《數(shù)理方程》積分變換法解析課件

§3.3積分變換法

定義：假設I是數(shù)集(實數(shù)或者復數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里[a,b]為任意區(qū)間。如果

f(x)在區(qū)間[a,b]有定義,且K(s,x)f(x)為[a,b]上可積函數(shù),則含參變量積分定義了一個從f(x)到F(s)的變換,稱為積分變換。K(s,x)稱為變換的核。常見的積分變換有傅立葉(Fourier)變換和拉普拉斯(Laplace)變換。§3.3積分變換法定義：假設I是數(shù)集(實數(shù)1傅立葉變換

記作：其中，f(x)

在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件(只有有限個第一類間斷點和有限個極值)，在上絕對可積。傅立葉變換記作：其中，f(x)在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷2傅立葉逆變換記作：當f(x)連續(xù)時，有傅立葉逆變換記作：當f(x)連續(xù)時，有3傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)對于任意常數(shù)，

2)微分運算性質(zhì)

傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)對于任意常數(shù)43)對傅立葉變換求導數(shù)4)卷積性質(zhì)令3)對傅立葉變換求導數(shù)4)卷積性質(zhì)令5反之，5)乘積運算

傅立葉變換在乘積運算和卷積運算之間建立了一個對偶關(guān)系。6)平移性質(zhì)反之，5)乘積運算傅立葉變換在乘積運算和卷積運算之間建立6思考設

u=u(x,y),假如我們以y為參數(shù),對x作傅立葉變換：兩個自變量的偏微分方程帶參量的常微分方程。那么利用傅立葉變換的微分性質(zhì)，經(jīng)過傅立葉變換將得到

經(jīng)過傅立葉變換得到

二階導數(shù)類似。思考設u=u(x,y),假如我們以y為參數(shù),對7例用積分變換法解齊次方程：解：考慮到自變量的取值范圍，對x進行傅立葉變換。設例用積分變換法解齊次方程：解：考慮到自變量的取值范圍，對8方程轉(zhuǎn)化為于是為了求出原方程的解,下面對關(guān)于進行傅立葉逆變換.根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)，方程轉(zhuǎn)化為于是為了求出原方程的解,下面對關(guān)于9《數(shù)理方程》積分變換法解析課件10例用積分變換法解非齊次方程：方程變?yōu)榻猓鹤麝P(guān)于的傅立葉變換：例用積分變換法解非齊次方程：方程變?yōu)榻猓鹤麝P(guān)于的11可解得

而則可解得而則12《數(shù)理方程》積分變換法解析課件13《數(shù)理方程》積分變換法解析課件14拉普拉斯變換傅立葉變換要求函數(shù)f在有定義并且絕對可積。很多常見函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)，多項式，三角函數(shù)等都不滿足條件。以時間t為自變量的函數(shù)在區(qū)間也無意義。這些都限制了傅立葉變換的應用。為此引入拉普拉斯(Laplace)變換。拉普拉斯變換的積分核為拉普拉斯變換傅立葉變換要求函數(shù)f在15在復參數(shù)p的某個區(qū)域內(nèi)收斂。記作：在復參數(shù)p的某個區(qū)域內(nèi)收斂。記作：16若f(t)在內(nèi)的任一有限區(qū)間是分段連續(xù)的，且存在常數(shù)

使得

則在半平面Re(p)>c內(nèi)，f(t)的拉普拉斯變換F(p)一定存在，且F(p)還是p的解析函數(shù)。拉普拉斯變換的存在條件：若f(t)在內(nèi)的任一有限區(qū)間17基本性質(zhì)(注意p的范圍是復平面的一部分)：

1)基本變換:2)線性性質(zhì)基本性質(zhì)(注意p的范圍是復平面的一部分)：1)基本變換183)微分性質(zhì)若則4)積分性質(zhì)3)微分性質(zhì)若196)位移性質(zhì)7)延遲性質(zhì)5)對拉普拉斯變換求導8)卷積性質(zhì)6)位移性質(zhì)7)延遲性質(zhì)5)對拉普拉斯變換求導8)20練習：應用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程(如P38),也適用于偏微分方程。例解常微分方程的初值問題:解：對t進行拉普拉斯變換,設答案：練習：應用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程(如P38)21則原方程變?yōu)檫M行拉普拉斯逆變換,考慮到

則原方程變?yōu)檫M行拉普拉斯逆變換,考慮到22有有23例：設x>0,y>0,求解定解問題解：對y進行拉普拉斯變換。則方程變?yōu)椋涸O例：設x>0,y>0,求解定解問題解：對y24而變?yōu)?/p>

解常微分方程得取拉普拉斯逆變換，得而變?yōu)榻獬Ｎ⒎址匠痰萌±绽?5例：一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0。求桿上溫度分布規(guī)律。解：需要求解定解問題思考：需要對哪一個自變量進行哪一種積分變換？例：一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0。求26對t進行拉普拉斯變換，設于是方程變?yōu)檫@是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為對t進行拉普拉斯變換，設于是方程變?yōu)檫@是二階常微分方27二階方程，但是僅有一個邊界條件！考慮到具體問題的物理意義：u(x,t)表示溫度，故

D=0.

再由邊值條件可知，C=F(p).

二階方程，但是僅有考慮到具體問題的物理意義：u(x,t)28為求出u(x,t),需要對U(x,p)進行拉普拉斯逆變換。由拉普拉斯變換表知，為求出u(x,t),需要對由拉普拉斯變換表知，29《數(shù)理方程》積分變換法解析課件30積分變換法求解定解問題的基本步驟：

1)選取恰當?shù)姆e分變換。主要考慮自變量取值范圍，傅立葉變換要求取值范圍是，拉普拉斯變換要求取值范圍是2)注意定解條件的形式。假如對x進行拉普拉斯變換，而原方程是關(guān)于x的k階方程，則定解條件中必須出現(xiàn)積分變換法求解定解問題的基本步驟：1)選取恰當?shù)姆e分變換313)定解條件中部分條件需要進行相應的積分變換，部分條件不需要進行積分變換。對方程進行積分變換時用到的條件都不再進行相應的積分變換。4)通過積分變換，得到含參數(shù)的常微分方程定解問題,解常微分方程。5)對上面常微分方程的解取相應的積分逆變換。3)定解條件中部分條件需要進行相應的積分變換，4)通過積32拉普拉斯變換的反演公式：拉普拉斯變換的反演公式：33利用留數(shù)基本定理，可得利用留數(shù)基本定理，可得34《數(shù)理方程》積分變換法解析課件35《數(shù)理方程》積分變換法解析課件36課后作業(yè)P83習題三5.6.課后作業(yè)P83習題三37§3.3積分變換法

定義：假設I是數(shù)集(實數(shù)或者復數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里[a,b]為任意區(qū)間。如果

f(x)在區(qū)間[a,b]有定義,且K(s,x)f(x)為[a,b]上可積函數(shù),則含參變量積分定義了一個從f(x)到F(s)的變換,稱為積分變換。K(s,x)稱為變換的核。常見的積分變換有傅立葉(Fourier)變換和拉普拉斯(Laplace)變換。§3.3積分變換法定義：假設I是數(shù)集(實數(shù)38傅立葉變換

記作：其中，f(x)

在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件(只有有限個第一類間斷點和有限個極值)，在上絕對可積。傅立葉變換記作：其中，f(x)在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷39傅立葉逆變換記作：當f(x)連續(xù)時，有傅立葉逆變換記作：當f(x)連續(xù)時，有40傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)對于任意常數(shù)，

2)微分運算性質(zhì)

傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)對于任意常數(shù)413)對傅立葉變換求導數(shù)4)卷積性質(zhì)令3)對傅立葉變換求導數(shù)4)卷積性質(zhì)令42反之，5)乘積運算

傅立葉變換在乘積運算和卷積運算之間建立了一個對偶關(guān)系。6)平移性質(zhì)反之，5)乘積運算傅立葉變換在乘積運算和卷積運算之間建立43思考設

u=u(x,y),假如我們以y為參數(shù),對x作傅立葉變換：兩個自變量的偏微分方程帶參量的常微分方程。那么利用傅立葉變換的微分性質(zhì)，經(jīng)過傅立葉變換將得到

經(jīng)過傅立葉變換得到

二階導數(shù)類似。思考設u=u(x,y),假如我們以y為參數(shù),對44例用積分變換法解齊次方程：解：考慮到自變量的取值范圍，對x進行傅立葉變換。設例用積分變換法解齊次方程：解：考慮到自變量的取值范圍，對45方程轉(zhuǎn)化為于是為了求出原方程的解,下面對關(guān)于進行傅立葉逆變換.根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)，方程轉(zhuǎn)化為于是為了求出原方程的解,下面對關(guān)于46《數(shù)理方程》積分變換法解析課件47例用積分變換法解非齊次方程：方程變?yōu)榻猓鹤麝P(guān)于的傅立葉變換：例用積分變換法解非齊次方程：方程變?yōu)榻猓鹤麝P(guān)于的48可解得

而則可解得而則49《數(shù)理方程》積分變換法解析課件50《數(shù)理方程》積分變換法解析課件51拉普拉斯變換傅立葉變換要求函數(shù)f在有定義并且絕對可積。很多常見函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)，多項式，三角函數(shù)等都不滿足條件。以時間t為自變量的函數(shù)在區(qū)間也無意義。這些都限制了傅立葉變換的應用。為此引入拉普拉斯(Laplace)變換。拉普拉斯變換的積分核為拉普拉斯變換傅立葉變換要求函數(shù)f在52在復參數(shù)p的某個區(qū)域內(nèi)收斂。記作：在復參數(shù)p的某個區(qū)域內(nèi)收斂。記作：53若f(t)在內(nèi)的任一有限區(qū)間是分段連續(xù)的，且存在常數(shù)

使得

則在半平面Re(p)>c內(nèi)，f(t)的拉普拉斯變換F(p)一定存在，且F(p)還是p的解析函數(shù)。拉普拉斯變換的存在條件：若f(t)在內(nèi)的任一有限區(qū)間54基本性質(zhì)(注意p的范圍是復平面的一部分)：

1)基本變換:2)線性性質(zhì)基本性質(zhì)(注意p的范圍是復平面的一部分)：1)基本變換553)微分性質(zhì)若則4)積分性質(zhì)3)微分性質(zhì)若566)位移性質(zhì)7)延遲性質(zhì)5)對拉普拉斯變換求導8)卷積性質(zhì)6)位移性質(zhì)7)延遲性質(zhì)5)對拉普拉斯變換求導8)57練習：應用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程(如P38),也適用于偏微分方程。例解常微分方程的初值問題:解：對t進行拉普拉斯變換,設答案：練習：應用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程(如P38)58則原方程變?yōu)檫M行拉普拉斯逆變換,考慮到

則原方程變?yōu)檫M行拉普拉斯逆變換,考慮到59有有60例：設x>0,y>0,求解定解問題解：對y進行拉普拉斯變換。則方程變?yōu)椋涸O例：設x>0,y>0,求解定解問題解：對y61而變?yōu)?/p>

解常微分方程得取拉普拉斯逆變換，得而變?yōu)榻獬Ｎ⒎址匠痰萌±绽?2例：一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0。求桿上溫度分布規(guī)律。解：需要求解定解問題思考：需要對哪一個自變量進行哪一種積分變換？例：一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0。求63對t進行拉普拉斯變換，設于是方程變?yōu)檫@是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為對t進行拉普拉斯變換，設于是方程變?yōu)檫@是二階常微分方64二階方程，但是僅有一個邊界條件！考慮到具體問題的物理意義：u(x,t)表示溫度，故

D=0.

再由邊值條件