概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-獨(dú)家課件8.第八章

第一節(jié)

假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題一、統(tǒng)計(jì)假設(shè)二、假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法三、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題前一章章將了統(tǒng)計(jì)推斷中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本另一類統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題－假設(shè)檢驗(yàn).在參數(shù)估計(jì)中按照參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)方法建立了參數(shù)

的估計(jì)公式，并利用樣本值確定了一個(gè)估計(jì)值?

，認(rèn)為參數(shù)真值

?

。由于參數(shù)

是未知的，

?

只是一個(gè)假設(shè)（假說(shuō)，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用樣本進(jìn)行驗(yàn)證（檢驗(yàn)）.下面

先對(duì)幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析，給出假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)概念，然后總結(jié)給出檢驗(yàn)假設(shè)的思想和方法.一、統(tǒng)計(jì)假設(shè)請(qǐng)看以下幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1某大米

用自動(dòng)包裝機(jī)將大米裝袋,每袋的標(biāo)準(zhǔn)重量規(guī)定為10kg，每天開(kāi)工時(shí)，需要先檢驗(yàn)一下包裝機(jī)工作是否正常. 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知道,

自動(dòng)包裝機(jī)裝袋重量X服從正態(tài)分布

N（

,

2）。某日開(kāi)工后，抽取了8袋，如何根據(jù)這8袋的重量判斷“自動(dòng)包裝機(jī)工作是正常的”這個(gè)命題是否成立？引號(hào)內(nèi)題可能是真，也可能是假，只有通過(guò)驗(yàn)證才能確定。如果根據(jù)抽樣結(jié)果判斷它是真，則

接受這個(gè)命題，否則就接受它，接受了“機(jī)器工作不正?！边@樣此時(shí)實(shí)際上一個(gè)命題。若用H0表示“

10”，用H1表示其對(duì)立面，即

“

10

”，則問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)H0：

10

是否成立，若H0不成立，則H1：

10

成立。懷疑天平的精度，拿一物體稱n次，得n個(gè)數(shù)據(jù)，由這些數(shù)據(jù)（樣本）如何判斷“這架天平的精度是10-4（克2）”這個(gè)命題是否成立？記

H

:

σ

2

4

2

40

10

，H

1

:σ

10

。則問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。一架天平標(biāo)定的誤差方差為10-4（克2），重量為

μ

的物體用它稱得的重量X服從

N(

,

2

)。問(wèn)題2問(wèn)題3某長(zhǎng)有一批產(chǎn)品，按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，次品率

p

不得超過(guò)1%.今在其中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)2件次品，問(wèn)：這批產(chǎn)品能否出廠？記H0

p

1%

H1

:

p

1%則問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。記H

0

:X

服從指數(shù)分布，H1

:X從指數(shù)分布。自

至中，全世界記錄到震級(jí)4級(jí)及以上的共2231天共計(jì)間隔的天數(shù)X是否服從162次，問(wèn)相繼兩次指數(shù)分布？問(wèn)題4則問(wèn)題也等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。在很多實(shí)際問(wèn)題中，

常常需要對(duì)關(guān)于總體的分布形式或分布中的未知參數(shù)的某個(gè)陳述或命題進(jìn)行判斷，數(shù)

理統(tǒng)計(jì)學(xué)中將這些有待驗(yàn)證的陳述或命題稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡(jiǎn)稱假設(shè).如上述各問(wèn)題中的H0和H1都是假設(shè).利用樣本對(duì)假設(shè)的真假進(jìn)行判斷稱為假設(shè)檢驗(yàn).在總體的概率分布已知情形下，對(duì)分布中的未知參數(shù)作假設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn)，稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).若總體的分布未知，對(duì)總體的分布形式或參數(shù)

設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn)，稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).如上述問(wèn)題1～3為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，問(wèn)題4為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，常把一個(gè)被檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)，而其對(duì)立面就稱為對(duì)立假設(shè)。上述各問(wèn)題中，H0為原假設(shè)，H1為對(duì)立假設(shè)。當(dāng)H0不成立時(shí)，就

接受H0而接受其對(duì)立假設(shè)H1。值得注意的是，當(dāng)給定原假設(shè)后，其對(duì)立假設(shè)的形式可能有多個(gè)，如H0:θ

θ0

其對(duì)立形式有H

1

:

θ

θ0

H

2

:

θ

θ0

H

3

:

θ

θ0選擇哪一種需根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定，因而對(duì)立假設(shè)往往也稱為備選假設(shè)，即在

原假設(shè)后可供選擇的假設(shè).在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，必須同時(shí)給出原假設(shè)和對(duì)立假設(shè).雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn)在

H0

:

0

和

H1

:

0中,

備擇假設(shè)

H1表示

可能大于0

,

也可能小于0

,

稱為雙邊備擇假設(shè),

形如H0

:

0

,

H1

:

0

的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙邊假設(shè)檢驗(yàn).右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如H0

:

0

,H1

:

0稱為左邊檢驗(yàn).形如H0

:

0

,H1

:

0稱為右邊檢驗(yàn).右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單邊檢驗(yàn).的假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法如何利用從總體中抽取的樣本來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)關(guān)于總體的假設(shè)是否成立呢？由于樣本

與總體同分布，樣本包含了總體分布的信

息，因而也包含了假設(shè)H0是否成立的信息，如何來(lái)獲取并利用樣本信息是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用“概率反證法”和“小概率原理”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。小概率原理概率很小的事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生.如果小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，則事屬反常，定有導(dǎo)致反常的特別原因，有理由懷疑試驗(yàn)的原定條件不成立。概率反證法欲判斷假設(shè)H0的真假，先假定H0真，在此前提下構(gòu)造一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的小概率事件A。試驗(yàn)取樣，由樣本信息確定A是否發(fā)生，若A發(fā)生，這與小概率原理相違背，說(shuō)明試驗(yàn)的前定條件H0不成立，小概率事件A沒(méi)有發(fā)生，沒(méi)有理由H0，接受H1；若H0，只好接受H0。反證法的關(guān)鍵是通過(guò)推理，得到一個(gè)與常理（定理、公式、原理）相違背的結(jié)論?！案怕史醋C法”依據(jù)的是“小概率原理”。那么多小的概率才算小概率呢？這要由實(shí)際問(wèn)題的不同需要來(lái)決定。以后用符號(hào)

記小概率，一般取

0.01,0.05,0.1

等。在假設(shè)檢驗(yàn)中，若小概率事件的概率不超過(guò)

，則稱

為檢驗(yàn)水平或顯著性水平。下面舉例說(shuō)明以上檢驗(yàn)的思想與方法。例1已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X～N(4.55,0.06)，現(xiàn)改變了工藝條件，又測(cè)得10爐鐵水的平均含碳量x

4.57，假設(shè)方差無(wú)變化，問(wèn)總體的均值μ

是否有明顯改變？（取

=0.05）解由問(wèn)題提出假設(shè)H0

:μ

4.55

，H1:μ

4.55若H0成立,則

與4.55應(yīng)很接近由于μ

未知,用其無(wú)偏估計(jì)X來(lái)代替用|

X

4.55

|來(lái)衡量μ與4.55之間的差異如果|

X

4.55

|

較大,則可認(rèn)為

4.55所以在H0成立的前提下,事件

A

:|

X

4.55

|

d

(d

0

較大,待定)不太可能發(fā)生,即P(A)很小.令P(A)=α，確定d是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.nσ

2由X

~

N

(

μ,

)

可知~

N

(0,1)X

μσ/

nσ/

n0因此在H

成立的前提下，統(tǒng)計(jì)量U

X

4.55

~

N

(0,1)σ/

nd|

X

4.55

|

d

|U

|顯然

u0.025

1.962由

=0.05，得uασ/ n

d

2

d

UPn

(|因此

σ/ n

d

α2PU

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上分位點(diǎn)的定義可知由此確定了小概率事件

A

:|

U

|

uα2即α2

uσ/

ndu

x

4.55

4.57

4.55

1.054σ/

n

0.06/

102α|

u

|

u由于說(shuō)明小概率事件A未發(fā)生,因此接受假設(shè)H0即認(rèn)為總體均值

等于4.55.在隨機(jī)試驗(yàn)中，小概率事件有許多，關(guān)鍵是要找一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的小概率事件。本例中，若取A

:|

X

4.55

|

d

由P(A)=

同樣可確定d.最后的檢驗(yàn)將出現(xiàn)這樣一種傾向

越與4.55接近，越要H

0

:

4.55這樣的判別方法顯然不合理，錯(cuò)誤在于：在H0成立的前提下，這樣取小概率事件A不合理。在例1中，若設(shè)

D

{(x1

,

,x10

)|

|

u

|

u

}21

2

10則A：(

X

，X

，…，X

)

DD是使小概率事件A發(fā)生的所有10維樣本值（x1，…，x10）構(gòu)成的集合D

R10

則一般，若接受H0等價(jià)于樣本觀測(cè)值（x1，x2，…，x10）

D接受H

0

樣本觀測(cè)值（x1，x2，…，xn）

D其中D是n

Rn中的區(qū)域，則稱D為假設(shè)H0的域或否定域、臨界域.稱D的補(bǔ)集

D

R

n

D

為H0的接受域.檢驗(yàn)中所用的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量..（3）執(zhí)行統(tǒng)計(jì)

:求統(tǒng)計(jì)量的值，并查表求出有關(guān)數(shù)據(jù)，判斷小概率事件是否發(fā)生，由此作出（1）提出假設(shè):根據(jù)問(wèn)題的要求，提出原假設(shè)H0與對(duì)立假設(shè)H1，給定顯著水平

及樣本容量n.總結(jié)例1處理問(wèn)題的思想與方法，可得處理參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟如下：（2）確定域D的形式，域:用參數(shù)的一個(gè)好的估計(jì)量?

(通常取為

的無(wú)偏估計(jì))來(lái)代替

,分析構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g(?),在H0成立的前提下確定g(?)的概率分布,通過(guò)等式P

((X

1

,,X

n

)

D

)

α

確定D.參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)鍵是要找一個(gè)確定性的區(qū)域(域)D

R

n，使得當(dāng)H

成立0是一個(gè)小概率事件.三、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系一旦抽樣結(jié)果使小概率事件發(fā)生，就否定原假設(shè)H0

,參數(shù)的區(qū)間估計(jì)則是找一個(gè)隨機(jī)區(qū)間I，使I包含待估參數(shù)

是個(gè)大概率