2020高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 .1.1 傾斜角與斜率學(xué)案（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1。1傾斜角與斜率知識導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1。傾斜角和斜率都是表示直線方向的幾何量，它們分別從“形”和“數(shù)”兩方面反映直線的傾斜程度．2．求直線斜率的方法有：定義法、公式法等．3．用正切函數(shù)(k＝tanα)的圖象來掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系并熟記．4．由兩點坐標(biāo)計算直線的斜率,為求直線的方程奠定基礎(chǔ)．高考導(dǎo)航1。已知直線的傾斜角（斜率）,求直線的斜率（傾斜角）的問題，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值5分．2．過兩點的直線的斜率公式是高考的高頻考點，常與其他知識相結(jié)合,各種題型均有出現(xiàn)，分值4～6分。知識點一直線的傾斜角1．直線l的傾斜角的概念一個前提：直線l與x軸相交;一個基準(zhǔn)：取x軸作為基準(zhǔn)；兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向．2．傾斜角的范圍當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此，直線的傾斜角α的取值范圍為[0°，180°)．1.傾斜角定義中含有三個條件：①x軸正方向;②直線向上的方向;③小于180°的非負角．2．平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．知識點二直線的斜率1．定義：傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率．2．記法：斜率常用k表示，即k＝tan_α。3．斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系。圖示傾斜角α＝0°0°<α〈90°α＝90°90°〈α<180°斜率0k〉0不存在k<04.公式:經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2,y2)（x1≠x2）的直線的斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1）.直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸（平行于y軸或與y軸重合)．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確。（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1)任一直線都有傾斜角,都存在斜率．(）（2)傾斜角為135°的直線的斜率為1.(）(3）若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanα.(）(4）直線斜率的取值范圍是(－∞,＋∞)．(）答案:（1）×(2)×（3)×(4)√2．［2019·山東省棗莊市校級月考］給出下列結(jié)論：①任意一條直線有唯一的傾斜角；②一條直線的傾斜角可以為－30°;③傾斜角為0°的直線只有一條，即x軸；④若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)；⑤若α是直線l的傾斜角，且sinα＝eq\f（\r（2），2），則α＝45°.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析:任意一條直線有唯一的傾斜角,傾斜角不可能為負，傾斜角為0°的直線有無數(shù)條，它們都垂直于y軸，因此①正確，②③錯誤．④中當(dāng)α＝0°時，sinα＝0,故④錯誤，⑤中α有可能為135°，故⑤錯誤．答案：A3．已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為（)A.eq\f(\r(3)，3)B。eq\r(3)C．1D。eq\f(\r（2）,2)解析:由題意可知,直線l的斜率k＝tan30°＝eq\f（\r(3)，3）.答案：A4．［2019·泰州校級月考］經(jīng)過點(0,2)和點（3，0)的直線的斜率為(）A.eq\f(2,3）B。eq\f(3，2）C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(3，2)解析：斜率k＝eq\f（0－2，3－0）＝－eq\f（2，3）.答案:C類型一求直線的傾斜角例1求圖中各直線的傾斜角．【解析】（1）如圖（1)，可知∠OAB為直線l1的傾斜角．易知∠ABO＝30°,∴∠OAB＝60°，即直線l1的傾斜角為60°。(2)如圖(2），可知∠xAB為直線l2的傾斜角,易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°,∴∠xAB＝135°，即直線l2的傾斜角為135°。(3)如圖（3)，可知∠OAC為直線l3的傾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°,即直線l3的傾斜角為150°。求直線的傾斜角，關(guān)鍵是依據(jù)平面幾何知識判斷直線向上方向與x軸正向之間所成的角，同時應(yīng)明確傾斜角的定義及傾斜角的范圍．方法歸納根據(jù)定義求直線的傾斜角的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出草圖；然后根據(jù)定義找直線向上的方向與x軸的正方向的夾角，即為直線的傾斜角．畫圖時一般要分情況討論，討論時要做到不重不漏，討論時的分類主要有0°、銳角、直角和鈍角四類．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)直線l過坐標(biāo)原點，它的傾斜角為α.如果將l繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當(dāng)0°≤α＜135°時，傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α〈180°時，傾斜角為α－135°解析：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示．A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過圖形可知:當(dāng)0°≤α〈135°時，l1的傾斜角為α＋45°;當(dāng)135°≤α〈180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°，故選D.答案:D條件中未指明α的范圍,畫出圖形考慮到傾斜角的范圍,對α分類討論．類型二直線的斜率例2（1）已知兩條直線的傾斜角分別為60°,135°，求這兩條直線的斜率;(2)已知A（3,2），B(－4，1)，C（0，－1)，求直線AB，BC，AC的斜率；（3）求經(jīng)過兩點A(2,3），B(m,4)的直線的斜率．【解析】(1)直線的斜率分別為k1＝tan60°＝eq\r（3），k2＝tan135°＝－1；（2）直線AB的斜率kAB＝eq\f(1－2,－4－3）＝eq\f（1，7)；直線BC的斜率kBC＝eq\f(－1－1,0－－4)＝eq\f（－2，4）＝－eq\f(1,2）;直線AC的斜率kAC＝eq\f（2－－1,3－0）＝eq\f(3,3)＝1.(3）當(dāng)m＝2時，直線AB的斜率不存在；當(dāng)m≠2時，直線AB的斜率為kAB＝eq\f（4－3，m－2)＝eq\f（1,m－2）。1．利用k＝tanα求斜率．2．當(dāng)x1≠x2時，利用k＝eq\f(y2－y1，x2－x1）求斜率．方法歸納(1)求直線的斜率通常有兩種方法：一是已知直線的傾斜角α（α≠90°)時，可利用斜率的定義，即k＝tanα求得；二是已知直線所經(jīng)過的兩點的坐標(biāo)時,可利用過兩點的直線的斜率公式計算求得．（2)使用斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1)求斜率時，要注意其前提條件是x1≠x2，若x1＝x2，即兩點的橫坐標(biāo)相等時,直線斜率不存在．（3)利用斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)時，如果兩點的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則應(yīng)討論橫坐標(biāo)是否相等再確定直線的斜率．,跟蹤訓(xùn)練2已知坐標(biāo)平面內(nèi)△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（－1,1),B(1,1），C(1，－1），求直線AB,BC，AC的斜率．解析：kAB＝eq\f（1－1，1－－1）＝0,kAC＝eq\f(－1－1，1－－1）＝－1.∵B，C兩點的橫坐標(biāo)相等，∴直線BC的斜率不存在．已知點的坐標(biāo)，可代入過兩點的直線的斜率公式求斜率，但應(yīng)先驗證兩點的橫坐標(biāo)是否相等．類型三直線的傾斜角、斜率的綜合應(yīng)用例3已知兩點M（2，－3),N(－3，－2）,直接l過點P（3,3）且與線段MN相交,試求l的斜率k的取值范圍．【解析】過點P且與線段MN相交的直線,必在PM與PN之間（含直線PM、PN）．因為kPN＝eq\f（3－－2，3－－3）＝eq\f（5，6），kPM＝eq\f（3－－3，3－2）＝6,且在過P點且與線段MN相交的直線中，不含垂直于x軸的直線，所以直線l的斜率k的取值范圍為eq\f(5，6）≤k≤6。利用斜率公式找到臨界條件，建立等量關(guān)系式，然后確定斜率k的取值范圍．方法歸納已知直線的傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍時，要注意對傾斜角按銳角和鈍角兩種情況分別進行分析求解；已知斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時，應(yīng)對斜率分正值和負值兩種情況分別進行分析求解．跟蹤訓(xùn)練3已知經(jīng)過兩點A(5，m）和B（m，8)的直線的斜率大于1,求實數(shù)m的取值范圍．解析：由題意得eq\f(8－m，m－5）>1，∴eq\f(8－m,m－5)－1>0，∴eq\f(8－m－m＋5，m－5)〉0，即eq\f(2m－13，m－5）〈0,∴5<m〈eq\f(13，2).故m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（5,\f（13,2))）.直接依據(jù)斜率公式建立不等式,然后求解不等式，即可得到所求的結(jié)果。［基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題（每小題5分，共25分）1．已知直線過點A（0，4）和點B(1，2)，則直線AB的斜率為（)A．3B．－2C．2D．不存在解析：由題意可得AB的斜率為k＝eq\f(2－4,1－0）＝－2。答案:B2．以下兩點確定的直線的斜率不存在的是（）A．(4，1）與（－4，－1）B．(0，1)與（1,0）C．（1，4)與（－1，4）D．(－4，1）與(－4，－1)解析:選項A，B，C，D中，只有D選項的橫坐標(biāo)相同,所以這兩點確定的直線與x軸垂直，即它們確定的直線的斜率不存在．答案:D3．［2019·孝感檢測]已知直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（）A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°<α〈180°。答案：C4．直線l的傾斜角是斜率為eq\f（\r(3),3）的直線的傾斜角的2倍，則l的斜率為()A．1B.eq\r(3）C.eq\f(2\r（3），3)D．－eq\r（3）解析：∵tanα＝eq\f(\r（3),3），0°≤α〈180°，∴α＝30°，∴2α＝60°,∴k＝tan2α＝eq\r(3）。故選B。答案:B5．過點M(－2,m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為(）A．1B．4C．1或3D．1或4解析：∵kMN＝eq\f(m－4，－2－m)＝1,∴m＝1。答案：A二、填空題(每小題5分,共15分)6．若直線l的斜率k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(\r（3)，3)））,則該直線的傾斜角α的取值范圍是________．解析:當(dāng)0≤k〈eq\f（\r（3),3）時，因為tan0°＝0，tan30°＝eq\f（\r(3),3),所以0°≤α<30°.答案：［0°,30°）7．已知A（2,－3)，B（4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（5，\f（m，2)）)三點在同一條直線上，則實數(shù)m的值為________．解析：因為A、B、C三點在同一條直線上，所以有kAB＝kAC，即eq\f(3－－3，4－2)＝eq\f（\f（m,2)－－3,5－2)，解得m＝12。答案：128．若ab<0，則過點Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，－\f（1,b）)）與Qeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a），0)）的直線PQ的傾斜角的取值范圍是________．解析：kPQ＝eq\f(－\f(1，b)－0,0－\f(1,a）)＝eq\f（a,b)〈0，又傾斜角的取值范圍為［0，π）,故直線PQ的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）,π）)。答案：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)）三、解答題(每小題10分，共20分）9．經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.（1)A(2，3），B（4,5）；(2)C（－2，3)，D(2，－1);(3）P（－3，1),Q（－3,10）．解析：（1）存在．直線AB的斜率kAB＝eq\f（5－3,4－2)＝1，即tanα＝1,又0°≤α〈180°，所以傾斜角α＝45°.(2)存在．直線CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2）＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°,所以傾斜角α＝135°。(3）不存在．因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.10．如圖，直線l2的傾斜角α2＝120°，直線l1的傾斜角為α1，直線l1⊥l2,求直線l1的斜率．解析：由平面幾何知識可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°,所以直線l1的斜率為k＝tan30°＝eq\f（\r（3）,3）.［能力提升］(20分鐘，40分）11．給出下列說法：①若α是直線l的傾斜角,則0°≤α＜180°；②若k是直線的斜率，則k∈R；③任意一條直線都有傾