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西師版小學數(shù)學_畢業(yè)總復習資料西師版小學數(shù)學_畢業(yè)總復習資料西師版小學數(shù)學_畢業(yè)總復習資料資料僅供參考文件編號:2022年4月西師版小學數(shù)學_畢業(yè)總復習資料版本號:A修改號:1頁次:1.0審核:批準:發(fā)布日期:第一章數(shù)和數(shù)的運算一、概念和結(jié)論(一)整數(shù)1、整數(shù):自然數(shù)和0都是整數(shù)。整數(shù)分為正整數(shù)、0和負整數(shù)。2、自然數(shù):我們在數(shù)物體的時候,用來表示物體個數(shù)的0、1、2、3……叫做自然數(shù),一個物體也沒有,就用0表示。0是最小的自然數(shù),自然數(shù)包括正整數(shù)和0。3、計數(shù)單位:一(個)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。4、數(shù)位:計數(shù)單位按照一定的順序排列起來,它們所占的位置叫做數(shù)位。
5、數(shù)的整除:如果整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0),除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就說a能被b整除,或者說b能整除a。
如果數(shù)a能被數(shù)b(b≠0)整除,a就叫做b的倍數(shù),b就叫做a的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除,所以35是7的倍數(shù),7是35的因數(shù)。
一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。例如:10的因數(shù)有1、2、5、10,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是10。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的,其中最小的倍數(shù)是它本身,沒有最大的倍數(shù)。例如:3的倍數(shù)有:3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。一個數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)相等,都是它本身。一個數(shù)的所有倍數(shù)都是它的所有因數(shù)的倍數(shù),一個數(shù)的所有因數(shù)都是它的所有倍數(shù)的因數(shù)。6、能被2、3、5、8、9整除的數(shù)的特征:能被2整除的數(shù)的特征:個位上是0、2、4、6、8的數(shù),都能被2整除,例如:202、480、304。
能被5整除的數(shù)的特征:個位上是0或5的數(shù),都能被5整除,例如:5、30、405。
能被5整除的數(shù)的特征:一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除,這個數(shù)就能被3整除,例如:204、48.能被9整除的數(shù)的特征:一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除,這個數(shù)就能被9整除。例如:234、630.能被4(或25)整除的數(shù)的特征:一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4(或25)整除,這個數(shù)就能被4(或25)整除。能被8(或125)整除的數(shù)的特征:一個數(shù)的末三位數(shù)能被8(或125)整除,這個數(shù)能被8(或125)整除。能被3整除的數(shù)不一定能被9整除,但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。能同時被2和3整除的數(shù),一定是6的倍數(shù)。能同時被2和5整除的數(shù),個位一定是0(也就是10的倍數(shù))。能同時被3和5整除的數(shù),一定是15的倍數(shù)。能同時被2、3、5整除的數(shù),一定是30的倍數(shù);能同時被2、3、5整除的最小三位數(shù)是120,最大的三位數(shù)是990。7、偶數(shù)與奇數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù):自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù),最小的偶數(shù)是0。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù),最小的奇數(shù)是1。按因數(shù)的個數(shù)可以把自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1三類。只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。除了1和它本身之外還有別的因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù),例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。質(zhì)數(shù)只有兩個因數(shù),合數(shù)至少有三個因數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的合數(shù)是4,既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)只有2,20以內(nèi)既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)只有9和15。分解質(zhì)因數(shù):把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式,叫做分解質(zhì)因數(shù)。這幾個質(zhì)數(shù)叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。例如:15=3×5,3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。8、公因數(shù)與公倍數(shù):幾個數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個,叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù),例如12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和18的公因數(shù),6是它們的最大公因數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個,叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),如2的倍數(shù)有2、4、6……;3的倍數(shù)有3、6、9……。其中,6、12……是2和3的公倍數(shù),6是2和3的最小公倍數(shù)。幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的,而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時,它們的最大公因數(shù)是1,最小公倍數(shù)是它們的乘積。兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時,它們的最大公因數(shù)是較小數(shù),最小公倍數(shù)是較大數(shù)。9、互質(zhì)數(shù):互質(zhì)數(shù):公因數(shù)只有1的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù)。互質(zhì)的兩個數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)。互質(zhì)數(shù)的6種特例:相鄰的兩個自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù),例如:15和16;相鄰的兩個奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù),例如:15和17;1和任何一個自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù);2和任何一個奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù);兩個不同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù),例如:7和13;一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù),如果它們不成倍數(shù)一定是互質(zhì)數(shù),例如:5和33。(二)小數(shù)1、小數(shù)的意義
把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾……
一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點,小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。在小數(shù)里,每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是10。2、小數(shù)的分類
純小數(shù):整數(shù)部分是零的小數(shù),叫做純小數(shù)。例如:和。帶小數(shù):整數(shù)部分不是零的小數(shù),叫做帶小數(shù)。例如:和。有限小數(shù):小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù),叫做有限小數(shù)。例如:和。無限小數(shù):小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù),叫做無限小數(shù)。例如:……和……。無限不循環(huán)小數(shù):一個數(shù)的小數(shù)部分,數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限,這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如:∏循環(huán)小數(shù):一個數(shù)的小數(shù)部分,有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn),這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如:………………。一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如:……的循環(huán)節(jié)是“9”,……的循環(huán)節(jié)是“54”。
純循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的,叫做純循環(huán)小數(shù)。例如:…………?;煅h(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的,叫做混循環(huán)小數(shù)。例如:…………。寫循環(huán)小數(shù)的時候,為了簡便,小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié),并在這個循環(huán)節(jié)的首位數(shù)字和末位數(shù)字上各點一個圓點。(三)分數(shù)1、分數(shù)的意義:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。在分數(shù)里,中間的橫線叫做分數(shù)線;分數(shù)線下面的數(shù),叫做分母,表示把單位“1”平均分成多少份;分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子,表示有這樣的多少份。
2、分數(shù)的分類:真分數(shù):分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。
假分數(shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù),叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。
帶分數(shù):假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù),通常叫做帶分數(shù)。3、約分和通分:把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù),叫做約分。分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù),叫做最簡分數(shù)。把一個分數(shù)化成最簡分數(shù)的過程叫做化簡分數(shù)。把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù),叫做通分。
(四)百分數(shù):表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù),也叫做百分率或百分比。百分數(shù)通常用“%”來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。二、方法(一)數(shù)的讀法和寫法
1、整數(shù)(1)整數(shù)的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。讀億級、萬級時,先按照個級的讀法去讀,再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來,其它數(shù)位上有一個0或連續(xù)的幾個0都只讀一個零。
(2)整數(shù)的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪一個數(shù)位上一個單位也沒有,就在那個數(shù)位上寫0。
2、小數(shù)(1)小數(shù)的讀法:讀小數(shù)的時候,整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀,小數(shù)點讀作“點”,小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。
(2)小數(shù)的寫法:寫小數(shù)的時候,整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫,小數(shù)點寫在個位右下角,小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。3、分數(shù)(1)分數(shù)的讀法:讀分數(shù)時,先讀分母再讀“分之”然后讀分子,分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。
(2)分數(shù)的寫法:先寫分數(shù)線,再寫分母,最后寫分子,按照整數(shù)的寫法來寫。
4、百分數(shù)(1)百分數(shù)的讀法:讀百分數(shù)時,先讀百分之,再讀百分號前面的數(shù),讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。
(2)百分數(shù)的寫法:百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式,而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。
(二)數(shù)的改寫
一個較大的多位數(shù),為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要,省略這個數(shù)某一位后面的數(shù),寫成近似數(shù)。
1.準確數(shù):在萬位或億位數(shù)字后面打上小數(shù)點,省略小數(shù)末尾的0,再加上一個“萬”字或“億”字,用等號連接。例如:00=125430萬;00=億。2.近似數(shù):找到萬位或億位,看千位或千萬位上的數(shù)字是否滿5,滿了5就向前一位進一,并舍去尾數(shù);沒滿5就直接舍去尾數(shù),同時在后面加上一個“萬”字或“億”字,用約等號連接。例如:15≈130249萬,15≈13億。
(三)近似數(shù)1、四舍五入法:比保留的位數(shù)多看一位,該位上的數(shù)字是“4”或者比“4”小,就舍去,該位上的數(shù)字是“5”或者比“52、去尾法:無論尾數(shù)的是幾,一律舍去的湊整方法叫做“去尾法”。3、進一法:無論尾數(shù)是幾,舍去時,并向前進一。(四)大小比較
1、比較整數(shù)大小:先看位數(shù),位數(shù)多的那個數(shù)就大;如果位數(shù)相同,就看最高位,最高位上的數(shù)大,那個數(shù)就大;最高位上的數(shù)相同,就看下一位,哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。2、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分,整數(shù)部分大的那個數(shù)就大;整數(shù)部分相同的,十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大;十分位上的數(shù)也相同的,百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大……
3、比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù),分子大的分數(shù)比較大;分子相同的數(shù),分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的,先通分,再比較兩個數(shù)的大小。
4、0與負數(shù)的比較:0比任何負數(shù)都大。5、比較負數(shù)的大小:在負數(shù)中,數(shù)值越大的負數(shù)反而越小,數(shù)值越小的負數(shù)反而越大。(五)數(shù)的互化1、小數(shù)化成分數(shù):原來有幾位小數(shù),就在1的后面寫幾個零作分母,把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子,能約分的要約分。
2、分數(shù)化成小數(shù):用分子除以分母。能除盡的就化成有限小數(shù),有的不能除盡,不能化成有限小數(shù)的,一般保留兩位小數(shù)。
3、一個最簡分數(shù),如果分母中除了2和5以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就能化成有限小數(shù);如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。
4、小數(shù)化成百分數(shù):把小數(shù)點向右移動兩位,同時在后面添上百分號。
5、百分數(shù)化成小數(shù):把百分號去掉,同時把小數(shù)點向左移動兩位。6、分數(shù)化成百分數(shù):通常先把分數(shù)化成小數(shù)(除不盡時,通常保留三位小數(shù)),再把小數(shù)化成百分數(shù)。
7、百分數(shù)化成小數(shù):先把百分數(shù)改寫成分數(shù),能約分的要約成最簡分數(shù)。
8、熟記常用的分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化:EQ\F(1,2)==50%EQ\F(1,4)==25%EQ\F(3,4)==75%EQ\F(1,5)==20%EQ\F(2,5)==40%EQ\F(3,5)==60%EQ\F(4,5)==80%EQ\F(1,8)==%EQ\F(3,8)==%EQ\F(5,8)==%EQ\F(7,8)==%EQ\F(1,25)==4%(六)數(shù)的整除
1、分解質(zhì)因數(shù):把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除,一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。
2、求兩個數(shù)的最大公因數(shù):先用這兩個數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來,所得的積就是這兩個數(shù)的的最大公因數(shù)。
3、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù):方法與求最大公因數(shù)的方法相同,只是最后要把所有的除數(shù)和商連乘求積,這個積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
(七)約分和通分
約分:用分子和分母的公因數(shù)(1除外)同時去除分子、分母;通常要除到得出最簡分數(shù)為止。
通分:先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù),然后把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。三、性質(zhì)和規(guī)律(一)乘法的規(guī)律一個因數(shù)不變,另一個因數(shù)擴大或縮小若干倍,積也隨著擴大或縮小相同的倍數(shù);一個因數(shù)擴大若干倍,另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù),積不變。一個非零數(shù)乘小于1的數(shù),積小于這個數(shù);一個非零數(shù)乘大于1的數(shù),積大于這個數(shù);(二)乘法的規(guī)律商不變的規(guī)律:被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù),商不變。
除數(shù)不變,被除數(shù)擴大或縮小若干倍,商也隨著擴大或縮小相同的倍數(shù);被除數(shù)不變,除數(shù)擴大或縮小若干倍,商反而縮小或擴大相同的倍數(shù)。當被除數(shù)不為0時,除數(shù)大于1,商反而小于被除數(shù);除數(shù)小于1,商反而大于被除數(shù)。(三)小數(shù)的性質(zhì)在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零,小數(shù)的大小不變。近似數(shù)末尾的0不能去掉。(四)小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化小數(shù)點向右移動一位,原來的數(shù)就擴大10倍;小數(shù)點向右移動兩位,原來的數(shù)就擴大100倍……小數(shù)點向左移動一位,原來的數(shù)就縮小10倍;小數(shù)點向左移動兩位,原來的數(shù)就縮小100倍……小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時,要用“0"補足。(五)分數(shù)的基本性質(zhì):分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)(零除外),分數(shù)的大小不變。
四、四則運算的意義(一)整數(shù)四則運算1、整數(shù)加法:把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。
在加法里,相加的數(shù)叫做加數(shù),加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù),和是總數(shù)。
加數(shù)+加數(shù)=和
一個加數(shù)=和-另一個加數(shù)
2、整數(shù)減法:已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù),求另一個加數(shù)的運算叫做減法。
在減法里,已知的和叫做被減數(shù),已知的加數(shù)叫做減數(shù),未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù),減數(shù)和差分別是部分數(shù)。加法和減法互為逆運算。被減數(shù)-減數(shù)=差被減數(shù)=減數(shù)+差3、整數(shù)乘法:求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法里,相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。0和任何數(shù)相乘都得0,1和任何數(shù)相乘都得任何數(shù)。
因數(shù)×因數(shù)=積
積÷一個因數(shù)=另一個因數(shù)4、整數(shù)除法:已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算叫做除法。在除法里,已知的積叫做被除數(shù),已知的一個因數(shù)叫做除數(shù),所求的因數(shù)叫做商。乘法和除法互為逆運算。在除法里,0不能做除數(shù)。因為0和任何數(shù)相乘都得0,所以任何一個數(shù)除以0,均得不到一個確定的商。
被除數(shù)÷除數(shù)=商
除數(shù)=被除數(shù)÷商
被除數(shù)=商×除數(shù)
5、乘方:求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如4×4=42=16,4×4×4=43=64。(二)小數(shù)四則運算小數(shù)加法、減法、小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)除法的意義與整數(shù)相同。一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。(三)分數(shù)四則運算
分數(shù)加法、減法、分數(shù)乘整數(shù)、分數(shù)除法的意義與整數(shù)相同。分數(shù)乘分數(shù)的意義是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。如EQ\F(3,5)×EQ\F(3,13)表示求EQ\F(3,5)的EQ\F(3,13)的多少。乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。
五、簡便運算的依據(jù)(一)運算定律1、加法交換律:兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,它們的和不變,即a+b=b+a。
2、加法結(jié)合律:三個數(shù)相加,先把前兩個數(shù)相加,再加上第三個數(shù);或者先把后兩個數(shù)相加,再和第一個數(shù)相加它們的和不變,即a+b+c=a+(b+c)。
3、乘法交換律:兩個數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置它們的積不變,即a×b=b×a。
4、乘法結(jié)合律:三個數(shù)相乘,先把前兩個數(shù)相乘,再乘以第三個數(shù);或者先把后兩個數(shù)相乘,再和第一個數(shù)相乘,它們的積不變,即(a×b)×c=a×(b×c)。5、乘法分配律:兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘,可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
兩個數(shù)的差與一個數(shù)相乘也可以:(a-b)×c=a×c-b×c(二)加數(shù)或減數(shù)接近整數(shù)(或整十、整百數(shù)……)的簡便計算:多加就減;多減就加;少減就再減。(三)去括號(或添括號)法則。(用于同級運算中)在加、減法中:括號前面是加號,去掉括號不變號;括號前面是減號,去掉括號要變號。加變減,減變加。在乘、除法中:括號前面是乘號,去掉括號不變號;括號前面是除號,去掉括號要變號,乘變除,除變乘。(四)減法的性質(zhì):從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù),可以從這個數(shù)里減去這幾個數(shù)的和,差不變,即a-b-c=a-(b+c)。(五)積不變的性質(zhì):兩個因數(shù),一個擴大若干倍,另一個縮小相同的倍數(shù),積不變。a×b=(a×c)×(b÷c)
(六)除法的性質(zhì):一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù),可以用這個數(shù)除以這兩個數(shù)的乘積。即a÷b÷c=a÷(b×c)(七)商不變的性質(zhì):被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù),商不變。a÷b=(a÷c)÷(b÷c)a÷b=(a×c)÷(b×c)六、運算法則
1、整數(shù)加法:相同數(shù)位對齊,從個位加起,哪一位上的數(shù)相加滿十,就向前一位進一。
2、整數(shù)減法:相同數(shù)位對齊,從個位減起,哪一位上的數(shù)不夠減,就從它的前一位退一作十,和本位上的數(shù)合并在一起,再減。
3、整數(shù)乘法:先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù),用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘,乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位,哪一位上乘得的積滿幾十就向前進幾,然后把各次乘得的數(shù)加起來。4、整數(shù)除法:先從被除數(shù)的高位除起,除數(shù)是幾位數(shù),就看被除數(shù)的前幾位;如果不夠除,就多看一位,除到被除數(shù)的哪一位,商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1,要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。
5、小數(shù)乘法:先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積,再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),就從積的右邊起數(shù)出幾位,點上小數(shù)點;如果位數(shù)不夠,就用“0”6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法:先按照整數(shù)除法的法則去除,商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊;如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù),就在余數(shù)后面添“0”7、除數(shù)是小數(shù)的除法:先移動除數(shù)的小數(shù)點,使它變成整數(shù),被除數(shù)的小數(shù)點也同時向右移動相同的位數(shù)(位數(shù)不夠的補“0”8、同分母分數(shù)加減法:只把分子相加減,分母不變。9、異分母分數(shù)加減法:先通分,然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。10、分數(shù)乘法:分數(shù)乘整數(shù),用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,分母不變;分數(shù)乘分數(shù),用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。所得的積一般要寫成最簡分數(shù)。12、分數(shù)除法:甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外),等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。七、混合運算的運算順序
第一級運算:加法和減法。
第二級運算:乘法和除法。沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算;有兩級運算的先算乘、除法,后算加減法。有括號的混合運算:先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。第二章解決問題一、一般應用題常用數(shù)量關(guān)系1、單價×數(shù)量=總價總價÷數(shù)量=單價總價÷單價=數(shù)量2、平均數(shù)問題算術(shù)平均數(shù):數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。
加權(quán)平均數(shù):(部分平均數(shù)×權(quán)數(shù))的總和÷(權(quán)數(shù)的和)=加權(quán)平均數(shù)。
差額平均數(shù):(大數(shù)-小數(shù))÷2=小數(shù)應得數(shù)
最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù)最大數(shù)與個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。
3、行程問題(1)一般行程問題速度×時間=路程;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間。(2)反向行程問題:分為“相遇問題”(二人從兩地出發(fā),相向而行)和“相離問題”(兩人背向而行)兩種。(速度和)×相遇(離)時間=相遇(離)路程;相遇(離)路程÷(速度和)=相遇(離)時間;相遇(離)路程÷相遇(離)時間=速度和。(3)同向行程問題(追及問題)追及(拉開)路程÷(速度差)=追及(拉開)時間;追及(拉開)路程÷追及(拉開)時間=速度差;(速度差)×追及(拉開)時間=追及(拉開)路程。4、植樹問題(1)在非封閉線路的兩端都要植樹株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距-1全長=株距×(株數(shù)-1)株距=全長÷(株數(shù)-1)(2)在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)(3)在非封閉線路的兩端都不要植樹株數(shù)=段數(shù)-1=全長÷株距-1全長=株距×(株數(shù)+1)株距=全長÷(株數(shù)+1)(4)封閉線路上植樹株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)5、列車過橋問題(橋長+列車長)÷速度=過橋時間;(橋長+列車長)÷過橋時間=速度;速度×過橋時間=橋、車長度之和。6.單產(chǎn)量×數(shù)量=總產(chǎn)量總產(chǎn)量÷數(shù)量=單產(chǎn)量總產(chǎn)量÷單產(chǎn)量=數(shù)量7.一倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)=一倍數(shù)幾倍數(shù)÷一倍數(shù)=倍數(shù)8.較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)較大數(shù)-相差數(shù)=較小數(shù)較大數(shù)-較小數(shù)=相差數(shù)9.和差問題:較大數(shù)=(和+差)÷2較小數(shù)=(和-差)÷210.每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)量總數(shù)量÷份數(shù)=每份數(shù)總數(shù)量÷每份數(shù)=份數(shù)11.圖上距離÷實際距離=比例尺圖上距離=實際距離×比例尺實際距離=圖上距離÷比例尺二、分數(shù)應用題常用的數(shù)量關(guān)系1.求比較量:單位“1”的量×比較量對應的分率=比較量單位“1”的量×多的分率=多的數(shù)量單位“1”的量×少的分率=少的數(shù)量總之,單位“1”的量乘什么量對應的分率就等于什么量。2.求單位“1”比較量÷比較量對應的分率=單位“1”的量多的數(shù)量÷多的分率=單位“1”的量少的數(shù)量÷少的分率=單位“13.求分率:比較量÷單位“1”的量=比較量以應的分率少的數(shù)量÷單位“1”的量=少的分率多的數(shù)量÷單位“1”的量=多的分率注意:甲數(shù)比乙數(shù)多的分率≠乙數(shù)比甲數(shù)少的分率。(因為單位“1”不同。)4.工程問題:工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率合作總量=合作工效×合作時間合作時間=合作總量÷合作工效合作工效=合作總量÷合作時間5、百分率發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子數(shù)小麥的出粉率=面粉的重量÷小麥的重量產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)出勤率=實到人數(shù)÷應到人數(shù)6、納稅:繳納的稅款叫應納稅款。應納稅額與各種收入的(銷售額、營業(yè)額……)的比率叫做稅率。
應納稅款=收入×稅率7、利息:存入銀行的錢叫做本金。取款時銀行多支付的錢叫做利息。
利息與本金的比值叫做利率。利息=本金×年利率年數(shù)
稅后利息=利息×(1-利息稅率)本息=本金+利息8、利潤與折扣問題折扣率=賣價÷原價賣價=原價×折扣率減價=原價×(1-折扣率)成本=賣價÷(1-賠率)成本=賣價÷(1+賺率)賣價=成本×(1+賺率)賣價=成本×(1-賠率)漲跌金額=本金×漲跌百分比9、濃度問題溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%=濃度溶液的重量×濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量第三章度量衡一、長度單位1、常用的長度單位:千米(km)米(m)分米(dm)厘米(cm)毫米(mm)2、長度單位之間的換算
1km=1000m=100000cm1m=10dm=100cm=1000mm
1dm=10cm1cm二、面積
1、面積:物體所占平面的大小。立體物體的表面的多少一般稱表面積。2、常用的面積單位:平方厘米、平方分米、平方米、公頃、平方千米
3、面積單位之間的換算
1平方厘米=100平方毫米
1平方分米=100平方厘米
1平方米=100平方分米
1平方米=10000平方厘米
1公頃=10000平方米
1平方公里=100公頃
三、體積和容積(一)什么是體積、容積1、體積,就是物體所占空間的大小。
2、容積,箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積,通常叫做它們的容積。
(二)常用單位
1、體積單位:立方米、立方分米、立方厘米2、容積單位:升、毫升
(三)單位換算
1、體積單位:1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
2、容積單位:1升=1000毫升1升=1立方米1毫升=1立方厘米
四、質(zhì)量
(一)質(zhì)量,就是表示表示物體有多重。
(二)常用單位:噸t千克kg克g(三)常用換算:1噸=1000千克
1千克=1000克五、時間
(一)常用單位:世紀、年、月、日、時、分、秒
(二)單位換算
平年1年=365天
閏年1年=366天(年份是100的倍數(shù),如果能被400整除的,那一年是閏年;年份數(shù)不是100的倍數(shù),如果能被4整除的,那一年是閏年)1世紀=100年
1年=4個季度1天=24小時
1小時=60分
1分=60秒
1時=3600秒一、三、五、七、八、十、十二月是大月,有31天
四、六、九、十一是小月,有30天平年2月有28天
閏年2月有29天
六、貨幣
(一)常用單位:元、角、分
(二)單位換算:1元=10角
1角=10分
七、名數(shù)的改寫較大的單位叫做高級單位;較小的單位叫做低級單位。改寫方法:高級單位×進率=低級單位
低級單位÷進率=高級單位第四章代數(shù)初步知識一、用字母表示數(shù)(一)用字母表示數(shù)的意義和作用
用字母表示數(shù),可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達出來,同時也可以表示運算的結(jié)果。
(二)用字母表示數(shù)的寫法
數(shù)字和字母、字母和字母相乘時,乘號可以記作“.”,或者省略不寫,數(shù)字要寫在字母的前面。當“1”與任何字母相乘時,“1”省略不寫。在一個問題中,同一個字母表示同一個量,不同的量用不同的字母表示。(三)用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運算定律和性質(zhì)、幾何形體的計算公式1、常見的數(shù)量關(guān)系
路程用s表示,速度v用表示,時間用t表示,三者之間的關(guān)系:s=vt
v=s÷tt=s÷v總價用a表示,單價用b表示,數(shù)量用c表示,三者之間的關(guān)系:a=bcb=a÷cc=a÷b2、運算定律和性質(zhì)
加法交換律:a+b=b+a加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法的性質(zhì):a-(b+c)=a-b-c乘法交換律:ab=ba乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc)
乘法分配律:(a+b)c=ac+bc3、用字母表示幾何形體的公式
長方形的長用a表示,寬用b表示,周長用c表示,面積用s表示。
c=2(a+b)s=ab正方形的邊長a用表示,周長用c表示,面積用s表示。
c=4as=a2平行四邊形的底a用表示,高用h表示,面積用s表示。s=ah
三角形的底用a表示,高用h表示,面積用s表示。
s=ah÷2梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,中位線用m表示,面積用s表示。s=(a+b)h÷2圓的半徑用r表示,直徑用d表示,周長用c表示,面積用s表示。
c=πd=2πrs=πr2長方體的長用a表示,寬用b表示,高用h表示,表面積用s表示,體積用v表示。
v=sh=abhs=2(ab+ah+bh)正方體的棱長用a表示,底面周長c用表示,底面積用s表示,體積用v表示。s=6a2v=a圓柱的高用h表示,底面周長用c表示,底面積用s表示,體積用v表示。s側(cè)=chs表=s側(cè)+2s底
v=sh圓錐的高用h表示,底面積用s表示,體積用v表示。v=sh÷34、將數(shù)值代入式子求值
把具體的數(shù)代入式子求值的書寫格式:先寫出字母等于幾,然后寫出原式,再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù),后面不寫單位名稱。二、簡易方程
(一)方程和方程的解
1、方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程。2、方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解。3、解方程:求方程的解的過程叫做解方程。
(二)解方程的依據(jù)1、四則運算的基本關(guān)系式一個加數(shù)=和-另一個加數(shù)被減數(shù)=減數(shù)+差減數(shù)=被減數(shù)-差一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)被除數(shù)=商×除數(shù)除數(shù)=被除數(shù)÷商2、等式的性質(zhì):等式的兩邊同時加上或減去、同時乘或除以一個相同的數(shù)(1不作除數(shù)),所得的結(jié)果仍然是等式。3、移項(從等號的左邊移到右邊或從右邊移到左邊):移加作減,移減作加,移乘作除,移除作乘。4、比例的基本性質(zhì)(解比例的依據(jù)):在比例中,兩內(nèi)項的積等于兩外項的積。(三)列方程解應用題
1、列方程解應用題:用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。
2、列方程解答應用題的步驟:弄清題意,確定未知數(shù)并用x表示;找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系;列方程,解方程;檢查或驗算,寫出答案。三、比和比例(一)比的意義和性質(zhì)
1、比的意義:兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比?!埃骸笔潜忍?,讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項,比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商,叫做比值。比值可以是分數(shù),也可以是小數(shù)和整數(shù)。除法中的被除數(shù)相當于分數(shù)的分子,相當于比的前項;除法中的除數(shù)相當于分數(shù)的分母,相當于比的后項;即a÷b=EQ\F(a,b)=a:b(b≠0)。零不能作除數(shù),分數(shù)的分母、比的后項都不能為零。2、比的基本性質(zhì):比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)(0除外),比值不變。3、求比值和化簡比
求比值的方法:用比的前項除以后項,它的結(jié)果是一個數(shù)值,可以是整數(shù)、小數(shù)或分數(shù)。根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的前、后項是互質(zhì)數(shù)。4、比例尺:圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。比例尺=圖上距離:實際距離求比例尺;先統(tǒng)一單位,再寫出圖上距離與實際距離的比,將比的前項或后項化成1。比例尺有線段比例尺和數(shù)字比例尺。線段比例尺:在圖上附有一條注有數(shù)目的線段,用來表示和地面上相對應的實際距離。數(shù)字比例尺:圖上距離與實際距離的單位相同,比的前項或后項是1。5、按比例分配:在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中,常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占總量的幾分之幾,然后再用乘法求出各部分的量是多少。
(二)比例的意義和性質(zhì)
1、比例的意義:表示兩個比相等的式子叫做比例。組成比例的四個數(shù),叫做比例的項。兩端的兩項叫做外項,中間的兩項叫做內(nèi)項。
2、比例的性質(zhì):在比例里,兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。3、解比例:根據(jù)比例的基本性質(zhì),如果已知比例中的任何三項,就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項,叫做解比例。
4、正比例和反比例
(1)成正比例的量兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
用字母表示:EQ\F(y,x)=k(一定)(兩數(shù)相除,商一定,這兩個數(shù)成正比例關(guān)系)(2)成反比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
用字母表示:x×y=k(一定)(兩數(shù)相乘,積一定,則這兩個數(shù)成反比例)第五章幾何初步知識一、線和角(一)線
直線:沒有端點;無限長;過一點可以畫無數(shù)條直線,過兩點只能畫一條直線。射線:射線只有一個端點;無限長。
線段:線段有兩個端點,它是直線的一部分;有限長;兩點的連線中,線段為最短。平行線:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線。兩條平行線之間的垂線長度都相等。
垂線:兩條直線相交成直角時,這兩條直線叫做互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足。從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。(二)角
從一點引出兩條射線,所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點,這兩條射線叫做角的邊。
角的大小與兩條邊叉開的大小有關(guān),與邊的長短無關(guān)。角的分類:銳角:小于90°的角叫做銳角。直角:等于90°的角叫做直角。
鈍角:大于90°而小于180°的角叫做鈍角。
平角:角的兩邊成一條直線,這時所組成的角叫做平角。平角180°。周角:角的一邊旋轉(zhuǎn)一周,與另一邊重合。周角是360°。
二、平面圖形
(一)長方形
1、特征:對邊相等,4個角都是直角的四邊形。2、計算公式:c=2(a+b)s=ab(二)正方形1、特征:四條邊都相等,四個角都是直角的四邊形。2、計算公式:c=4as=a2(三)三角形1、特征:由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度;三角形具有穩(wěn)定性;三角形的兩邊之和大于第三邊;三角形有三條高;在一個三角形中至少有2個銳角。從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高,一個三角形有三條高。2、計算公式
s=ah÷23、分類
按角分:銳角三角形:三個角都是銳角。直角三角形:有一個角是直角。鈍角三角形:有一個角是鈍角。按邊分:不等邊三角形:三條邊長度不相等。等腰三角形:兩條底邊相等;兩個底角相等;等腰直角三角形的兩個銳角各為45度。等邊三角形:三條邊長度都相等,三個內(nèi)角都是60度。
(四)平行四邊形
1、特征:兩組對邊分別平行的四邊形。平行四邊形的對邊相等,對角相等。平行四邊形容易變形。2、計算公式:s=ah(五)梯形
1、特征:只有一組對邊平行的四邊形。等腰梯形有一條對稱軸。2、公式
s=(a+b)h÷2(六)圓
1、特征圓是平面上的一種曲線圖形。圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。
在同一個圓里,有無數(shù)條半徑,每條半徑的長度都相等。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。同一個圓里有無數(shù)條直徑,所有的直徑都相等。同一個圓里,直徑等于兩個半徑的長度,即d=2r。圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小。兩端都在圓上的線段,直徑最長。2、圓的畫法:把圓規(guī)的兩腳分開,定好兩腳間的距離(即半徑);把有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上;把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周,就畫出一個圓。3、圓的周長:圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母π表示。
4、圓的面積:圓所占平面的大小叫做圓的面積。5、計算公式:d=2rr=EQ\F(d,2)c=πdc=2πr
s=πr2周長相等的兩個圓,面積一定相等。周長相等的平面圖形中,圓的面積最大。面積相等的平面圖形中,圓的周長最小。圓的半徑擴大(或縮?。┤舾杀?,直徑和周長也隨著擴大(或縮小)相同的倍數(shù);面積擴大(或縮?。┑谋稊?shù)是半徑擴大(或縮小)倍數(shù)的平方數(shù)。在一個正方形里畫一個最大的圓,正方形的邊長就是圓的直徑;在一個長方形里畫一個最大的圓,長方形的寬就是圓的直徑。在一個圓里畫一個最大的正方形,正方形的面積等于圓的半徑的平方乘2。圓的周長和半徑(或直徑)成正比例。圓的面積和半徑不成比例;圓的面積和半徑的平方成正比例。(七)半圓半圓面積等于圓面積的一半;半圓的周長等于圓周長的一半加直徑。s=πr2÷2c=πr
+2r(八)扇形
一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。圓上AB兩點之間的部分叫做弧,讀作“弧AB”。
頂點在圓心的角叫做圓心角。在同一個圓中,扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。在不同的圓中,扇形的大小與圓的半徑和這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。(九)環(huán)形
1、特征:由兩個半徑不相等的同心圓相減而成。
2、計算公式:s=π(R2-r2)(十)軸對稱圖形如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側(cè)的圖形能夠完全重合,這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。正方形有4條對稱軸;長方形有2條對稱軸;等腰三角形有1條對稱軸;等邊三角形有3條對稱軸;等腰梯形有1條對稱軸;菱形有4條對稱軸;一般的平行四邊形不是軸對稱圖形;圓有無數(shù)條對稱軸,圓的直徑所在的直線是對稱軸;扇形有一條對稱軸;環(huán)形有無數(shù)條對稱軸;半圓有1條對稱軸。三、立體圖形(一)長方體
1、特征
六個面都是長方形(有時有兩個相對的面是正方形),相對的面面積相等。兩個面相交的邊叫做棱,一共有12條棱,相對的4條棱長度相等。
三條棱相交的點叫做頂點,一共有8個頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。把長方體放在桌面上,最多只能看到三個面。長方體6個面的總面積,叫做它的表面積。2、計算公式:s=2(ab+ah+bh)V=shV=
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