i)62e12 2設(shè)u(x,y)y33x2y，求一解析函數(shù)F(z)uiv，f(i)1i；解： ux

6xy,uy

3y23x2 2f(z)iz3i 3f(z)my3nx2yi(x3lxy2z平面上解夕，求lmn之值；u(x,y)my3nx2y,v(x,y)x3lxy2 2分由CR條件得nlm1 3z4dz其中C為從原點(diǎn)自虛軸至i，再沿i沿水平方向向右到3i；C

3i

(3i)5z5dz 60 ezz3(z1)2(z2)

6dz；= ez

ez 3i z

i( )z22

(z

z2=(2ee2i 2分9cosmxdx (m0)0 1x2=Re(1eimx dx) 3分21x2=em 2分四．級(jí)數(shù)題（12分，每小題6分）第2頁(yè)共3頁(yè)f(z)

1 分別在0z1（2）0z11內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。z(zf(z)

1 1zn 3分z1 z

n0f(z)

1z

n0

(1)n(z1)n 3分判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性。

1(23i)n此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 3分（2）n1

11in此級(jí)數(shù)發(fā)散。五．證明題（共28分，每題7分）2zxyi12

(xy)zxyz

x2y2xy 3分又2z2

xy2 4分f(zx33x2yi3xy2y3iz平面上解析，并求出其導(dǎo)函數(shù)。證明：u(x,y)x33xy2,v(x,y)3x2yy3, 2分u v,ux y

v 5分x設(shè)1）f(z)在區(qū)域D（）在某一點(diǎn)z0證：f(z)在D內(nèi)必為常數(shù)。

D

(n)(z0

n1,2,...，試證明：存在z0

的某鄰域，在該鄰域內(nèi)f(z)c 2分0由唯一性定理，f(z)在D內(nèi)必為常數(shù)。 5分f(zDCDD內(nèi)，但不在Cz，下面等式成立：0f(z)dz=

f(z)dzCzz0

C(zz)20證明：由f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，