課件-第九章一、泰勒級數(shù)

一、

級數(shù)(Taylor)中值定理

如果函數(shù)xf)(在含有x0)1階(的導數(shù),則

xx0

)(的一個的某個開區(qū)間當x

在

ba),內(nèi)(

時,ba),內(nèi)(

具有直到

n

xf)(可以表示為n次多項式與一個余項xR)(之和:n2!xRxnx()()fx()n

()0n!(

n1)fx()000xx

)(20)(

)00fx(f)x()f

nn1(n

1)!

(

x

x0

)

(f

(

)n其中R

(

x)

x

x在

0

與

之間).林(Maclaurin)公式

)10n

1)(!!2)0(xn1n1()

x)(n)(x

2f

)0x()0()(f

x

f

fxnn!f

)0(

fn!f

(

n)

(0)2!f

(0)2nxx

f

(

x)

f

(0)

f

(0)

x

O(

xn

)如果

xf)(在點x0

處任意階可導,則冪級數(shù)nn!0

xx)(0n

)(

xf

)(n

0數(shù).xf)(在稱為

xx0

處的

級nf

()n

(0)x

稱為

f

()x

的n!n

0林級數(shù).定義定理

1

如果函數(shù)

f

(

x)在U

(

x0

,

)

內(nèi)具有任意階導數(shù),且在U

(x0

,

)內(nèi)能展開成(x

x0

)的冪級數(shù),即nf

(

x)

0a

(

x

x

)

nn

0則其系數(shù)a10(

x

)

(n

0,1,2,)(

n)

fn!n且展開式是唯一的.定理

2

f

(

x)在點x0

的

級數(shù),在U

(

x0

,

)

內(nèi)收n斂于f

(x)

在U

(x0

,

)內(nèi)lim

Rn

(x)

0.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(級數(shù)法)n!f

(

n)

(

x

)步驟:

(1)

求an

0

;nn(2) lim

R

0

或f

(n)(x)

M

,則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于f

(x).例1

將f

(

x)

ex展開成冪級數(shù).解f

(

n)

(

x)

e

x

,

f

(

n)

(0)

1.(n

0,1,2,)f

(

n)

(0)

1n!n!

an

M

0,在[Mf(n)

(

x)

ex

e

M(n

0,1,2,)ex

1

x

1

x2

1

xn

2!

n!由于M的任意性,即得x

(,)e

x

1

x

1

x

2

1

xn

2!

n!例2

將f冪級數(shù).

sin)(展開成解f

(

n)

(

x)

sin(

x

n),2

2f

(

n)

(0)

sin

n

,

f

(

2n)

(0)

0,f

(

2n1)

(0)

(1)n

,

(n

0,1,2,)2且

f

(

n)

(

x)

sin(

x

n)

1

sin

x

x3!1

1n

1)(!2x3

5!x

(,)21nx

(,)2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.例如cos

x

(sin

x)sin

x

xcos

x

112!(2n)!x2

4!2nx

(,)

3!121n1

1n

1)(!2x3

5!arctan

x

x02dx1

x

n

12n121513x

[xdxx

(n0

1

x13n2ln(1

x)

12例：將f的冪級數(shù).例：將f

(

1)的冪級數(shù)林展開式例：求函數(shù)ln(2

7

x

6x2

)的（即將其展開為x的冪級數(shù)）。1+x例：將函數(shù)f(x)=(1-x)3展開為x的冪級數(shù)。212-x0例：求e

dx例44

x將

xf)(

x

1

在x

1處展開成 級數(shù)解(展開成x

1的冪級數(shù))并求f

(n)(1).1

14

x

3

(

x

1),33(1

x

1)1

1)n

]3333

1[1

x

1

3

x

4

(

x

1)

3

13n

1)n3332(x

1

3n!于是3n故f

(n)(1)

n!.3n

,f

(

n)

(1)

1練習：將函數(shù)f(x)=ln(2+x-x2

)展開為x的冪級數(shù)。三、

公式復數(shù)項級數(shù):(u1

iv1

)

(u2

iv2

)

(un

ivn

)

其中un,vn

(n

1,2,3,)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).

若u

un

,

v

vn

,n1

n1n1則稱級數(shù)(un

ivn

)收斂,且其和為u

iv

.若1

1

2

2

n

nu2u2

u2

v

2

v

2

v

2

收斂,

則un

,vn

絕對收斂,稱復數(shù)項級數(shù)絕對收斂.n1

n1三個基本展開式復數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念

1

,n2!!ex53x3sin

x

x

,

(

x

)(2n)!2!

4!cos

x

1

2

n(

x

)(

x

)由e

x的冪級數(shù)展開式eix

1

ix

1

(ix)2

1

(ix)n

2!

n!

)n

1)(!213!

i(

x

12n

12

(1

x

1)(

)x2nn

2!

(2n)!

cos

x

cos

x

i

sin

xsin

xeix

cos

x

i

sin

xsin

x

2eix

e

ixcos

x

eix

e

ix2i又e

ix

cos

x

i

sin

x公式e

x

iy

e

x

(cos

y

i

sin

y)揭示了三角函數(shù)和復變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關系.三、小結(jié)如何求函數(shù)的

級數(shù);級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;函數(shù)展開成

級數(shù)的方法.公式思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法,求出給定函數(shù)展開式的方法稱之.2、(1

x)ln(1

x);1、a

x

；3、arcsin

x

；練習題一、將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:4、(1

x)31

x.二、將函數(shù)f

(x)x

3

展開成(x

1)的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間.三、將函數(shù)f

(x)數(shù).

3

x

21x

2展開成(x

4)的冪級四、將級數(shù)2n1(1)n1

x

2n1(2n

1)!的和函數(shù)展開成(

x

1)n1的冪級數(shù).練習題答案一、1、(

x

)；n!n0(ln

a)nxn2、n(n

1)(1)n1n1x

(1

x

1)；x

3、2x

n1(n!)

(2n

1)

22(2n)!

xn12n1(

)

(1

x

1)；(1,1).4、

n2

xn1n1二、31

(

x

1)

2(0

x

2).)n0n

2(1)n

(2n)!

3

(

x