概統(tǒng)-老師課件概率

第三節(jié)

條件分布量的條件分布量的條件分布離散型隨連續(xù)型隨課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)在第一章中，

介紹了條件概率的概念

.P(B)P(

A

|

B)

P(

AB)在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨

量設(shè)有兩個r.v

X,Y

，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分別以X和Y

表示其體重和身高.

則X和Y都是隨

量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求

X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.一、離散型隨量的條件分布實際念在另一種形式下的定義1

設(shè)

(

X,Y

)

是二維離散型隨量，對于固定的j，若P{Y

=yj

}>0，則稱P{X=

xi

|Y=

yj

}=i

jpp

j，i=1,2,

…類似定義在X=xi

條件下隨量Y

的條件分布律.P

X

xi

,Y

y

j

P

Y

y

j

為在

Y

=

yj條件下隨

量X的條件分布律.作為條件的那個r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,

…P

X

xi

Y

y

j

0iP X

x Y

y

j

1i

1n次射擊2nn-11…

……….…m例1

一射手進(jìn)行射擊，射擊進(jìn)行到

目標(biāo)兩次為止.

以

X

表示首p

1次

目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以

Y

表示總共進(jìn)行目標(biāo)的概率p

0

p的射擊次數(shù).試求X

和Y

的聯(lián)合分布及條件分布.解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時目標(biāo),且n-1次射

有一次目標(biāo).{X=m}表首次目標(biāo)時射擊了m次.不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于n次射擊2nn-11………….…m每次目標(biāo)的概率為

pP{X=m,Y=n}=？P

X

m,Y

n

p2

1

pn2由此得X和Y的聯(lián)合分布律為P

X

m,Y

n(

n=2,3,

…;

m=1,2,

…,

n-1)為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(

m=1,2,

…)nm

1nm

1(1

p)n2

p2

(1

p)n2

p21

(1

p)

p2

(1

p)m12

p(1

p)m1P

X

m

P

X

m,Y

nnm1Y的邊緣分布律是：n1

p2

(1

p)n2m

1

(n

1)

p2

(1

p)n2(

n

=

2,3,

…

)n1P

Y

n

P

X

m,Y

nm1于是可求得：,1n

1當(dāng)n=2,3,…時，m=1,2,

…,n-1P{Y

n}p2

(1

p)n2(n

1)

p2

(1

p)n2

P{X

m,Y

n}聯(lián)合分布邊緣分布P

X

m

Y

nn=m+1,m+2,

…當(dāng)m=1,2,…時，

P{X

m,Y

n}P{X

m}2

n2

p

(1

p)p(1

p)m1

p(1

p)nm1,PY

n

X

m二、連續(xù)型隨

量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面直接給出條件概率密度的定義.f

(

y)YX

|Yf

(

x

|

y)

f

(

x,

y)設(shè)X

和Y

的聯(lián)合概率密度為

f

x則稱為在

的條件下

f

x,

yfY

y

Y

yX

的條件概率密度.記為

xxX

YYf

x,

y

fdxfyx

y dx

稱為在Y

y的條件下,

X

的條件分布函數(shù).

記為P

X

x

Y

y或FX

Y

x

y

定義2

X

,Y

關(guān)于Y

的邊緣概率密度為

fY

y

,若對于固定

Yy

0,y

f的

,f

(

x)XY

|

Xf

(

y

|

x)

f

(

x,

y)

xX

YYf

x,

y

f

y

dxP X

x

Y

y

Fx

y

即類似地,可以定義

yY

XXf

x,

y

Ff

x

dyy

x

來解釋一下定義的含義：f

(

y)YX

|Yf

(

x

|

y)

f

(

x,

y)以為例

0PX

xY

y

lim

PX

x

y

Y

y

PX

x

y

Y

y

PX

x,

y

Y

y

Py

Y

y

y

yxy

yfY

ydyf

x,

ydy

dx21

f

y

f

x,

y

dxxf

x,

y

dx1fY

y

2

x

0

Yf

x,

ydxfY

yxxfY

yPX

x

Y

yf

x,

ydxFX

Y

x

y

f

yd

xYX

YX

Yx

y

f

x,

yf

x

y

d

F求P{X>1|Y=y}., 0

x

,

0

y

0

,

其它

yf

(

x,

y)

例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是e

x

ye

y1f

X

|Y

(

x

|

y)dx為此,

需求出f

X

|Y

(

x

|

y)

解

P X

1

Y

yf

(

y)f

(

x,

y)Yf

X

|Y

(

x

|

y)

由于

fY

(

y)

f

(

x,

y)dx0e

e

y

x

y

ydx0

x

y

y[

ye

]e

y

e

y

,于是對y>0,0

y

,e

x

yx

0故對y

>0,P{X>1|Y=y}1dxyey

x

y1

e

x

y

e1

yxyyo

y例3設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為

0,

1

,

y2

1其它x2f

(

x,

y)

求fY

|X

(y

|

x)

0,

2|

x

|

1|

x

|

11

x2

,f

X

(

x)

f

(

x,

y)dy

解X的邊緣密度為xoy當(dāng)|x|<1時,有f

(

x)f

(

x,

y)fY

|X

(

y

|

x)

(2

)

1

x22

1

x2X

1

1

,1

x2

1

x2

y

oyxx

xx

0,

2|

x

|

1|

x

|

11

x2

,f

X

(

x)

f

(

x,

y)dy

0,1

y

1

x2y

取其它值,

1

x2fY

|X

(

y

|

x)

2

1

x2X作為已知變量即當(dāng)|x|<1

時,有這里是y的取值范圍X已知的條件下Y

的條件密度例4

設(shè)數(shù)X

在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到

X=x(0<x<1)時，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值

.求Y

的概率密度.

0,

其它解依題意，X具有概率密度0

x

1f

(

x)

1,X對于任意給定的值

x

(0<x<1)，在X=x

的條件下，Y的條件概率密度為1,

x

y

1其它fY

|

X

(

y

|

x)

1

x

0,X

和Y

的聯(lián)合密度為f

(

x,

y)

fX

(

x)

fY

|X

(

y

|

x)

1

, 0

x

y

10,

其它1

x于是得Y的概率密度為Yf

(

x,

y)dxf

(

y)

0,

1

yy), 0

y

1其它dx

ln(1

0

1

x已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度xoyy

x1yyy已經(jīng)知道，設(shè)(X,Y)是連續(xù)型r.v，若對任意的x,y,有f

(x,

y)

f

X

(x)

fY

(

y)則稱X,Y相互獨立.

由條件密度的定義：可知，當(dāng)X與Y相互獨立時，fY

|

X

(

y

|

x)

fY

(

y),也可用此條件判別二維連續(xù)型r.v(X,Y)的兩個分量X與Y是否相互獨立.f

(

x)XY

|

Xf

(

y

|

x)

f

(

x,

y)f

(

y)YX

|Yf

(

x

|

y)

f

(

x,

y)f

X

|Y

(

x

|

y)

f

X

(

x)對離散型r.v有類似的結(jié)論，請自行給出.三、課堂練習(xí)對于二維正態(tài)分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布.設(shè)(X,Y)的概率密度是e

y

,

x

0,

y

xf

x,

y

0,

其它求fX

|Y

(x

|

y).

211

21

221σ

22πσ

σσ

σσ

21

(

x

μ

)2f

x,

y

1

2 1

ρ1

ρ2exp(

x

μ

)(

y

μ

)(

y

μ

)2

2

ρ

1

2

2

11112σ

2Xe2πσ(

x

μ

)2f

x

1.

對于二維正態(tài)分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布.

2

21

2

1

2X

,Y

~

Nμ

,

μ

,σ

,σ

,

ρ

,則其概率解

設(shè)密度為X的邊緣密度為在X=

x

條件下，Y

的條件概率密度為Xf

x

2121

21σ

2σ

σσ

21

ρ2

(

x

μ

)2exp

1

2 1

ρ2πσ

1

ρ2(

x

μ

)(

y

μ

)(

y

μ

)2