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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十八向量基本定理(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對(duì)的得4分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)下列敘述正確的是 ()A.若a,b共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使a=λbB。b=3a(a為非零向量),則a,bC。若m=3a+4b,n=32a+2b,則mD。若a+b+c=0,則a+b=-c【解析】選B,C,D.判斷非零向量a與b共線的方法是:存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.在A選項(xiàng)中,若a=b=0時(shí)不成立。所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤,B選項(xiàng)正確;在C選項(xiàng)中,m=2n,所以m∥n,所以C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng)也正確。2。(2018·全國卷I)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則= ()A。34—14 B。14—34C.34+14 D.14+34【解析】選A。如圖所示=—=-12=-12·12(+)=34—14.3.(2019·日照高一檢測(cè))如圖,向量a—b等于 ()A.-4e1—2e2 B.-2e1—4e2C.e1-3e2 D。3e1—e2【解析】選C。如圖不妨令a=,b=,則a-b=-=,由平行四邊形法則可知=e1-3e2。4.已知非零向量,不共線,且2=x+y,若=λ(λ∈R),則x,y滿足的關(guān)系是 ()A.x+y-2=0 B。2x+y—1=0C。x+2y—2=0 D.2x+y—2=0【解析】選A。由=λ,得-=λ(—),即=(1+λ)—λ。又因?yàn)?=x+y,所以x=2+2λ,y=-2λ,消去λ得x+y=2。二、填空題(每小題4分,共8分)5。(2019·天水高一檢測(cè))已知a,b不共線,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c與b共線,則λ1=________【解析】因?yàn)閍,b不共線,所以a,b可以作為一組基底,又因?yàn)閏與b共線,所以c=λ2b,所以λ1=0.答案:06。如圖,在平面內(nèi)有三個(gè)向量,,,||=||=1,與的夾角為120°,與的夾角為30°,||=53,設(shè)=m+n(m,n∈R),則m+n=________.
【解析】作以O(shè)C為一條對(duì)角線的平行四邊形OPCQ,則∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=53,則||=5,||=10,所以||=10,又||=||=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.答案:15三、解答題(共26分)7.(12分)設(shè)a,b不共線,c=2a-b,d=3a-2b,試判斷c,d【解析】假設(shè)存在唯一實(shí)數(shù)λ,使c=λd,則2a—b=λ(3a—2b),即2-3λa+由a,b不共線得2-3所以這樣的λ是不存在的,從而c,d不共線,所以c,d能作為基底。8.(14分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN交于點(diǎn)P,求AP∶PM的值?!窘馕觥吭O(shè)=e1,=e2,則=+=—3e2-e1,=+=2e1+e2。因?yàn)锳,P,M和B,P,N分別共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,μ,使=λ=—λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又因?yàn)?+=2e1+3e2,所以λ+2μ所以=45,即AP∶PM=4∶1。(15分鐘·30分)1.(4分)如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),N是線段OD的中點(diǎn),AN的延長線與CD交于點(diǎn)E,則下列說法錯(cuò)誤的是 ()A.=+ B.=-C.=12+12 D。=53+【解析】選D。由向量減法的三角形法則知,=-,排除B;由向量加法的平行四邊形法則知,=+,=12=12+12,排除A,C.2.(4分)在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且=3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若=x+(1-x),則x的取值范圍是 ()A.0,12C.-12,【解析】選D。依題意,設(shè)=λ,其中1〈λ〈43,則有=+=+λ=+λ=(1-λ)+λ。又因?yàn)?x+(1-x),且,不共線,于是有x=1-λ∈-13,0,即x的取值范圍是-133.(4分)已知e1,e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________。
【解析】若能作為平面內(nèi)的一組基底,則a與b不共線。a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb即得λ≠4.答案:(-∞,4)∪(4,+∞)4。(4分)若G是△ABC的重心,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),則++=________。
【解析】令=a,=b,則=-=—23=—13(a+b).=-=—23=-=—13b+23a,=—=—23==-13a+23b,所以++=—13a-13b-13b+23a—13a+23b=0.答案:05。(14分)設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2。 (1)證明:a,b可以作為一組基底。(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值?!窘馕觥浚?)若a,b共線,則存在v∈R,使a=vb,則e1—2e2=v(e1+3e2).由e1,e2不共線,得v=1,所以v不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底。(2)設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),則3e1—e2=m(e1—2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(—2m+3n)e2所以m+n=3,-2m+3n(3)由4e1—3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(—2λ+3μ)e2。所以λ+μ故所求λ,μ的值分別為3和1.1.在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且=23+13,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又=t,則t的值為________.
【解析】因?yàn)?23+13,所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn),如圖所示。因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線,所以=x+(1—x)=x2+(x-1),而=-,所以=x2+x2-1又=—=—+13,由已知=t,可得x2+x2-1=t又,不共線,所以x2=t3,答案:32。設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,記=a,=t
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